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%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
%%% dernière mise à jour : novembre 2017
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
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\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small Novembre 2009}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2009
~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oij. On prend 1~cm comme unité.

\bigskip

\textbf{Partie A --- Restitution organisée de connaissances}

\medskip

Soit D le point de coordonnées $(x_{\text{D}},~y_{\text{D}},~z_{\text{D}})$ et $P$ le plan d'équation
 
$ax + by + cz + d = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls.

Démontrer que la distance du point D au plan $P$ est donnée par~:

\[d(\text{D},P)=\dfrac{\left|ax_{\text{D}}+by_{\text{D}}+cz_{\text{D}} + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les points A de coordonnées $(3~;~-2~;~2)$, B de coordonnées $(6~;~-2~;~-1)$, 
C de coordonnées $(6~;~1~;~5)$ et D de coordonnées $(4~;~0~;~-1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle. \\
	En déduire l'aire du triangle ABC.
	\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~-2~;~1)$ est normal au plan (ABC).
	
Déterminer une équation du plan (ABC).
	\item Calculer la distance du point D au plan (ABC).
	
Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $Q$ le plan d'équation $x-2y+z-5=0$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la position relative des deux plans $Q$ et (ABC).
	\item $Q$ coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G.
	
Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment $[\text{DA}]$.
	\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
	
Déterminer le volume du  tétraèdre EFGD.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de A associe le point $M'$ d'affixe 

\[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\]

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point P$'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$.
		\item Montrer que les droites (AP) et (BP$'$) sont parallèles.
		\item Établir que les droites (AP) et (PP$'$) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
	\item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des points 
	tels que $M'=M$).
\end{enumerate}

\vspace{0.3cm}

On cherche à généraliser les propriétés \textbf{1. b} et \textbf{1. c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan.
	
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel.
		\item En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel.
		\item Montrer que les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.
	
Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}.
\item Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère un carré direct ABCD $\left.(\text{c'est à dire un carré ABCD tel que }
 \left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}\right) =\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]\right)$ de centre I.

\medskip

Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA].

$\Gamma_1$ désigne le cercle de diamètre [AI] et $\Gamma_2$ désigne le cercle de diamètre [BK].

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe $s$ telle que $s(\text{A})=\text{I}$ et $s(\text{B}) = \text{K}$.
\item Montrer que les cercles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ se coupent en deux points distincts~: le point J et le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les images par $s$ des droites (AC) et (BC). En déduire l'image du point C par $s$.
		\item Soit E l'image par $s$ du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID].
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.
	
Démontrer que les points A, $\Omega$ et E sont alignés.
	
(On pourra considérer la transformation $t=s\circ s$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10~unités et on se place dans le repère orthonormé direct $\left(\text{A}~;~\dfrac{1}{10}\vect{\text{AB}}~;~\dfrac{1}{10}\vect{\text{AD}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Donner les affixes des points A, B, C et D.
	\item Démontrer que la similitude directe $s$ a pour écriture complexe
\[z' = \dfrac{\text{i}}{2}z + 5 + 5\text{i}.\]
	\item Calculer l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ de $s$.
	\item Calculer l'affixe $z_\text{E}$ du point E et retrouver l'alignement des points A, $\Omega$ et E.
	\item Démontrer que les droites (AE), (CL) et  (DJ) sont concourantes au point $\Omega$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Le but de cet exercice est de déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'intégrale~:

\[I = \int_0^1\left(\dfrac{\text{e}^{-x}}{2-x}\right)\:\text{d}x\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f~:x\longmapsto f(x)=\dfrac{\text{e}^{- x}}{2 - x}$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$, on a $\dfrac{1}{\text{e}}\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
	
\item Soit $J$ et $K$ les intégrales définies par 
	$J = \displaystyle\int_0^1(2+x)\text{e}^{-x}\:\text{d}x$ et $K = \displaystyle\int_0^1 x^2f(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Au moyen d'une intégration par parties, prouver que $J = 3 -\dfrac{4}{\text{e}}$.
		\item Utiliser un encadrement de $f(x)$ obtenu précédemment pour démontrer que $\dfrac{1}{3\text{e}}\leqslant K\leqslant \dfrac{1}{6}$.
		\item Démontrer que $J+K=4I$.
		\item Déduire de tout ce qui précède un encadrement de $I$, puis donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère un questionnaire comportant cinq questions.

\medskip

Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites ($A$, $B$ et $C$), une seule d'entre elles étant exacte.

\medskip

Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres.

\medskip

Par exemple, le mot \og $BBAAC$\fg\ signifie que le candidat a répondu $B$  aux  première et deuxième questions, $A$ aux troisième et quatrième questions et $C$ à la cinquième question.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Combien y-a-t'il de mots-réponses possibles à ce questionnaire~?
		\item On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
		
Calculer la probabilité des évènements suivants~:
		
$E$~: \og le candidat a exactement une réponse exacte\fg.
		
$F$~: \og le candidat n'a aucune réponse exacte\fg.
		
$G$~: \og le mot-réponse du candidat est un palindrome\fg\ (On précise qu'un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche~: par exemple, \og $BACAB$\fg\ est un palindrome).
	\end{enumerate}
\item Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur  demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
	
On désigne par $X$ le nombre d'élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=28$ et 
		
		$p=\dfrac{32}{243}$.
		\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}