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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%% commandes personnelles 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~ Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2019 
~\decofourright}}
\end{center}

\def\labelitemi{$\bullet$}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\smallskip

\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{a}{1 + \text{e}^{-bx}}.\]

La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée
ci-dessous.

La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A(0~;~0,5).
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A passe par le point B(10~;~1).

\begin{center}
\psset{xunit=0.675cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(20,1,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(20,1.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{1 1 2.71828 x 0.2 mul neg exp add div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{14}{x 0.05 mul 0.5 add}
\psdots(10,1)\uput[ul](10,1){B}
\uput[u](17,0.95){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $a = 1$.

On obtient alors, pour tout réel $x \geqslant 0$,

\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-bx}}.\]

\item  On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction
dérivée.

Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$

\[f'(x) = \dfrac{b\text{e}^{-bx}}{\left(1 + \text{e}^{-bx}\right)^2}.\]
\item  En utilisant les données de l'énoncé, déterminer $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La proportion d'individus qui possèdent un certain type d'équipement dans une
population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[p(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-0,2x}}.\]

Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1\up{er} janvier 2000.

Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d'individus équipés après $x$ années.

Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d'individus équipés au 1\up{er} janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d'individus équipés au milieu de l'année 2003.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est, pour ce modèle, la proportion d'individus équipés au 1er janvier
2010? On en donnera une valeur arrondie au centième.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
		\item Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
\item  On considère que, lorsque la proportion d'individus équipés dépasse 95\,\%, le
marché est saturé.
	
Déterminer, en expliquant la démarche, l'année au cours de laquelle cela se
produit.
\item  On définit la proportion moyenne d'individus équipés entre 2008 et 2010 par

\[m = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_8^{10} p(x)\:\text{d}x.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$,

\[p(x) = \dfrac{\text{e}^{0,2x}}{1 + \text{e}^{0,2x}}.\]

		\item En déduire une primitive de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer la valeur exacte de $m$ et son arrondi au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\smallskip

\textsc{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Alex et Élisa, deux pilotes de drones, s'entraînent sur un terrain constitué d'une
partie plane qui est bordée par un obstacle.

On considère un repère orthonormé \Oijk, une unité correspondant à dix
mètres. Pour modéliser le relief de la zone, on définit six points O, P{}, Q, T, U et V par
leurs coordonnées dans ce repère :

\[\text{O}(0~;~0~;~0),\; \text{P}(0~;~10~;~0),\;  \text{Q}(0~;~11~;~1),\;  \text{T}(10~;~11~;~1),v \text{U}(10~;~10~;~0)\;  \text{et V}(10~;~0~;~0)\]

La partie plane est délimitée par le rectangle OPUV et l'obstacle par le
rectangle PQTU.

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(15,6)
%\psgrid
\psline{->}(2.05,1)(2.05,6)
\psline{->}(0.98,3)(7.4,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,2.5)(6.33,0.5)(13.8,1.5)(9.3,3.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.3,3.5)(13.8,1.5)(14.5,2.4)(10,4.4)
\rput(8,2.1){Partie plane}\rput(11.5,3.2){Obstacle}
\psdots(2.05,1)(2.05,2.5)(2.05,4)(2.05,5.5)(3.52,2.69)(4.99,2.88)(6.46,3.07)(7.83,3.26)(9.3,3.45)(3.12,2)(4.19,1.5)(5.26,1)(6.33,0.5)(7.4,0)
\uput[l](2.05,1){$-2$}\uput[l](2.05,2.5){$0$}
\uput[l](2.05,4){$2$}\uput[l](2.05,5.5){$4$}%z
\uput[u](3.52,2.69){$2$}\uput[u](4.99,2.88){$4$}\uput[u](6.46,3.07){$6$}
\uput[u](7.83,3.26){$8$}\uput[u](9.3,3.45){$10$}\uput[u](10.5,3.64){$y$}%y
\uput[d](2.05,1){$0$}
\uput[d](3.12,2){$2$}\uput[d](4.19,1.5){$4$}\uput[d](5.26,1){$6$}
\uput[d](6.33,0.5){$8$}\uput[d](7.4,0){$10$}%x
\uput[d](2.05,2.5){O}\uput[l](2.05,5.8){$z$}
\uput[d](7.1,0.2){$x$}
\psline{->}(0,2.24)(10.5,3.64)%Oy
\end{pspicture}
\end{center}

Les deux drones sont assimilables à deux points et on suppose qu'ils suivent des
trajectoires rectilignes:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le drone d'Alex suit la trajectoire portée par la droite (AB) avec A(2~;~4~;~0,25) et B(2~;~6~;~0,75) ;
\item[$\bullet~~$] le drone d'Élisa suit la trajectoire portée par la droite (CD) avec C(4~;~6~;~0,25) et D(2~;~6~;~0,25).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de la trajectoire du drone d'Alex}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le vecteur $\vect{n}(0~;~1~;~-1)$ est un vecteur normal au
plan (PQU).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (PQU).
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que la droite (AB) et le plan (PQU) sont sécants au point I de
coordonnées $\left(2~;~\dfrac{37}{3}~;~\dfrac{7}{3}\right)$.
\item  Expliquer pourquoi, en suivant cette trajectoire, le drone d'Alex ne rencontre
pas l'obstacle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Distance minimale entre les deux trajectoires}

\medskip

Pour éviter une collision entre leurs deux appareils, Alex et Élisa imposent une
distance minimale de 4 mètres entre les trajectoires de leurs drones.

L'objectif de cette partie est de vérifier si cette consigne est respectée.

Pour cela, on considère un point $M$ de la droite (AB) et un point $N$ de la droite (CD).

Il existe alors deux réels $a$ et $b$ tels que $\vect{\text{A}M} = a \vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{C}N} = b \vect{\text{CD}}$.

On s'intéresse donc à la distance $MN$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les coordonnées du vecteur $\vect{MN}$ sont $(2 - 2b~;~2 - 2a~;~- 0,5a)$.
\item  On admet que les droites (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires. On admet
également que la distance $MN$ est minimale lorsque la droite $(MN)$ est
perpendiculaire à la fois à la droite (AB) et à la droite (CD).

Démontrer alors que la distance $MN$ est minimale lorsque $a = \frac{16}{17}$ et $b = 1$.
\item  En déduire la valeur minimale de la distance $MN$ puis conclure.
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}


\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse,
en justifiant la réponse.

\smallskip

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non
justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

On considère le nombre complexe $c = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$  et les points S et T d'affixes  respectives $c^2$ et $\dfrac{1}{c}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1 :}

Le nombre $c$ peut s'écrire $c = \dfrac{1}{4}\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$.
\item \textbf{Affirmation 2 :}

Pour tout entier naturel $n$,\: $c^{3n}$ est un nombre réel.
\item \textbf{Affirmation 3 :}

Les points O, S et T sont alignés.
\item \textbf{Affirmation 4 :}

Pour tout entier naturel non nul $n$,

\[|c| + \left|c^2 \right| + \ldots + \left|c^n \right| = 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\smallskip

\textsc{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Lors d'une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a
ensuite proposé une émission d'analyse de ce match.

On dispose des informations suivantes:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 56\,\% des téléspectateurs ont regardé le match;
\item[$\bullet~~$] un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé
l'émission;
\item[$\bullet~~$] 16,2\,\% des téléspectateurs ont regardé l'émission.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les évènements:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M$ : \og le téléspectateur a regardé le match\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $E$ : \og le téléspectateur a regardé l'émission \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On note $x$ la probabilité qu'un téléspectateur ait regardé l'émission sachant qu'il n'a
pas regardé le match.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
\item Déterminer la probabilité de $M \cap E$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $p(E) = 0,44x + 0,14$.
		\item En déduire la valeur de $x$.
 	\end{enumerate}
\item Le téléspectateur interrogé n'a pas regardé l'émission. Quelle est la
probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'il ait regardé le match ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour déterminer l'audience des chaînes de télévision, un institut de sondage
recueille, au moyen de boîtiers individuels, des informations auprès de milliers de
foyers français.

Cet institut décide de modéliser le temps passé, en heure, par un téléspectateur
devant la télévision le soir du match, par une variable aléatoire $T$ suivant la loi
normale d'espérance $\mu = 1,5$ et d'écart-type $\sigma = 0,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'un téléspectateur ait passé entre
une heure et deux heures devant sa télévision le soir du match ?
\item Déterminer l'arrondi à $10^{-2}$ du réel $t$ tel que $P(T \geqslant t) = 0,066$.

Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La durée de vie d'un boîtier individuel, exprimée en année, est modélisée par une
variable aléatoire notée $S$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ strictement
positif. On rappelle que la densité de probabilité de $S$ est la fonction $f$ définie sur
$[0~;~ +\infty[$ par

\[f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}.\]

L'institut de sondage a constaté qu'un quart des boîtiers a une durée de vie comprise
entre un et deux ans.

L'usine qui fabrique les boîtiers affirme que leur durée de vie moyenne est supérieure
à trois ans.

L'affirmation de l'usine est-elle correcte ? La réponse devra être justifiée.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\smallskip

\textsc{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

On étudie l'évolution quotidienne des conditions météorologiques d'un village sur une
certaine période. On suppose que, pour un jour donné, il existe trois états
météorologiques possibles : \og ensoleillé \fg, \og nuageux sans pluie\fg{} et \og pluvieux \fg.

On sait que:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si le temps est ensoleillé un jour donné, la probabilité qu'il le soit encore le lendemain est $0,5$ et celle qu'il soit pluvieux est $0,1$ ;
\item[$\bullet~~$] si le temps est nuageux sans pluie un jour donné, la probabilité qu'il le soit
encore le lendemain est $0,2$ et celle qu'il soit pluvieux est $0,7$ ;
\item[$\bullet~~$] si le temps est pluvieux un jour donné, la probabilité qu'il le soit encore le lendemain est $0,6$ et celle qu'il soit ensoleillé $0,2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout entier naturel $n$, on note les évènements:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A_n$ : \og le temps est ensoleillé au bout de $n$ jours\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B_n$: \og le temps est nuageux sans pluie au bout de $n$ jours\fg ;
\item[$\bullet~~$] $C_n$: \og le temps est pluvieux au bout de $n$ jours\fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on note respectivement $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités des
évènements $A_n$,  $B_n$ et $C_n$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$,\: $a_n + b_n + c_n = 1$.

On suppose qu'initialement, le temps est ensoleillé.

On a donc $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 0,5a_n + 0,1b_n + 0,2c_n$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,3a_n - 0,1b_n + 0,2$.
		
On admet que, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1} = 0,2a_n + 0,2$.
	\end{enumerate}
\item On considère les matrices
	
\[M = \begin{pmatrix}0,3& -0,1\\0,2&0\end{pmatrix},\quad  U = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix},\quad R \begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, \:$U_{n+1} = MU_n + R$.
		\item Soit $Y = \begin{pmatrix}\alpha\\\beta \end{pmatrix}$ tel que $Y = MY + R$. Démontrer que $\alpha = \beta = 0,25$.
 	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n = U_n - Y$.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la question 2., vérifier que, pour tout entier naturel $n$,\:
$V_{n+1} = MV_n$
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif,
$V_n = M^nV_0$.
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel strictement positif $n$,

\[M^n = \begin{pmatrix}2 \times 0,2^n - 0,1^n& 0,1^n - 0,2^n\\
 2 \times 0,2^n - 2 \times 0,1^n & 2 \times 0,1^n - 0,2^n\end{pmatrix}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $a_n$ en fonction de l'entier strictement
positif $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$,\: $c_n = 0,5 + 3 \times 0,1^n - 3,5 \times 0,2^n$.
		
La probabilité que le temps soit pluvieux au bout de $n$ jours peut-elle
dépasser $0,5$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}