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%Tapuscrit : Denis Vergès, relecture : François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{7 septembre 2017}}
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 7 septembre 2017~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7
 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties \emph{A}, \emph{B} et \emph{C} sont indépendantes.}

\medskip

Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de
travail : le vélo ou les transports en commun.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10.

Lorsque la journée n'est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10.

La probabilité qu'une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée $p$.

Pour une journée donnée, on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $E$ l'évènement \og La journée est ensoleillée \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement\og Romane se déplace en vélo \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire l'arbre pondéré représentant la situation.
\item Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d'une journée donnée
est 

\[P(V) = 0,3p + 0,6.\]
\item On constate que dans 67,5\,\% des cas, c'est en vélo que Romane se déplace entre son
domicile et son lieu de travail.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur de $p$.
		\item Sachant que Romane s'est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la
journée soit ensoleillée est $\frac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes,
entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire $T_V$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_V$ et d'écart-type $1$ minute.

Lorsqu'elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet,
exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T_C$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_C$ et d'écart-type $3$ minutes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On nomme $\mathcal{C}_C$ et $\mathcal{C}_V$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $T_V$ et $T_C$ représentées dans la figure ci-dessous.

Déterminer, en justifiant votre réponse, $\mu_V$ et $\mu_C$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=8cm}
\begin{pspicture}(0,-0.1)(19,0.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=6,Dx=2,Dy=6](0,0)(0,0)(19,0.005)
\psGauss[linewidth=1.25pt,sigma=1,mue=8]{0}{19}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,sigma=3,mue=10]{0}{19}
\uput[d](16.5,-0.05){temps en minutes}
\psline[linestyle=dotted](8,0)(8,0.4)
\psline[linestyle=dotted](10,0)(10,0.12)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre
10 et 15~minutes. Arrondir la réponse à $10^{-4}$.
\item Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins
de 15 minutes pour se rendre au travail ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la
durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$,
suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif.

La fonction de densité associée est donc la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = \lambda \text{e}^{- \lambda t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $b$ un réel positif.

Démontrer, à l'aide d'une intégrale, que

\[P(X \leqslant b) = 1 - \text{e}^{- \lambda b}.\]

\item  On sait que la probabilité que l'ampoule fonctionne encore après $50$ heures d'utilisation est $0,9$.
	\begin{enumerate}
		\item En déduire la valeur exacte de $\lambda$.
		\item Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit
supérieure à $250$~heures sachant que l'ampoule a déjà fonctionné $200$~heures.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_0& =& 100\\
z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n\quad \text{ pour tout entier naturel }\:n.
\end{array}\right.\]

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
\item On rappelle qu'un disque de centre A et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\text{A}M \leqslant r$.

Démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les points $M_n$ appartiennent au disque
de centre O et de rayon 1.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 1,

\[f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x).\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par

\[u_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\text{d}x\:\:\text{pour tout entier naturel} \:n.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2$.

Interpréter graphiquement ce résultat.
\item  Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~2],  on a

\[0 \leqslant  \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]

\item  En déduire que, pour {\red tout entier naturel}\footnote{tout entier naturel non nul semble plus correct} $n$, on a

\[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 -  \dfrac{1}{2^n}\right).\]

\item  Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
On note $\R$ l'ensemble des nombres réels.
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.
 
On considère les points A(1~;~1~;~14), B$(0~;~1~;~8)$ et C$(- 2~;~2~;~4)$ ainsi que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}\phantom{-}6\\\phantom{-}8\\- 1\end{pmatrix}$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs 
		$\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
		\item Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne
$6x + 8y - z = 0$.
	\end{enumerate}
\item On considère la droite $\Delta$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par
	\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2t - 3\\
y &=&t - \dfrac{1}{2},\\ 
z &=&4t + 2
	\end{array}\right. \:t \in \R.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Donner un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
		\item La droite $\Delta$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on considère l'ensemble $(E)$ des points $M$ dont les coordonnées
$(x~;~y~;~z)$ sont données par 
	
	\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&t^3 + t\\
y &=&t+1,\\
z &=&2t
	\end{array}\right. \:t \in \R.\]
	
Démontrer qu'il existe un unique point $M$ qui appartient à la fois à $(E)$ et à (ABC).
	
Il n'est pas demandé de déterminer ses coordonnées.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $p$ un entier relatif donné.

On s'intéresse dans cette question à l'équation $\left(E_p\right)$

\[3x + 4y = p\]

où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
		\item Démontrer que l'ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l'ensemble des couples de la forme
		\[(- p + 4k~;~p - 3k) \:\text{où }\:k \:\text{est un entier relatif.}\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}			
Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.
		
On considère le plan $\mathcal P$ d'équation cartésienne
		
\[6x + 8y - z = 0.\]
		
\begin{enumerate}[resume]
\item  Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ qui appartient au plan $\mathcal P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $z_0$ est pair.
		\item  On pose $z_0 = 2p$ où $p$ est un entier relatif.
		
Prouver que le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ est solution de l'équation $\left(E_p\right)$.
		\item  En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $\mathcal P$ à
coordonnées entières.
	\end{enumerate}
\item  À tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on associe le point $M'$ de coordonnées
$\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ avec
	
\[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = 	\begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&- 144\\28&- 30&29 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)$.
		\item En déduire que si le point $M$ est un point du plan $\mathcal P$, alors le point $M'$ est aussi un point du plan $\mathcal P$.
		\item Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $\mathcal P$ passant par O.
		
Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M'$ appartient aussi à 
		$\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}