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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{27 mai 2011}}
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\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 27 mai 2011~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
 
On considère les points A et B d'affixes respectives : $a = \text{i}$ et $b = 1 + \text{i}$.
 
On note : $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, $r_{\text{B}}$ la rotation de centre B, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $r_{\text{O}}$ la  rotation de centre O, d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. 

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A }
\end{center}

On considère le point C d'affixe $c = 3\text{i}$. On appelle D l'image de C par $r_{\text{A}}$, G l'image de D par $r_{\text{B}}$ et H l'image de C par $r_{\text{O}}$.
 
On note $d, g$ et $h$ les affixes respectives des points D, G et H.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $d = -2+ \text{i}$. 
\item Déterminer $g$ et $h$. 
\item Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B }
\end{center}
 
On considère un point $M$, distinct de O et de A, d'affixe $m$. On appelle $N$ l'image de $M$ par $r_{\text{A}}$,  $P$ l'image de $N$ par $r_{\text{B}}$ et $Q$ l'image de $M$ par $r_{\text{O}}$.
 
On note $n, p$ et $q$ les affixes respectives des points $N,\, P$ et $Q$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $n = \text{i}m + 1 + \text{i}$. On admettra que $p = -m + 1+\text{i}$ et $q = -\text{i}m$. 
\item Montrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer l'égalité : $\dfrac{m - n}{p - n} = \text{i}  + \dfrac{1}{m}$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Déterminer l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ tels que le quadrilatère $MNPQ$ soit un rectangle.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A}
\end{center} 
Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis.
 
On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle.
 
Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B }
\end{center}
 
La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.
 
Ainsi, pour tout réel $t$ positif, la probabilité qu'un ordinateur ait une durée de vie inférieure à $t$ années, notée $p(X \leqslant t)$, est donnée par : $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\lambda$ sachant que $p(X > 5) = 0,4$. 
\item Dans cette question, on prendra $\lambda = \np{0,18}$.
 
Sachant qu'un ordinateur n'a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? 
\item Dans cette question, on admet que la durée de vie d'un ordinateur est indépendante de celle des autres et que $p(X > 5) = 0,4$. 
	\begin{enumerate}
		\item On considère un lot de 10 ordinateurs.
		 
Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité. 
		\item Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'évènement \og l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans \fg{} soit supérieure à $0,999$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}
\end{center}
 
On considère trois points A, B et C de l'espace et trois réels $a, b$ et $c$ de somme non nulle.
 
Démontrer que, pour tout réel $k$ strictement positif, l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que 

$\left\|a \vect{M\text{A}} + b \vect{M\text{B}} + c \vect{M\text{C}}\right\| = k$ est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs $a,\, b$ et $c$.
 
\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B}
\end{center}

On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous.

Il n'est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.
 
L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\,\vect{\text{AD}},\,\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~0~;~1)$ est un vecteur normal au plan (BCE). 
\item Déterminer une équation du plan (BCE). 
\item On note $(\Delta)$ la droite perpendiculaire en E au plan (BCE).
 
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$. 
\item Démontrer que la droite $(\Delta)$ est sécante au plan (ABC) en un point R, symétrique de B par rapport à A. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients respectifs $1,\, -1$ et $2$. 
		\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $(S)$ des points $M$ de l'espace tels que $\left\| \vect{M\text{R}} - \vect{M\text{B}} + 2 \vect{M\text{C}}\right\| = 2\sqrt{2}$. 
		\item Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l'ensemble $(S)$. 
		\item Démontrer que l'intersection du plan (BCE) et de l'ensemble $(S)$ est un cercle dont on précisera le rayon. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,6)
\psline(0.4,4)(0.4,0.6)(4,0)(5.3,1.5)(5.3,5)(4,3.5)(0.4,4)(1.7,5.5)(5.3,5)%EABCGFEHG
\psline(4,0)(4,3.5)
\uput[ul](0.4,4){E} \uput[dl](0.4,0.6){A} \uput[dr](4,0){B} \uput[r](5.3,1.5){C} 
\uput[ur](5.3,5){G} \uput[ul](4,3.5){F} \uput[u](1.7,5.5){H} \uput[ul](1.7,2.1){D} 
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.6)(1.7,2.1)(1.7,5.5)
\psline[linestyle=dashed](1.7,2.1)(5.3,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A :  Restitution organisée de connaissances}
\end{center}
 
Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
 
\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B}
\end{center}

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
 
\og Si $p$ est un nombre premier et $q$ un entier naturel premier avec $p$, alors 

$q^{p - 1} \equiv 1 \quad (\text{modulo}\, p)$ \fg.
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : 

\[u_{n} = 2^n + 3^n + 6^n - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les six premiers termes de la suite. 
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est pair. 
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ pair non nul, $u_{n}$ est divisible par~4.
 
On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ? 
\item Soit $p$ un nombre premier strictement supérieur à 3. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $6 \times 2^{p-2} \equiv 3\quad  (\text{modulo}\, p)$ et $6 \times 3^{p-2} \equiv  2 \quad (\text{modulo}\, p)$. 
		\item En déduire que $6u_{p-2} \equiv 0 \quad (\text{modulo}\, p)$. 
		\item Le nombre $p$ appartient-il à l'ensemble (E) ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A}
\end{center}
 
On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \text{e}^x - x - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
\item En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\: \text{e}^x - x > 0$. 
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B }
\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - x}.\] 
 
La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe.
 
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

On admet que $f$ est strictement croissante sur [0~;~1].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \in [0~;~1]$. 
\item Soit (D) la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}$. 
		\item Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~1].
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur [0~;~1]. 
		\item Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (D) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie C}
\end{center}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\
u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right), \quad \text{pour tout entier naturel}\,n.
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\, \dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$. 
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}
 
\emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}

\bigskip
 
\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 4} \end{flushleft} 

\vspace{0.85cm}
\psset{unit=9cm}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1.25,1.15)
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\uput[d](1.2,0){$x$}\uput[l](0,1.1){$y$}
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}