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%Tapuscrit : Jean-Paul Goualard
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%%%%% commandes personnelles 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{19 juin 2018}}
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~ Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2018 
~\decofourright}}
\end{center}

\def\labelitemi{$\bullet$}

%: EXERCICE 1
\vspace{1cm}\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\smallskip
\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

L'exploitant d'une forêt communale décide d'abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants, soit à des entreprises. On admet que:
\begin{itemize}
\item parmi les arbres abattus, 30~\% sont des chênes, 50~\% sont des sapins et les autres sont des arbres d'essence secondaire (ce qui signifie qu'ils sont de moindre valeur);
\item \np{45,9}~\% des chênes et 80~\% des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune;
\item les trois quarts des arbres d'essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises. 
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard.

On considère les évènements suivants:
\begin{itemize}
\item $C$: \og l'arbre abattu est un chêne\fg{};
\item $S$: \og l'arbre abattu est un sapin\fg{};
\item $E$: \og l'arbre abattu est un arbre d'essence secondaire\fg{};
\item $H$: \og l'arbre abattu est vendu à un habitant de la commune\fg{}.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
\item Calculer la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne  vendu à un habitant de la commune.
\item Justifier que la probabilité que l'arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à \np{0,5877}.
\item Quelle est la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin~?\\On donnera le résultat arrondi  à $10^{-3}$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

Le nombre d'arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d'espérance $\mu=\np{4000}$ et d'écart-type $\sigma=300$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'il y ait entre \np{3400} et \np{4600} arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait plus de \np{4500} arbres sur un hectare donné de cette forêt.
On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\smallskip

L'exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de 1 sapin pour 2 arbres.

\smallskip

Sur une parcelle, on a compté 106 sapins dans un échantillon de 200 arbres.\
Ce résultat remet-il en cause l'affirmation de l'exploitant~?

%: EXERCICE 2
\vspace{1cm}\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\smallskip
\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d'un tétraèdre posé sur un cube de 6 mètres d'arête.

Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(8,8)
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=135](0,4){F}
\pstGeonode[PosAngle=-45](4,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=0](4,4){G}
\pstGeonode[PosAngle=45](2,2){A}
\pstTranslation[PosAngle=-45]{B}{A}{C}[D]
\pstTranslation[PosAngle=45]{B}{A}{G}[H]
\pstTranslation[PosAngle=45]{B}{A}{F}[E]
\pstHomO[HomCoef=0.166666666667,PosAngle=-45]{A}{B}[I]
\pstHomO[HomCoef=0.166666666667,PosAngle=-45]{A}{D}[J]
\pstHomO[HomCoef=0.166666666667,PosAngle=135]{A}{E}[K]
\psline(B)(C)(G)(F)(B)
\psline[linestyle=dashed](B)(A)(E)
\psline[linestyle=dashed](A)(D)
\psline(G)(H)(D)(C)
\pstHomO[HomCoef=.3333333,PosAngle=45]{E}{H}[M]
\pstHomO[HomCoef=.3333333,PosAngle=135]{E}{F}[L]
\pstInterLL[PosAngle=90]{B}{L}{M}{D}{S}
\psline(S)(L)(M)(S)
\psline(F)(L)
\psline(M)(H)
\psline[linestyle=dashed](L)(E)(S)
\psline[linestyle=dashed](E)(M)
\psline[linestyle=dashed](L)(B)(D)(M)
\psline[linecolor=red]{->}(A)(I)
\psline[linecolor=red]{->}(A)(J)
\psline[linecolor=red]{->}(A)(K)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A~;~\vect{AI}, \vect{AJ}, \vect{AK}\right)$ tel que: $I\in[AB]$, $J\in[AD]$, $K\in[AE]$ et 

$AI=AJ=AK=1$, l'unité graphique représentant 1 mètre.

Les points $L$, $M$ et $S$ sont définis de la façon suivante:
\begin{itemize}
\item $L$ est le point tel que $\vect{FL}=\frac23\vect{FE}$;
\item $M$ est le point d'intersection du plan $(BDL)$ et de la droite $(EH)$;
\item $S$ est le point d'intersection des droites $(BL)$ et $(AK)$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
\item Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2~;~0~;~6)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$.
		\item Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0~;~0~;~9)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~3~;~2)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $\vect{n}$ est normal au plan $(BDL)$.
		\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est :

\[3x+3y+2z-18 = 0.\]
		\item On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&0\\
y&=&s~~~~(s\in\R)\\
z&=&6
\end{array}
\right.
\]
Calculer les coordonnées du point $M$.
	\end{enumerate}
\item Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante :

\[V=\frac13\times\text{Aire de la base}\times\text{Hauteur}.\]

\item L'artiste souhaite que la mesure de l'angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre 55\degres et 60\degres.

Cette contrainte d'angle est-elle respectée~?
\end{enumerate}

%: EXERCICE 3
\vspace{1cm}\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\smallskip
\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt:

\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-2.)(5.,1.)
\pscustom[linewidth=0.8pt,fillcolor=lightgray!60,fillstyle=solid]{\psplot{-1.57}{4.6}{EXP(-x)*(-COS(x)+SIN(x)+1.0)}\lineto(4.6,0)\psplot{4.6}{-1.57}{-EXP(-x)*COS(x)}\lineto(-1.57,0)\closepath}
\psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-1.57}{4.6}{EXP(-x)*(-COS(x)+SIN(x)+1.0)}
\psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-1.57}{4.6}{-EXP(-x)*COS(x)}
\end{pspicture*}
\end{center}

Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par:

\[f(x) = \e^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\text{~~et~~} g(x) = -\e^{-x}\cos x.
\]

On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\R$.

\medskip
 
\textbf{Partie A — Étude de la fonction $f$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout $x\in\R$:\[
-\e^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\e^{-x}.\]
\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Démontrer que, pour tout $x\in\R$, $f'(x)=\e^{-x}(2\cos x-1)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
\item Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~\pi]$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-\pi~;~\pi]$.
		\item En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi~;~\pi]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B — Aire du logo}

\smallskip

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé \Oij. L'unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_g$ sur $\R$.
\item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[
H(x)=\left(-\frac{\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}-1\right)\e^{-x}.
\]
On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\e^{-x}$ sur $\R$.

On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est les droites d'équation $x=-\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.
		\item Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm\up{2}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

%: EXERCICE 4
\vspace{0,5cm}\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\smallskip
\textsc{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Le directeur d'une réserve marine a recensé \np{3000} cétacés dans cette réserve au 1\up{er} juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en \og réserve marine\fg{} ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à \np{2000}.

\smallskip

Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

\begin{itemize}
\item entre le 1\up{er} juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;
\item entre le 1\up{er} novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5~\% de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.
\end{itemize}

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1\up{er} juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0=\np{3000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
 Justifier que $u_1 = \np{2926}$.
 \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\np{0,95}u_n+76$.
 \item À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\rowcolor{lightgray!50}		&A		&B			&C&D&E&F&G&H&I\\\hline
\cellcolor{lightgray!50}1	&$n$	&0			&1&2&3&4&5&6&7\\\hline
\cellcolor{lightgray!50}2	&$u_n$	&\np{3000}	&\np{2926}&\np{2856}&\np{2789}&\np{2725}&\np{2665}&\np{2608}&\np{2553}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $\left(u_n\right)$~?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant \np{1520}$.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$,\: $v_n=u_n-\np{1520}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0,95} dont on précisera le premier terme.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \np{1480}\times\np{0,95}^n + \np{1520}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à \np{2000}.
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{4cm}
$n\leftarrow 0$\\
$u\leftarrow\np{3000}$\\
Tant que \ldots\\
\phantom{xxxx}$n\leftarrow \ldots$\\
\phantom{xxxx}$u\leftarrow \ldots$\\
Fin de Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
La notation \og $\leftarrow$\fg{} correspond à une affectation de valeur, ainsi \og $n\leftarrow 0$\fg{} signifie \og Affecter à $n$ la valeur $0$\fg.
\item La réserve marine fermera-t-elle un jour~? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.
\end{enumerate}

%: EXERCICE 4
\vspace{0,5cm}\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\smallskip

\textsc{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d'accréditation annuelle. Il existe deux types de cartes :

\begin{itemize}
\item une carte de pêche dite \og libre \fg{} (le pêcheur n'est pas limité en nombre de poissons pêchés);
\item une carte de pêche dite \og avec quota \fg{} (le pêcheur ne doit pas dépasser une certaine quantité hebdomadaire de poisson).
\end{itemize}

\smallskip

On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d'année en année.

On note, pour l'année $2017+n$:
\begin{itemize}
\item $\ell_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche libre ;
\item $q_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche avec quota.
\end{itemize}

On observe que:
\begin{itemize}
\item chaque année, 65~\% des possesseurs de la carte de pêche libres achètent de nouveau une carte de pêche libre l'année suivante;
\item Chaque année, 45~\% des possesseurs de la carte de pêche avec quota achètent une carte de pêche libre l'année suivante ;
\item En 2017, 40~\% des pêcheurs ont acheté une carte de pêche libre. On a donc $\ell_0=\np{0,4}$ et $q_0=\np{0,6}$.
\end{itemize}

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix}
\ell_n\\q_n
\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}= MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix}
\np{0,65}&\np{0,45}\\
\np{0,35}&\np{0,55}
\end{pmatrix}$.
\item Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.
\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}1\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$M:=\{\{\np{0.65},\np{0,45}\},\{\np{0.35},\np{0.55}\}\}$\\
$\checkmark~~ M:=\begin{pmatrix}
0,65&0,45\\0,35&0,55
\end{pmatrix}$
\end{tabular}
\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}2\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$P_0:=\{\{ 0,4 \},\{ 0,6 \}\}$\\
$\checkmark~~ P_0:=\begin{pmatrix}
0,4\\0,6
\end{pmatrix}$
\end{tabular}
\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}3\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$Q:=\{\{ 9,1 \},\{ 7,$- 1$ \}\}$\\
$\checkmark~~ Q:=\begin{pmatrix}
9&1\\7&-1
\end{pmatrix}$
\end{tabular}
\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}4\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$T:=\{\{ 1/16,1/16 \},\{ 7/16,- 9/16 \}\}$\\
$\checkmark~~ T:=\begin{pmatrix}
\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{7}{16}&-\frac{9}{16}
\end{pmatrix}$\\[-0.5ex]\quad
\end{tabular}
\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}5\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$TQ$\\
$\rightarrow~~ \begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}$
\end{tabular}
\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}6\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$QT$\\
$\rightarrow~~ \begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}$
\end{tabular}
\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}7\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$D:=TMQ$\\
$\rightarrow~~ D:=\begin{pmatrix}
1&0\\0&\frac15
\end{pmatrix}$
\\[-0.5ex]\quad
\end{tabular}
\\
\hline
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{center}

En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.

On notera $Q^{-1}$ la matrice inverse de $Q$.
\item Justifier que $M = QDQ^{-1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul :
\[M^n=QD^nQ^{-1}.\]
\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[
M^n=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}
9+7\times\np{0,2}^n&9-9\times\np{0,2}^n\\
7-7\times\np{0,2}^n&7+9\times\np{0,2}^n
\end{pmatrix}.
\]
\begin{enumerate}
\item
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$:
\[
\ell_n=\frac{9}{16}-\frac{13}{80}\times\np{0,2}^n.
\]
\end{enumerate}
\item La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle 60~\%~?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Exercice 3}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1.85cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.1)(5.1,3.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.1)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-2}{5}{(1+sin(x)-cos(x))*2.71828^(-x)}
\uput[u](1.5,0.4){$\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{-cos(x)*2.71828^(-x)}
\uput[d](1.5,0){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}