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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\lfoot{\small{6 septembre 2018}}
\rfoot{\small{Antilles--Guyane}}
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{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 6 septembre 2018 
~\decofourright}}
\end{center}

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\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si besoin, à $10^{-3}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Elsa a préparé un grand saladier de billes de chocolat pour son anniversaire.

On y trouve :

\begin{itemize}
\item  40\,\% de billes au chocolat blanc, les autres étant au chocolat noir;
\item  parmi les billes au chocolat blanc, 60\,\% sont fourrées au café; les autres sont
fourrées au praliné ;
\item  parmi les billes au chocolat noir, 70\,\% sont fourrées au café; les autres sont fourrées
au praliné.
\end{itemize}

Un invité prend une bille de chocolat au hasard dans le saladier.
On définit les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item \emph{B} : \og l'invité prend une bille au chocolat blanc \fg{} ;
\item \emph{C} : \og l'invité prend une bille fourrée au café \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
\item Montrer que la probabilité que l'invité prenne une bille fourrée au café vaut $0,66$.
\item Sachant que la bille est fourrée au café, quelle est la probabilité que l'invité ait pris
une bille au chocolat blanc ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La société Chococéan commercialise des bonbons au chocolat, qui sont conditionnés en
paquets d'environ $250$~g par une machine. La réglementation exige qu'un tel paquet de
bonbons au chocolat ait une masse supérieure à $247,5$~g.

La dirigeante de l'entreprise constate que, lorsqu'on prélève au hasard un paquet de bonbons
au chocolat dans la production, sa masse, en grammes, peut être modélisée par une variable
aléatoire $X_1$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu_1 = 251$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un paquet prélevé au hasard dans la production soit
conforme à la réglementation.
\item La dirigeante souhaiterait que 98\,\% des paquets soient conformes à la réglementation.

Cela nécessite un nouveau réglage de la machine, afin que la masse, en grammes, du
paquet prélevé au hasard soit modélisée par une variable aléatoire $X_2$ qui suit une loi
normale d'espérance $\mu_2$ inconnue et d'écart-type $\sigma = 2$.

Déterminer la valeur de $\mu_2$ répondant au souhait de la dirigeante.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La société procède à un réglage de la machine. La dirigeante affirme que désormais 98\,\% des
paquets produits sont conformes à la réglementation.

Une association de consommateurs fait peser $256$ paquets de bonbons au chocolat et en
dénombre $248$ qui sont conformes à la réglementation.

Le résultat de ce contrôle remet-il en question l'affirmation de la dirigeante ? Justifier la
réponse.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

On note $\R$ l'ensemble des nombres réels.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f_2$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f_2(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]

La courbe représentative de $f_2$, notée $\mathcal{C}_2$, est tracée dans un repère orthonormé sur l'ANNEXE à rendre avec la copie.

\medskip

Aucune justification ni aucun calcul ne sont attendus dans cette partie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Conjecturer les limites de $f_2$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
\item Conjecturer le tableau de variations de $f_2$ à l'aide du graphique.
\item Soit $T_2$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point d'abscisse $0$. Tracer cette tangente sur l'ANNEXE à rendre avec la copie, puis en conjecturer une équation par lecture
graphique.
\item Sur l'ANNEXE à rendre avec la copie, hachurer un domaine dont l'aire est donnée
par l'intégrale

\[\displaystyle\int_{-2}^6 f_2(t)\:\text{d}t.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout réel $m$, on note $f_m$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f_m(x) = (x + m)\text{e}^{- x}\]

et $\mathcal{C}_m$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f_m$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
\item On admet que $f_m$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'_m$ sa dérivée.

Montrer que, pour tout réel $x$,\: $f'_m(x) = (-x - m + 1)\text{e}^{- x}$.
\item En déduire les variations de $f_m$ sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $m$, on note $T_m$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_m$ au point d'abscisse $0$.
		
Démontrer que $T_m$ a pour équation réduite $y = (1 - m)x + m$.
		\item Démontrer que toutes les droites $T_m$ passent par un même point dont on précisera
les coordonnées.
	\end{enumerate}
\item Étudier le signe de $f_m(x)$ pour tout réel $x$.
\item On admet que la fonction $F_2$ définie sur $\R$ par $F_2(x) = -(x + 3)\text{e}^{- x}$ est une
primitive de $f_2$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en fonction de $x$, l'expression de
		
\[\displaystyle\int_{-2}^x f_2(t)\:\text{d}t.\]
		\item En déduire la valeur de
		
\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_{-2}^x f_2(t)\:\text{d}t.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

On considère un cube ABCDEFGH. L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$.

La figure est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(7.5,7)
\uput[l](0,0){A}\uput[l](-2.4,-2.4){B}\uput[r](2.4,-2.4){C}\uput[ur](4.8,0){D}
\uput[l](0,4.8){E}\uput[dl](-2.4,2.4){F} \uput[dr](2.4,2.4){G}\uput[ur](4.8,4.8){H}
\uput[ur](0,2.9){I}\uput[l](-2.4,-0.8){J}\uput[dr](2.4,-0.8){K}\uput[r](4.8,2.9){L}
\psframe(-2.4,-2.4)(2.4,2.4)
\psline(2.4,-2.4)(4.8,0)(4.8,4.8)(2.4,2.4)%CDHG
\psline(4.8,4.8)(0,4.8)(-2.4,2.4)%HEF
\psline(-2.4,-0.8)(2.4,-0.8)(4.8,2.9)%JKL
\psline[linestyle=dashed](-2.4,-2.4)(0,0)(4.8,0)%BAD
\psline[linestyle=dashed](-2.4,-0.8)(0,2.9)(4.8,2.9)%JIL
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,4.8)%IE
\psline{->}(4.8,0)(7.5,0)
\psline{->}(0,4.8)(0,7)
\psline{->}(-2.4,-2.4)(-4,-4)
\end{pspicture}
\end{center}

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|X}\cline{1-1}
\parbox{0.48\linewidth}{On rappelle les formules suivantes :\\

\medskip
\fbox{
\parbox{0.9\linewidth}
{\centering
Aire d'un trapèze:

$\frac{1}{2}$(petite base + grande base) $\times$ hauteur
\medskip

Volume d'un prisme :

aire de la base $\times$ hauteur}}} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(6.8,5.4)
\pspolygon(0,1.2)(4.4,0.2)(4.4,1.2)(0,2.2)
\psline(4.4,0.2)(6.4,0)(6.4,4.2)(2,5.4)(0,2.2)
\psline[linestyle=dotted](0,1.2)(2,1.1)(6.4,0)
\psline[linestyle=dotted](2,1.1)(2,5.4)
\pspolygon[fillstyle=hlines](4.4,1.2)(4.4,0.2)(6.4,0)(6.4,4.2)
\rput{90}(6.8,2.2){base du prisme}
\rput{-15}(4.2,5.2){hauteur du prisme}
\end{pspicture}}
%\end{center}


On note $\mathcal{P}_1$ le plan d'équation $4x + 15z - 9 = 0$.

La section IJKL du cube ABCDEFGH par le plan $\mathcal{P}_1$ est représentée sur la figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points I et J.
\item Le plan $\mathcal{P}_1$ partage le cube en deux prismes.

Calculer le volume de chacun de ces deux prismes.
\item Soit M un point du segment [EI].

On cherche un plan $\mathcal{P}_2$ parallèle à $\mathcal{P}_1$ et passant par M qui partage le cube en deux prismes de même volume.

Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$.

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textsc{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$, et pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1} = \text{e} \times \sqrt{u_n}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

\[1 \leqslant u_n \leqslant  \text{e}^2.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
		\item En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on pose
	
\[v_n = \ln \left(u_n\right) - 2.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

\[v_n = - \dfrac{1}{2^{n-1}}.\]
		
		\item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
 	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on s'interroge sur le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ si l'on choisit d'autres valeurs que 1 pour $u_0$.
	
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en
justifiant.
	
	\medskip
	
\textbf{Affirmation 1} : \og Si $u_0 = \np{2018}$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \fg
	
\textbf{Affirmation 2} : \og Si $u_0 = 2$, alors pour tout entier naturel $n$,\: $1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^2$. \fg
	
\textbf{Affirmation 3} : \og La suite $\left(u_n\right)$ est constante si et seulement si 
$u_0 = 0$. \fg
\end{enumerate}

%\vspace{1cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textsc{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 3u_n + 1$.

\medskip

On admet que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ est entier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
\item Démontrer que les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont alternativement pairs et impairs.
\item L'affirmation suivante est-elle vraie ? Justifier.

Affirmation: \og Si $p$ est un nombre premier impair, alors $u_p$ est premier. \fg
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $2u_n = 3^n - 1$.
		\item Déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $3^n$ est congru à 1 modulo 7.
		\item En déduire que $u_{\np{2022}}$ est divisible par $7$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le reste de la division euclidienne par 5 de chacun des cinq premiers
termes de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Sans justification, recopier et compléter le tableau suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline	
Reste de la division euclidienne de $m$ par 5 	&0 	&1 	&2 	&3 	&4\\ \hline
Reste de la division euclidienne de $3m + 1$ par 5&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, si $u_n$ est congru à 4 modulo 5, alors
$u_{n+4}$ est congru à 4 modulo 5.
		\item Existe-t-il un entier naturel $n$ tel que le reste de la division euclidienne de $u_n$ par 5 soit égal à 2 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 2}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.5)(6.5,3.5)
\psgrid[unit=0.6cm,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](-6,-7)(13,7)
\psaxes[linewidth=1.pt](0,0)(-3,-3.5)(6.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](0.5,1.5){\blue $\mathcal{C}_2$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{6.5}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}