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%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{4 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 4 juin 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population. 

\begin{center}
\textbf{Partie A : Étude de la progression de l'épidémie pendant 30 jours}
\end{center}

Au début de l'épidémie on constate que 0,01\,\% de la population est contaminé.

Pour $t$ appartenant à [0~;~30], on note $y(t)$ le pourcentage de personnes touchées par la maladie après $t$ jours.

On a donc $y(0) =  0,01$.

On admet que la fonction $y$ ainsi définie sur [0~;~30] est dérivable, strictement positive et vérifie :

\[y'= 0,05y(10 - y).\]

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $z$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par $z = \dfrac{1}{y}$. 

Démontrer que la fonction $y$ satisfait aux conditions

$\left\{
 \begin{array}{l !{=} l}
 y(0)& 0,01\\
y'& 0,05y(10 - y)\\
\end{array} \right.$

si et seulement si la fonction $z$ satisfait aux conditions

$\left\{\begin{array}{l !{=} l} 
z(0)		&100\\
z'			& - 0,5z + 0,05\\
\end{array} \right.$
\item
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire une expression de la fonction $z$ puis celle de la fonction $y$.
	\item Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie B : Étude sur l'efficacité d'un vaccin}\end{center}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip 

Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92\,\% des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10\,\% des individus sont malades.

On choisit au hasard un individu dans cette population.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'évènement \og l'individu n'est pas vacciné et tombe malade \fg{} est égale à $0,08$.
\item Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n'est pas vacciné ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}

\medskip

On supposera connus les résultats suivants :

Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a~;~ b],\: f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f(x) = \text{e}^{-x^2}$  et on définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par :

\[\left\{\begin{array}{l}
u_{0} =\displaystyle\int_{0}^1f(x)\:\text{d}x= \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\ 
\text{pour tout entier naturel}\: n\: \text{non nul},\: u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 x^n \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1],~ \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant  f(x) \leqslant 1.$
	\item En déduire que  $\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant u_{0} \leqslant  1$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant  u_{n}$. 
		\item Étudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} \leqslant  \dfrac{1}{n+1}$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,8)
\psframe(6.6,6.6)
\psline(6.6,0)(8.4,1.4)(8.4,8)(1.8,8)(0,6.6)
\psline(8.4,8)(6.6,6.6)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,1.4)(1.8,8)
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.4)(8.4,1.4)
\uput[dl](0,0){A}\uput[dr](6.6,0){B} \uput[r](8.4,1.4){C} \uput[ul](1.8,1.4){D} 
\uput[l](0,6.6){E} \uput[-20](6.6,6.6){F} \uput[u](0.9,4){I} \uput[ur](4.2,0.7){J} 
\uput[ur](8.4,8){G} \uput[ul](1.8,8){H} \uput[ur](2.55,2.35){K}
\psline[linestyle=dashed](0.9,4)(4.2,0.7)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.9,4)(4.2,0.7)(2.55,2.35)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].

L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère.
\item Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG).
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG).
		\item Vérifier que le point D appartient au plan (AKG).
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G.
 
Soit L le centre du carré DCGH.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL].
		\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Démontrer que K est le barycentre des points A. D et G affectés de coefficients que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

Soit A le point d'affixe $a = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B le point d'affixe $b = 1 - \sqrt{3} + \left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i}$. 

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'un cas particulier}

\medskip

On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. \\[5pt]
On note C le point d'affixe $c$ image du point A par la rotation $r$ et D le point d'affixe $d$ image du point B par la rotation $r$.

La figure est donnée en annexe  (figure 1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $\dfrac{- a}{b - a}$ sous forme algébrique.
		\item  En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que $c = -2$. On admet que $d = -2 - 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite (AC) a pour équation $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x + 2)$.
		\item Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude du cas général}

\medskip 

Soit $\theta$ un réel appartenant à l'intervalle $]0~;~2\pi[$. On considère la rotation de centre O et d'angle $\theta$.

On note A$'$ le point d'affixe $a'$, image du point A par la rotation $r$, et B$'$ le point d'affixe $b'$, image du point B par la rotation $r$.

La figure est donnée en annexe  (figure 2).

L'objectif est de démontrer que la droite (AA$'$) coupe le segment [BB$'$] en son milieu.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $a'$ en fonction de $a$ et $\theta$ et $b'$ en fonction de $b$ et $\theta$. 
\item Soit P le point d'affixe $p$ milieu de [AA$'$] et Q le point d'affixe $q$ milieu de [BB$'$].
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $p$ en fonction de $a$ et $\theta$ puis $q$ en fonction de $b$ et $\theta$.
		\item Démontrer que $\dfrac{-p}{q - p} = \dfrac{- a}{b - a}$.
		\item En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ).
		\item Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA$'$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
 
\medskip

Soit $A$ l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle $[1~;~46]$. 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  On considère l'équation

\[(E) : \quad  23x + 47y = 1\]

où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une solution particulière $\left(x_{0},~y_{0}\right)$ de $(E)$.
		\item Déterminer l'ensemble des couples $(x,~y)$ solutions de $(E)$.
		\item En déduire qu'il existe un unique entier $x$ appartenant à $A$ tel que 

\[23x \equiv  1\quad  (47).\]

	\end{enumerate}
\item Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $ab \equiv 0 \quad  (47)$ alors $a \equiv 0 \quad  (47)$ ou $b \equiv 0 \quad  (47)$.
		\item En déduire que si $a^2 \equiv  1 \quad  (47)$ alors $a \equiv  1 \quad  (47)$ ou a $a \equiv -1 \quad (47)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un entier relatif $q$ tel que $p \times  q \equiv 1 \quad (47)$.
	\end{enumerate}

Pour la suite, on admet que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un unique entier, noté \emph{inv}$(p)$, appartenant à $A$ tel que 
$p \times inv(p) \equiv  1 \quad  (47)$. 

Par exemple :

\emph{inv}$(1) = 1$ car $1 \times 1 \equiv 1 \quad  (47),~$ \emph{inv}$(2) = 24$ car $2 \times 24 \equiv  1 \quad (47),$

\emph{inv}$(3) = 16$ car $3 \times 16 \equiv  1 \quad  (47)$. 

\begin{enumerate}
\setcounter{enumii}{1}
		\item Quels sont les entiers $p$ de $A$ qui vérifient $p =$ \emph{inv}$(p)$ ?
		\item Montrer que $46 ! \equiv -1 \quad (47)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE}}

\vspace{1cm}

\textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](-0.1,0.5){$\vect{v}$}
\pspolygon[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1.732)(-0.732,2.732)(0,0)(-2,0)(-2,-2)
\uput[dr](0,0){O} \uput[r](1,1.732){A} \uput[u](-0.732,2.732){B} \uput[u](-2,0){C} \uput[d](-2,-2){D}
\rput(0,-2.75){Partie A : figure 1}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](-0.1,0.5){$\vect{v}$}
\pspolygon[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1.732)(-0.732,2.732)(0,0)(-1.95,0.39)(-2.23,-1.7)
\uput[dr](0,0){O}\uput[r](1,1.732){A}\uput[u](-0.732,2.732){B}\uput[l](-1.95,0.39){A$'$} \uput[d](-2.23,-1.7){B$'$}
\psarc(0,0){2}{60}{168} \psarc(0,0){2.828}{105}{218}
\rput(0,-2.75){Partie B : figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}\end{document}