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%Sujet aimablement communiqué par Johann Dolivet et Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S Amérique du Sud~8 novembre 2019~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} peuvent être traitées de façon indépendante.\\
Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.}

\medskip

Le roller de vitesse est un sport qui consiste à parcourir une certaine distance le plus rapidement possible en rollers. Dans le but de faire des économies, un club de roller de vitesse s'intéresse à la gestion de ses chronomètres et des roulements de ses rollers.

\bigskip

\textbf{Partie A :}

On note $T$ la variable aléatoire égale à la durée de vie, en mois, d'un chronomètre et on admet qu'elle suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda= \np{0,0555}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la durée de vie moyenne d'un chronomètre (arrondie à l'unité).
\item Calculer la probabilité qu'un chronomètre ait une durée de vie comprise entre un et
deux ans.
\item Un entraîneur n'a pas changé son chronomètre depuis deux ans. Quelle est la probabilité qu'il soit encore en état de fonctionner au moins un an de plus ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Ce club fait des commandes groupées de roulements pour ses adhérents auprès de deux fournisseurs A et B.
\begin{itemize}
\item Le fournisseur A propose des tarifs plus élevés mais les roulements qu'il vend sont sans défaut avec une probabilité de 0,97.
\item Le fournisseur B propose des tarifs plus avantageux mais ses roulements sont défectueux avec une probabilité de 0,05.
\end{itemize}

\smallskip

On choisit au hasard un roulement dans le stock du club et on considère les évènements:

$A$ : \og le roulement provient du fournisseur A \fg,

$B$ : \og le roulement provient du fournisseur B \fg,

$D$ : \og le roulement est défectueux \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le club achète 40\,\% de ses roulements chez le fournisseur A et le reste chez le fournisseur~B.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux.
		\item Le roulement est défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne du fournisseur B.
	\end{enumerate}
\item  Si le club souhaite que moins de 3,5\,\% des roulements soient défectueux, quelle proportion minimale de roulements doit-il commander au fournisseur A ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

Le diamètre intérieur standard d'un roulement sur une roue de roller est de 8 mm.

On note $X$ la variable aléatoire donnant en mm le diamètre d'un roulement et on admet que $X$ suit une loi normale d'espérance $8$ et d'écart type $0,1$.

Un roulement est dit conforme si son diamètre est compris entre $7,8$ mm et $8,2$ mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un roulement soit conforme.
\item Le fournisseur B vend ses roulements par lots de 16 et affirme que seulement 5\,\% de ses roulements sont non conformes.

Le président du club, qui lui a acheté $30$ lots, constate que $38$ roulements sont non conformes. Ce contrôle remet-il en cause l'affirmation du fournisseur B ?

On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.
\item Le fabricant de roulements de ce fournisseur décide d'améliorer la production de ses roulements. Le réglage de la machine qui les fabrique est modifié de sorte que 96\,\% des roulements soient conformes. On suppose qu'après réglage la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance 8 et d'écart-type $\sigma$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par $\dfrac{X - 8}{\sigma}$ ?
		\item Déterminer $\sigma$ pour que le roulement fabriqué soit conforme avec une probabilité égale à $0,96$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l'eau par l'organisme.

\smallskip

Le taux de vasopressine dans le sang est considéré normal s'il est inférieur à $2,5$~$\mu$g/mL.

Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.

\medskip

On utilisera dans la suite la modélisation suivante:

\[f(t) = 3t\text{e}^{-\frac{1}{4}t} +2\: \text{ avec }\: t \geqslant 0,\]

où $f(t)$ représente le taux de vasopressine (en $\mu$g/mL) dans le sang en fonction du temps $t$ (en minute) écoulé après le début d'une hémorragie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le taux de vasopressine dans le sang à l'instant $t = 0$ ?
		\item Justifier que douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n'est pas normal.
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$. 

Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif,

\[f'(t) = \dfrac{3}{4}(4 - t)\text{e}^{-\frac{1}{4}t}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (en incluant la limite en $+\infty$ ).
		\item À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ? 
		
Quel est alors ce taux? On en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe une unique valeur $t_0$ appartenant à [0~;~4] telle que $f\left(t_0\right) = 2,5$.
		
En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\smallskip

\emph{On admet qu'il existe une unique valeur $t_1$ appartenant à $[4~;~+\infty[$ vérifiant $f\left(t_1\right) = 2,5$.}

\emph{On donne une valeur approchée de $t_1$ à $10^{-3}$ près: $t_1 \approx  18,930$.}

\smallskip

\begin{enumerate}[resume]
		\item Déterminer pendant combien de temps, chez une personne victime d'une hémorragie, le taux de vasopressine reste supérieur à 2,5 $\mu$g/mL dans le sang.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $F(t) = -12(t + 4)\text{e}^{-\frac{1}{4}t} + 2t$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ et en déduire une valeur approchée de $\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} f(t)\:\text{d}t$ à l'unité près.
		\item En déduire une valeur approchée à $0,1$ près du taux moyen de vasopressine, lors d'un accident hémorragique durant la période où ce taux est supérieur à $2,5$ $\mu$g/mL.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH.

Le point M est le milieu de [BF], I est le milieu de [BC], le point N est défini par la relation 

$\vect{\text{CN}} =\dfrac{1}{2}\vect{\text{GC}}$
et le point P est le centre de la face ADHE.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(6,6.5)
%\psframe(0.5,1.5)(4.3,5.3)%BCGF
\pspolygon(0.5,1.5)(4.3,1.5)(4.3,5.3)(0.5,5.3)
\psline(4.3,1.5)(6.5,2.6)(6.5,6.4)(4.3,5.3)%CDHG
\psline(6.5,6.4)(2.7,6.4)(0.5,5.3)%HEF
\psline(4.3,-0.4)(4.3,5.3)
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.7,2.6)(2.7,6.4)
\psline[linestyle=dashed](2.7,2.6)(6.5,2.6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2.4,1.5)(4.6,4.5)(0.5,3.4)(4.3,-0.4)
\uput[d](2.7,2.6){A} \uput[d](0.5,1.5){B} \uput[dr](4.3,1.5){C} 
\uput[d](6.5,2.6){D} \uput[u](2.7,6.4){E} \uput[u](0.5,5.3){F} 
\uput[u](4.3,5.3){G} \uput[u](6.5,6.4){H} \uput[d](2.4,1.5){I} 
\uput[l](0.5,3.4){M} \uput[r](4.6,4.5){P} \uput[r](4.3,-0.4){N}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la droite (MN) coupe le segment [BC] en son milieu I.
\item Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan (MNP).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (MNP). 

En déduire une équation cartésienne du plan (MNP).
\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(d)$ passant par G et orthogonale au plan (MNP).
\item  Montrer que la droite $(d)$ coupe le plan (MNP) au point K de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right)$.

En déduire la distance GK.
\item  On admet que les quatre points M, E, D et I sont coplanaires et que l'aire du quadrilatère MEDI est $\dfrac{9}{8}$ unités d'aire. 

Calculer le volume de la pyramide GMEDI.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par: $\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+1}&=&3 - \dfrac{10}{u_n + 4}\\
u_0&=&5
\end{array}\right.$

%\newpage

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\:$u_n \geqslant 1$.

\item Démontrer que, pour tout entier nature $n$,\: $u_{n + 1} - u_n = \dfrac{\left(1- u_n \right)\left(u_n +2\right)}{u_n + 4}$.
\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{u_n -1}{u_n + 2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. 
		
En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $v_n \ne 1$.
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1 - v_n}$.
\item  En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

\begin{minipage}{0.7\linewidth}On considère l'algorithme ci-contre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après exécution de l'algorithme, quelle valeur est contenue dans la  variable $n$ ?
\item  À l'aide des parties A et B, interpréter cette valeur.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$u \gets 5$\\
$n \gets 0$\\
Tant que $u \geqslant 1,01$\\
\quad $n \gets n+1$\\
\quad $u \gets 3 - \dfrac{10}{u+4}$\\
Fin du Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que $a > b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que PGCD$(a,~b) = \text{PGCD}(a-b,~b)$.
\item En utilisant l'égalité précédente, calculer PGCD$\left(4^3 -1,~4^2 -1\right)$.
\item Compléter l'algorithme fourni en annexe de telle sorte qu'après exécution, la variable $A$ contienne PGCD$\left(4^3 -1,~4^2 -1\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,\: u_1 =1$ et pour tout entier naturel $n$ par :

\[u_{n+2} = 5u_{n+1} - 4u_n.\]

On admettra que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ est un entier naturel non nul.

On note 
$V_n=\begin{pmatrix}
u_{n+1}\\u_{n}
\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$,\: $V_{n+1}= AV_n$ où $A$ est une matrice carrée d'ordre 2 dont on précisera les coefficients.
\item On pose $P= \begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $P$ est inversible et donner $P^{-1}$.
		\item Vérifier que $P^{-1}AP$ est la matrice diagonale $D = \begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}	
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n = PD^nP^{-1}$. 
\item Soit un entier naturel $n$ non nul. Calculer les coefficients de la matrice $A^n$.
\item On admettra que pour tout entier naturel $n$ non nul, $V_n= A^n V_0$.

Justifier que pour tout entier naturel $n$,\:$u_n = - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times 4^n$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 4u_n +1$.
		\item En déduire PGCD$\left(u_{n+1},~ u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.
		\item Déterminer pour tout entier naturel $n$, PGCD$\left(4^{n+1} - 1,~4^n -1\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\medskip

\textbf{À compléter et à remettre avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft} \textbf{EXERCICE 3}\end{flushleft}

\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(6,6.5)
\psframe(0.5,1.5)(4.3,5.3)%BCGF
\psline(4.3,1.5)(6.5,2.6)(6.5,6.4)(4.3,5.3)%CDHG
\psline(6.5,6.4)(2.7,6.4)(0.5,5.3)%HEF
\psline(4.3,1.5)(4.3,-0.4)%CN
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.7,2.6)(2.7,6.4)
\psline[linestyle=dashed](2.7,2.6)(6.5,2.6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2.4,1.5)(4.6,4.5)(0.5,3.4)(4.3,-0.4)
\uput[d](2.7,2.6){A} \uput[d](0.5,1.5){B} \uput[dr](4.3,1.5){C} 
\uput[d](6.5,2.6){D} \uput[u](2.7,6.4){E} \uput[u](0.5,5.3){F} 
\uput[u](4.3,5.3){G} \uput[u](6.5,6.4){H} \uput[d](2.4,1.5){I} 
\uput[l](0.5,3.4){M} \uput[r](4.6,4.5){P} \uput[r](4.3,-0.4){N}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{3cm}

\begin{flushleft} \textbf{EXERCICE 4}\end{flushleft}

\fbox{
\begin{tabular}{l}
$A \gets 4^3-1$\\
$B \gets 4^2-1$\\
Tant que \ldots\ldots  :\\
\qquad Si $A > B$, alors:\\
\qquad\qquad  $A \gets  \ldots$\\
\qquad Sinon:\\
\qquad\qquad $B \gets  \ldots$\\
\qquad Fin Si \\
Fin Tant que\\ 
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{document}