\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
% Tapuscrit Denis Vergès
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {TS Amérique du Nord},
pdftitle = {2 juin 2015},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 2 juin 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord
~\decofourright\\[4pt]2 juin 2015}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans l'espace, on considère une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point de l'espace tel que $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}, \vect{\text{OD}}\right)$ soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0~;~0~;~3) dans ce repère.\index{géométrie dans l'espace} 

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(3.5,6)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.4,2)(1.95,5.6)%ABCS
\psline(2.5,0.5)(1.95,5.6)%BS
\psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(1.4,2)(1.95,5.6)%AES
\psline[linestyle=dotted](1.4,2)(3.4,2)%EC
\psline{->}(1.95,1.25)(0.5,0.5)
\psline{->}(1.95,1.25)(2.5,0.5)
\psline{->}(1.95,1.25)(1.95,2.7)
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[ur](3.4,2){C} 
\uput[ul](1.4,2){E} \uput[ur](1.95,1.25){O} \uput[l](1.95,2.7){D} 
\uput[u](1.95,5.6){S} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure jointe en \textbf{annexe 1, (à rendre avec la copie)}.
\item Soit V le point d'intersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le point V sur la figure jointe en \textbf{annexe 1, (à rendre avec la copie)}.
\item Soit K le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{6}~;~- \dfrac{1}{6}~;~0\right)$. 

Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Dans cette partie, on admet que l'aire du quadrilatère AUVE est $\dfrac{5\sqrt{43}}{18}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que le point U a pour coordonnées $\left(0~;~\dfrac{2}{3}~;~1\right)$.

Vérifier que le plan (EAU) a pour équation $3x - 3y + 5z - 3 = 0$. \index{équation de plan}
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (EAU) passant par le point S. \index{équation paramétrique de droite}
\item Déterminer les coordonnées de H, point d'intersection de la droite $(d)$ et du plan (EAU).
\item Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel $n$, on définit les points $\left(A_n\right)$ par leurs coordonnées $\left(x_n~;~y_n\right)$ de la façon suivante : \index{suite}

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x_0 &=&- 3\\ 
y_0 &=&\phantom{-}4
\end{array}\right. \quad \text{et pour tout entier naturel }\:n : \left\{\begin{array}{l c l}
x_{n+1}&=&0,8x_n - 0,6y_n\\
y_{n+1}&=&0,6x_n + 0,8y_n
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points $A_0,\: A_1$ et $A_2$.
		\item Pour construire les points $A_n$ ainsi obtenus, on écrit l'algorithme suivant : \index{algorithme}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|X|}\hline
Variables : \\
$i, x, y,  t$ : nombres réels\\ 
\\
Initialisation :\\ 
$x$ prend la valeur  $- 3$\\
$y$ prend la valeur 4 \\
\\
Traitement :\\ 
Pour $i$ allant de 0 à 20\\ 
\hspace{1cm}Construire le point de coordonnées $(x~;~y)$\\
\hspace{1cm}$t$ prend la valeur $x$\\
\hspace{1cm}$x$ prend la valeur \ldots.\\
\hspace{1cm}$y$ prend la valeur  \ldots.\\
Fin Pour \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points $A_0$ à $A_{20}$. 
		\item À l'aide d'un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant: 

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-6)(8,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-7,-6)(8,6)
%\multido{\n=0+1}{20}{\psdots(5;36.8 \n mul)}
\psdots(5;126.87)(5;163.74)(5;200.61)(5;237.48)(5;274.35)(5;311.22)(5;348.09)(5;24.96)(5;61.83)(5;98.7)(5;135.57)(5;172.44)(5;209.31)(5;246.18)(5;283.05)(5;319.92)(5;356.79)(5;33.66)(5;70.53)
%(5;107.4)(5;144.27)
\end{pspicture}
\end{center}

Identifier les points $A_0,\: A_1$ et $A_2$. On les nommera sur la figure jointe en \textbf{annexe 2, (à rendre avec la copie)}.

Quel semble être l'ensemble auquel appartiennent les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel ?
	\end{enumerate}
\item Le but de cette question est de construire géométriquement les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel.

Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel $n,\: z_n = x_n + \text{i}y_n$ l'affixe du point $A_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $u_n = \left|z_n\right|$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 5$. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?
		\item On admet qu'il existe un réel $\theta$ tel que $\cos(\theta) = 0,8$ et $\sin(\theta) = 0,6$.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $\text{e}^{\text{i}\theta }z_n = z_{n+ 1}$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $z_n = \text{e}^{\text{i}n\theta }z_0$. 
		\item Montrer que $\theta + \dfrac{\pi}{2}$ est un argument du nombre complexe $z_0$. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, déterminer, en fonction de $n$ et $\theta$, un argument du nombre complexe $z_n$.
		
 Représenter $\theta$  sur la figure jointe en \textbf{annexe 2, (à rendre avec la copie).}

Expliquer, pour tout entier naturel $n$, comment construire le point $A_{n+ 1}$ à partir du point $A_n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On donne les matrices $M = \begin{pmatrix}1& 1& 1\\1 &- 1& 1\\ 4 &2& 1\end{pmatrix}$ et $I = \begin{pmatrix}1 &0& 0\\0& 1& 0\\  0 &0 &1\end{pmatrix}$. \index{matrices}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice $M^2$. On donne $M^3 = \begin{pmatrix}20& 10& 11\\12& 2& 9\\42& 20& 21 \end{pmatrix}$.
\item Vérifier que $M^3 = M^2 + 8M + 6I$.
\item En déduire que $M$ est inversible et que $M^{-1} = \dfrac{1}{6} \left(M^2 - M - 8I\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude d'un cas particulier }

\medskip

On cherche à déterminer trois nombres entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation 

$y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A(1~;~1), B$(-1~;~-1)$ et C(2~;~5).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que

\[M\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}1\\- 1\\5\end{pmatrix}.\]

\item Calculer les nombres $a$, $b$ et $c$ et vérifier que ces nombres sont des entiers.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C Retour au cas général}

\medskip 

Les nombres $a$, $b$, $c$, $p$, $q$, $r$ sont des entiers.

Dans un repère \Oij, on considère les points A$(1~;~p)$, B$( - 1~;~q)$ et C$(2~;~r)$.

On cherche des valeurs de $p$, $q$ et $r$ pour qu'il existe une parabole d'équation 

$y = ax^2 + bx + c$ passant par A, B et C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$ avec $a$, $b$ et $c$ entiers, alors \index{congruences}

\[\left\{\begin{array}{l c l}- 3p + q + 2r&\equiv &0\:[6]\\ 
3p-3q &\equiv &0 \:[6]\\
6p + 2q-2r &\equiv & 0\: [6] \end{array}\right.\]
 
\item  En déduire que $\left\{\begin{array}{l c l} q- r &\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0 \:[2]\end{array}\right.$.
\item Réciproquement, on admet que si $\left\{\begin{array}{l c l}q- r&\equiv&  0 \:[3]\\
 p - q &\equiv& 0\: [2] \\
\multicolumn{3}{l}{\text{A, B, C ne sont pas alignés }}
\end{array}\right.$ 

alors il existe trois  entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si $2r + q - 3p = 0$.
		\item On choisit $p = 7$. Déterminer des entiers $q$, $r$, $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100~grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.

\bigskip

\textbf{Partie A Contrôle avant la mise sur le marché}

\medskip


Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes.

La masse (exprimée en grammes) d'une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 1$. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de $\sigma$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $M$ : \og la tablette est mise sur le marché \fg. 
\item On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet évènement atteigne 0,97.

Déterminer la valeur de $\sigma$ pour que la probabilité de l'évènement \og la tablette est mise sur le marché\fg{} soit égale à $0,97$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Contrôle à la réception}

\medskip

Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de 7\,\%. On dit alors que la fève est conforme.

L'entreprise a trois fournisseurs différents :

le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30\,\% et le dernier apporte 20\,\% du stock.

Pour le premier, 98\,\% de sa production respecte le taux d'humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90\,\% de sa production est conforme, et le troisième fournit 20\,\% de fèves non conformes.

On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note $F_i$ l'évènement \og la fève provient du fournisseur $i$ \fg, pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et $C$ l'évènement \og la fève est conforme \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme. Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$.
\item Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, L’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92\,\% de fèves qu'elle achète soient conformes.
Quelle proportion $p$ de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par

\[u(x) = \ln(x) + x - 3.\] \index{fonction logarithme népérien}

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $u$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item Démontrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ comprise entre 2 et 3.
\item En déduire le signe de $u(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) [\ln(x) - 2] + 2.\]

 On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $f'(x) = \dfrac{u(x)}{x^2}$ où $u$ est la  fonction définie dans la partie A.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $\mathcal{C}’$ la courbe d'équation $y = \ln (x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \:$f(x) - \ln(x) = \dfrac{2 - \ln (x)}{x}$.

En déduire que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}’$ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.
\item On admet que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[H(x) = \dfrac{1}{2} [\ln (x)]^2\]

est une primitive de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
 
$h(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$.

Calculer $I = \displaystyle\int_1^{\text{e}^2}\dfrac{2 - \ln x}{x}\:\text{d}x$.

Interpréter graphiquement ce résultat.\index{aire et intégrale}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\Large Annexe}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 1 (Exercice 1) }

\vspace{2cm}
\psset{unit=2.5cm,arrowsize=3pt 4}
\begin{pspicture}(3,6)
\pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.4,2)(1.95,5.6)%ABCS
\psline(2.5,0.5)(1.95,5.6)%BS
\psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(1.4,2)(1.95,5.6)%AES
\psline[linestyle=dotted](1.4,2)(3.4,2)%EC
\psline{->}(1.95,1.25)(0.5,0.5)
\psline{->}(1.95,1.25)(2.5,0.5)
\psline{->}(1.95,1.25)(1.95,2.7)
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[ur](3.4,2){C} 
\uput[ul](1.4,2){E} \uput[ur](1.95,1.25){O} \uput[l](1.95,2.7){D} 
\uput[u](1.95,5.6){S} 
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{Annexe 2 (Exercice 2)}

\vspace{2cm}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-6)(8,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7,-6)(8,6)
\psdots(5;126.87)(5;163.74)(5;200.61)(5;237.48)(5;274.35)(5;311.22)(5;348.09)(5;24.96)(5;61.83)(5;98.7)(5;135.57)(5;172.44)(5;209.31)(5;246.18)(5;283.05)(5;319.92)(5;356.79)(5;33.66)(5;70.53)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}