%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-eucl,pstricks-add} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Amérique du Sud - novembre 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small Novembre 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2009 ~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oij. On prend 1~cm comme unité. \bigskip \textbf{Partie A --- Restitution organisée de connaissances} \medskip Soit D le point de coordonnées $(x_{\text{D}},~y_{\text{D}},~z_{\text{D}})$ et $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls. Démontrer que la distance du point D au plan $P$ est donnée par~: \[d(\text{D},P)=\dfrac{\left|ax_{\text{D}}+by_{\text{D}}+cz_{\text{D}} + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère les points A de coordonnées $(3~;~-2~;~2)$, B de coordonnées $(6~;~-2~;~-1)$, C de coordonnées $(6~;~1~;~5)$ et D de coordonnées $(4~;~0~;~-1)$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l'aire du triangle ABC. \item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~-2~;~1)$ est normal au plan (ABC). Déterminer une équation du plan (ABC). \item Calculer la distance du point D au plan (ABC). Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $Q$ le plan d'équation $x-2y+z-5=0$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la position relative des deux plans $Q$ et (ABC). \item $Q$ coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G. Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment $[\text{DA}]$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. Déterminer le volume du tétraèdre EFGD. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de A associe le point $M'$ d'affixe \[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point P$'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$. \item Montrer que les droites (AP) et (BP$'$) sont parallèles. \item Établir que les droites (AP) et (PP$'$) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des points tels que $M'=M$). \end{enumerate} \vspace{0.3cm} On cherche à généraliser les propriétés \textbf{1. b} et \textbf{1. c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel. \item En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel. \item Montrer que les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}. Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}. \item Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère un carré direct ABCD $\left.(\text{c'est à dire un carré ABCD tel que } \left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}\right) =\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]\right)$ de centre I. \medskip Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA]. $\Gamma_1$ désigne le cercle de diamètre [AI] et $\Gamma_2$ désigne le cercle de diamètre [BK]. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe $s$ telle que $s(\text{A})=\text{I}$ et $s(\text{B}) = \text{K}$. \item Montrer que les cercles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ se coupent en deux points distincts~: le point J et le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les images par $s$ des droites (AC) et (BC). En déduire l'image du point C par $s$. \item Soit E l'image par $s$ du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID]. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}. Démontrer que les points A, $\Omega$ et E sont alignés. (On pourra considérer la transformation $t=s\circ s$). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10~unités et on se place dans le repère orthonormé direct $\left(\text{A}~;~\dfrac{1}{10}\vect{\text{AB}}~;~\dfrac{1}{10}\vect{\text{AD}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner les affixes des points A, B, C et D. \item Démontrer que la similitude directe $s$ a pour écriture complexe \[z' = \dfrac{\text{i}}{2}z + 5 + 5\text{i}.\] \item Calculer l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ de $s$. \item Calculer l'affixe $z_\text{E}$ du point E et retrouver l'alignement des points A, $\Omega$ et E. \item Démontrer que les droites (AE), (CL) et (DJ) sont concourantes au point $\Omega$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le but de cet exercice est de déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'intégrale~: \[I = \int_0^1\left(\dfrac{\text{e}^{-x}}{2-x}\right)\:\text{d}x\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f~:x\longmapsto f(x)=\dfrac{\text{e}^{- x}}{2 - x}$ sur l'intervalle $[0~;~1]$. \item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$, on a $\dfrac{1}{\text{e}}\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \item Soit $J$ et $K$ les intégrales définies par $J = \displaystyle\int_0^1(2+x)\text{e}^{-x}\:\text{d}x$ et $K = \displaystyle\int_0^1 x^2f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Au moyen d'une intégration par parties, prouver que $J = 3 -\dfrac{4}{\text{e}}$. \item Utiliser un encadrement de $f(x)$ obtenu précédemment pour démontrer que $\dfrac{1}{3\text{e}}\leqslant K\leqslant \dfrac{1}{6}$. \item Démontrer que $J+K=4I$. \item Déduire de tout ce qui précède un encadrement de $I$, puis donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $I$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère un questionnaire comportant cinq questions. \medskip Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites ($A$, $B$ et $C$), une seule d'entre elles étant exacte. \medskip Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres. \medskip Par exemple, le mot \og $BBAAC$\fg\ signifie que le candidat a répondu $B$ aux première et deuxième questions, $A$ aux troisième et quatrième questions et $C$ à la cinquième question. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Combien y-a-t'il de mots-réponses possibles à ce questionnaire~? \item On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. Calculer la probabilité des évènements suivants~: $E$~: \og le candidat a exactement une réponse exacte\fg. $F$~: \og le candidat n'a aucune réponse exacte\fg. $G$~: \og le mot-réponse du candidat est un palindrome\fg\ (On précise qu'un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche~: par exemple, \og $BACAB$\fg\ est un palindrome). \end{enumerate} \item Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. On désigne par $X$ le nombre d'élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=28$ et $p=\dfrac{32}{243}$. \item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}