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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Biotechnologies}  
\lfoot{\small Antilles-Guyane}
\rfoot{\small 19 juin 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies 19 juin 2013 ~\decofourright\\[4pt]Antilles-Guyane}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\medskip
 
Suite à un gros orage, la plage municipale de la commune d'Aistéhel subit une pollution momentanée du fait du débordement de la station d'épuration.

\medskip
 
La concentration en bactéries E. coli (Escherichia coli) est retenue comme indicateur de contamination d'origine fécale.

\medskip
 
Rappel (simplifié) des normes de qualité des eaux de baignade :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Qualité de l'eau &bonne &moyenne &mauvaise \\ \hline
Concentration en E. coli en ufc/100~mL(*)&0 \`a 100& 
100 à \np{2000}& supérieur à \np{2000}\\ \hline 
\multicolumn{4}{r}{\footnotesize (*) \emph{ufc : unit\'es formant colonies}}\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
Des analyses sont faites toutes les six heures afin de suivre l'évolution de la concentration en E. coli.
 
Les mesures des deux premiers jours sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{9}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Durée écoulée en heures $\left(t_{i}\right)$&0 &6 &12 &18 &24 &30 &36 &42 &48\\ \hline 
Concentration en E. coli $\left(y_{i}\right)$ (ufc/100~mL)&\np{38000} &\np{26500} 
&\np{21400} &\np{14800} &\np{11100} &\np{8300} &\np{5900} &\np{4500} &\np{3300}\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

Ces mesures sont représentées graphiquement ci-dessous.

\medskip 

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.0002cm}
\begin{pspicture}(-8,-5000)(50,40000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=6,Dy=5000](0,0)(50,40000)
\multido{\n=0+5000}{9}{\psline(0,\n)(48,\n)}
\psdots[dotstyle=square*,dotscale=1.7](0,38000)(6,26500)(12,21400)(18,14800)(24,11100)(30,8300)(36,5900)(42,4500)(48,3300)
\uput[d](21,-2500){heures}\rput{90}(-8,20000){ufc/100~mL}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}

\end{center}

\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Indiquer pourquoi un ajustement affine ne paraît pas approprié. 
\item On propose de réaliser un ajustement exponentiel. 
Pour cela, on pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$ où $y_{i}$ désigne la $i$-ème mesure de la concentration en E. coli. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier sur votre feuille et compléter le tableau fourni en annexe 1 (arrondir les résultats à $10^{-3}$ près). 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de $z$ en $t$ selon la méthode des moindres carrés.
		 
On donnera la réponse sous la forme $z = at + b$, en arrondissant les coefficients $a$ et $b$ à $10^{-3}$ près. 
		\item On considère désormais comme ajustement affine de $z$ en $t$ , la droite d'équation $z = - 0, 05 t + 10,53$. En déduire un ajustement exponentiel de la concentration en E. coli de la forme $y(t) = C\text{e}^{kt}$ ($C$ et $k$ étant deux constantes à déterminer à $10^{-2}$ près). 
		\item Pour cette question, on prendra $y(t) = \np{37400}\text{e}^{- 0,05t}$. 

		\begin{enumerate}
			\item[$\bullet~~$]En supposant que le modèle reste valide au-delà des deux premiers jours, quelle concentration est attendue trois jours après le début des mesures? (la valeur sera arrondie à $10^{-2}$ près).
			\item[$\bullet~~$]Au bout de combien d'heures après le début des mesures la concentration correspondra-t-elle à une eau de baignade de bonne qualité ?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
On appelle $\left(c_{n}\right)$ la concentration en E. coli au temps $n$ (où $n$ est le temps en heures).
 
Un technicien du laboratoire où sont réalisées les analyses propose de modéliser l'évolution de la concentration en E. coli par la suite géométrique $\left(c_{n}\right)$ pour laquelle :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $c_{0} = \np{38000}$ 
\item[$\bullet~~$] la raison est $q = 0,947$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Comparer ce second modèle au modèle proposé à la question 2. d. de la partie A. 
 
Argumenter votre réponse.

\medskip
 
\emph{Pour cette question, le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse.} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} 

\medskip

\textbf{PARTIE A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
Les fonctions intervenant dans cette partie sont définies sur $\R$.
 
On considère l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  y'+ 0,5y = 12.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une fonction constante solution de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la fonction $c$ solution de l'équation différentielle $(E)$ telle que $c(0) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = 24\left(1 - \text{e}^{-0,5t}\right).\]
 
On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ et étudier son signe sur $[0~;~+ \infty[$.
\item En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de $f$ ; que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ? 
\item Représenter cette fonction sur une feuille de papier millimétré à remettre avec la copie.
 
Unités graphiques : 1~cm en abscisse ; 0,5~cm en ordonnée 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} 

\medskip

La courbe $(C)$ tracée à l'annexe 2 est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
 
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
 
On constate sur la représentation graphique que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] La tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ au point A(0~;~3) passe par le point I(1~;~5).
\item[$\bullet~~$] La droite $(D)$ d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la courbe $(C)$ au voisinage de $+ \infty$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant les données précédentes et le graphique, préciser : 
	\begin{enumerate}
		\item La valeur du nombre réel $f(0)$ et la valeur du nombre réel $f'(0)$ (justifier votre raisonnement). 
		\item La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate} 
\item On note $(S)$ l'aire de la partie du plan située entre la courbe $(C)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.
 
Préciser un encadrement de l'aire $(S)$, en unités d'aire par deux entiers consécutifs. 
\item On admet que la fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel $x$ par :
 
\[f(x) = (4x + 2)\text{e}^{- x} + 1.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$:\quad  $f'(x) = (2 - 4x)\text{e}^{- x}$. 
		\item Étudier le signe de $f'$. En déduire le sens de variation de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par :

\[ F(x) = (- 4x - 6)\text{e}^{- x} + x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. 
		\item Déterminer la valeur exacte, puis la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $(S)$, en unités d'aire. 
		\item Ce résultat est-il cohérent avec l'encadrement obtenu à la question 2 ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} 

\medskip

Une agence de voyages propose, dans un de ses circuits très fréquenté, une excursion sous forme d'option supplémentaire.

\medskip
 
\emph{Le responsable de l'agence fait l'hypothèse que la proportion de clients prenant l'option est $0,25$}.

\medskip
 
On choisit au hasard un échantillon de $60$~clients. Tous les clients ont la même chance d'être choisis.
 
On considère que le nombre de clients de l'agence est suffisamment grand pour assimiler le choix de cet échantillon à un tirage successif avec remise de $60$~clients.

\medskip
 
\textbf{Les trois parties A, B, C peuvent être traitées de façon indépendante}

\bigskip

\textbf{PARTIE A : loi binomiale}

\medskip
 
On appelle $X$ la variable qui, à tout échantillon de $60$~clients, associe le nombre des clients qui ont pris l'option supplémentaire.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 60$ et $p= 0,25$. 
\item À l'annexe 3, ont été reportées dans un tableau les valeurs approchées des probabilités $P(X = k)$, pour $6 \leqslant k \leqslant 25$ (sauf la valeur pour $k = 10$).
 
Les valeurs des probabilités $P(X = k)$ pour $k \geqslant 26$ et $0 \leqslant k \leqslant 5$ sont inférieures à $10^{-3}$ et elles seront considérées comme nulles.
 
On a également tracé l'histogramme de la variable aléatoire $X$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur l'histogramme de l'annexe 3 à rendre avec la copie, l'aire correspondant à la probabilité $P(X \leqslant 21)$. 
		\item En utilisant le tableau de valeurs de l'annexe 3, ou par toute autre méthode, déterminer une valeur approchée de $P(X \leqslant 21)$, en détaillant la démarche utilisée (arrondir le résultat à $10^{-2}$).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : approximation par une loi normale}

\medskip
 
On suppose que les conditions permettant d'approximer une loi binomiale par une loi normale sont remplies.
 
On appelle $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma$ et approximant la loi binomiale $\mathcal{B}(60~;~0,25)$ (de paramètres $n = 60$ et $p = 0,25$).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les paramètres $\mu$ et $\sigma$ (valeurs arrondies à $10^{-3}$ près). Justifier votre réponse. 
\item On considère désormais que $\mu = 15$ et $\sigma = 3,35$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, sans utiliser la calculatrice, $P(15 \leqslant Y \leqslant 18,35)$ (valeur arrondie à $10^{-3}$ près). Justifier votre raisonnement. 
		\item Sans utiliser la calculatrice, justifier que $P(15 \leqslant Y \leqslant 25,05)$ a pour valeur approchée \np{0,4985}. 
		\item Sachant que $P(21 \leqslant Y \leqslant 25,05)$ a pour valeur approchée \np{0,03529}, déduire des questions précédentes une valeur approchée de $P(Y \leqslant 21)$. 
		\item Le résultat précédent est-il cohérent avec le résultat de la question A 2. b) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C : prise de décision}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique à $95$\,\% de la fréquence des clients ayant pris l'option dans un échantillon de $60$~clients. On note $J$ cet intervalle. 
\item Pour vérifier l'hypothèse que la proportion de clients prenant l'option est $0,25$, au niveau de confiance $95$\,\%, l'adjoint du responsable de l'agence choisit au hasard un échantillon de $60$~clients. Il observe alors qu'un tiers des clients a pris cette option.
 
En utilisant l'intervalle $J$ précédent, l'adjoint du responsable de l'agence décide de rejeter l'hypothèse, au niveau de confiance $95$\,\%. Êtes-vous d'accord ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 : À RECOPIER SUR VOTRE FEULLE ET À COMPLÉTER\\ (EXERCICE 1) \\Cette annexe n'est pas à rendre}

\vspace{1cm} 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ (en heures)				&0 	&6 	&12 &18 &24 &30 &36 &42 &48\\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$
 (à $10^{- 3}$ près)			&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
 
\newpage

\textbf{ANNEXE 2 \\(EXERCICE 3)\\ 
Cette annexe n'est pas à rendre}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.2)(7.5,6.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.5,-3.2)(7.5,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(0,3)(1,5)
\psplot{-3.2}{1.8}{2 x mul 3 add}
\uput[dr](1.2,5.55){$(T)$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](-2.5,1){$(D)$}\uput[u](5.5,1.1){\blue $(C)$}
\psline(-3.5,1)(7.5,1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{7.5}{x 4 mul 2 add 2.71828 x exp div 1 add}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 3 À RENDRE AVEC LA COPIE\\
(EXERCICE 4)}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Histogramme de la loi binomiale \boldmath$\mathcal{B}(60~;~0,25)$\unboldmath (de paramètres \boldmath$n = 60$ et $p = 0,25$\unboldmath)}

\begin{center}

\psset{xunit=0.38cm,yunit=90cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.005)(33,0,13)
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.12)}
\multido{\n=0.005+0.005}{24}{\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](0,\n)(32,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.02,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(33,0.125)
\psframe(3.5,0)(4.5,0.000192)
\psframe(4.5,0)(5.5,0.000717)
\psframe(5.5,0)(6.5,0.00219)
\psframe(6.5,0)(7.5,0.005632)
\psframe(7.5,0)(8.5,0.012437)
\psframe(8.5,0)(9.5,0.023953)
\psframe(9.5,0)(10.5,0.040719)
\psframe(10.5,0)(11.5,0.061696)
\psframe(11.5,0)(12.5,0.083975)
\psframe(12.5,0)(13.5,0.103354)
\psframe(13.5,0)(14.5,0.115658)
\psframe(14.5,0)(15.5,0.118228)
\psframe(15.5,0)(16.5,0.110838)
\psframe(16.5,0)(17.5,0.0895626)
\psframe(17.5,0)(18.5,0.076146)
\psframe(18.5,0)(19.5,0.056108)
\psframe(19.5,0)(20.5,0.03834)
\psframe(20.5,0)(21.5,0.024343)
\psframe(21.5,0)(22.5,0.014385)
\psframe(22.5,0)(23.5,0.007922)
\psframe(23.5,0)(24.5,0.004071)
\psframe(24.5,0)(25.5,0.001954)
\uput[d](33,0){$k$}\uput[u](0,0.125){$P(X = k)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Table des valeurs de la loi binomiale \boldmath$\mathcal{B}(60~;~0,25)$ \unboldmath pour \boldmath $6 \leqslant k \leqslant 25$\unboldmath}

\textbf{(sauf la valeur pour \boldmath $k = 10$ \unboldmath}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline
$P(X = k)$&\np{0,0022}&\np{0,0056}&\np{0,0124}&\np{0,0240}&\ldots&\np{0,0617}&\np{0,0840}&\np{0,1034}&\np{0,1157}&\np{0,1182}\\ \hline \hline
$k$&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
$P(X = k)$&\np{0,1108}&\np{0,0956}&\np{0,0761}&\np{0,0561}&\np{0,0383}&\np{0,0243}&\np{0,0144}&\np{0,0079}&\np{0,0041}&\np{0,0020}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{document}