%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Amérique du Nord - juin 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{4 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 4 juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population. \begin{center} \textbf{Partie A : Étude de la progression de l'épidémie pendant 30 jours} \end{center} Au début de l'épidémie on constate que 0,01\,\% de la population est contaminé. Pour $t$ appartenant à [0~;~30], on note $y(t)$ le pourcentage de personnes touchées par la maladie après $t$ jours. On a donc $y(0) = 0,01$. On admet que la fonction $y$ ainsi définie sur [0~;~30] est dérivable, strictement positive et vérifie : \[y'= 0,05y(10 - y).\] \begin{enumerate} \item On considère la fonction $z$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par $z = \dfrac{1}{y}$. Démontrer que la fonction $y$ satisfait aux conditions $\left\{ \begin{array}{l !{=} l} y(0)& 0,01\\ y'& 0,05y(10 - y)\\ \end{array} \right.$ si et seulement si la fonction $z$ satisfait aux conditions $\left\{\begin{array}{l !{=} l} z(0) &100\\ z' & - 0,5z + 0,05\\ \end{array} \right.$ \item \begin{enumerate} \item En déduire une expression de la fonction $z$ puis celle de la fonction $y$. \item Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{Partie B : Étude sur l'efficacité d'un vaccin}\end{center} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92\,\% des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10\,\% des individus sont malades. On choisit au hasard un individu dans cette population. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement \og l'individu n'est pas vacciné et tombe malade \fg{} est égale à $0,08$. \item Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n'est pas vacciné ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \medskip On supposera connus les résultats suivants : Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Si $u \geqslant 0$ sur $[a~;~b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant 0$. \item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a~;~ b],\: f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f(x) = \text{e}^{-x^2}$ et on définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : \[\left\{\begin{array}{l} u_{0} =\displaystyle\int_{0}^1f(x)\:\text{d}x= \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\ \text{pour tout entier naturel}\: n\: \text{non nul},\: u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 x^n \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\ \end{array}\right.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1],~ \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant f(x) \leqslant 1.$ \item En déduire que $\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant u_{0} \leqslant 1$. \end{enumerate} \item Calculer $u_{1}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n}$. \item Étudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} \leqslant \dfrac{1}{n+1}$. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. \bigskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,8) \psframe(6.6,6.6) \psline(6.6,0)(8.4,1.4)(8.4,8)(1.8,8)(0,6.6) \psline(8.4,8)(6.6,6.6) \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,1.4)(1.8,8) \psline[linestyle=dashed](1.8,1.4)(8.4,1.4) \uput[dl](0,0){A}\uput[dr](6.6,0){B} \uput[r](8.4,1.4){C} \uput[ul](1.8,1.4){D} \uput[l](0,6.6){E} \uput[-20](6.6,6.6){F} \uput[u](0.9,4){I} \uput[ur](4.2,0.7){J} \uput[ur](8.4,8){G} \uput[ul](1.8,8){H} \uput[ur](2.55,2.35){K} \psline[linestyle=dashed](0.9,4)(4.2,0.7) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.9,4)(4.2,0.7)(2.55,2.35) \end{pspicture} \end{center} \medskip On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ]. L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère. \item Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG). \item Vérifier que le point D appartient au plan (AKG). \end{enumerate} \item Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G. Soit L le centre du carré DCGH. \begin{enumerate} \item Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL]. \item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Démontrer que K est le barycentre des points A. D et G affectés de coefficients que l'on précisera. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. Soit A le point d'affixe $a = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B le point d'affixe $b = 1 - \sqrt{3} + \left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i}$. \medskip \textbf{Partie A : étude d'un cas particulier} \medskip On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. \\[5pt] On note C le point d'affixe $c$ image du point A par la rotation $r$ et D le point d'affixe $d$ image du point B par la rotation $r$. La figure est donnée en annexe (figure 1). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $\dfrac{- a}{b - a}$ sous forme algébrique. \item En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A. \end{enumerate} \item Démontrer que $c = -2$. On admet que $d = -2 - 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la droite (AC) a pour équation $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x + 2)$. \item Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude du cas général} \medskip Soit $\theta$ un réel appartenant à l'intervalle $]0~;~2\pi[$. On considère la rotation de centre O et d'angle $\theta$. On note A$'$ le point d'affixe $a'$, image du point A par la rotation $r$, et B$'$ le point d'affixe $b'$, image du point B par la rotation $r$. La figure est donnée en annexe (figure 2). L'objectif est de démontrer que la droite (AA$'$) coupe le segment [BB$'$] en son milieu. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $a'$ en fonction de $a$ et $\theta$ et $b'$ en fonction de $b$ et $\theta$. \item Soit P le point d'affixe $p$ milieu de [AA$'$] et Q le point d'affixe $q$ milieu de [BB$'$]. \begin{enumerate} \item Exprimer $p$ en fonction de $a$ et $\theta$ puis $q$ en fonction de $b$ et $\theta$. \item Démontrer que $\dfrac{-p}{q - p} = \dfrac{- a}{b - a}$. \item En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ). \item Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA$'$). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit $A$ l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle $[1~;~46]$. \bigskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation \[(E) : \quad 23x + 47y = 1\] où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Donner une solution particulière $\left(x_{0},~y_{0}\right)$ de $(E)$. \item Déterminer l'ensemble des couples $(x,~y)$ solutions de $(E)$. \item En déduire qu'il existe un unique entier $x$ appartenant à $A$ tel que \[23x \equiv 1\quad (47).\] \end{enumerate} \item Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Montrer que si $ab \equiv 0 \quad (47)$ alors $a \equiv 0 \quad (47)$ ou $b \equiv 0 \quad (47)$. \item En déduire que si $a^2 \equiv 1 \quad (47)$ alors $a \equiv 1 \quad (47)$ ou a $a \equiv -1 \quad (47)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un entier relatif $q$ tel que $p \times q \equiv 1 \quad (47)$. \end{enumerate} Pour la suite, on admet que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un unique entier, noté \emph{inv}$(p)$, appartenant à $A$ tel que $p \times inv(p) \equiv 1 \quad (47)$. Par exemple : \emph{inv}$(1) = 1$ car $1 \times 1 \equiv 1 \quad (47),~$ \emph{inv}$(2) = 24$ car $2 \times 24 \equiv 1 \quad (47),$ \emph{inv}$(3) = 16$ car $3 \times 16 \equiv 1 \quad (47)$. \begin{enumerate} \setcounter{enumii}{1} \item Quels sont les entiers $p$ de $A$ qui vérifient $p =$ \emph{inv}$(p)$ ? \item Montrer que $46 ! \equiv -1 \quad (47)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{ANNEXE}} \vspace{1cm} \textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{Exercice 4} \vspace{0,5cm} \psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,3.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](-0.1,0.5){$\vect{v}$} \pspolygon[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1.732)(-0.732,2.732)(0,0)(-2,0)(-2,-2) \uput[dr](0,0){O} \uput[r](1,1.732){A} \uput[u](-0.732,2.732){B} \uput[u](-2,0){C} \uput[d](-2,-2){D} \rput(0,-2.75){Partie A : figure 1} \end{pspicture} \vspace{1cm} \psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,3.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](-0.1,0.5){$\vect{v}$} \pspolygon[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1.732)(-0.732,2.732)(0,0)(-1.95,0.39)(-2.23,-1.7) \uput[dr](0,0){O}\uput[r](1,1.732){A}\uput[u](-0.732,2.732){B}\uput[l](-1.95,0.39){A$'$} \uput[d](-2.23,-1.7){B$'$} \psarc(0,0){2}{60}{168} \psarc(0,0){2.828}{105}{218} \rput(0,-2.75){Partie B : figure 2} \end{pspicture} \end{center}\end{document}