%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Antilles Guyane - juin 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Antilles - Guyane}} \rfoot{\small 23 juin 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 23 juin 2009~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions. \smallskip On dispose de deux dés tétraédriques identiques: les quatre faces sont numérotées A, B, C et D. \medskip \begin{enumerate} \item On lance les deux dés simultanément et on note la lettre de la face sur laquelle repose chacun des dés. \smallskip Déterminer la probabilité des évènements suivants: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $E_{0}$ : \og ne pas obtenir la lettre A~\fg, \item $E_{1}$ : \og obtenir une fois la lettre A~\fg, \item $E_{2}$ : \og obtenir deux fois la lettre A~\fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item On organise un jeu de la façon suivante: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Le joueur lance les deux dés simultanément. \item Si les deux dés reposent sur les faces \og A~\fg, le jeu s'arrête. \item Si un seul dé repose sur la face \og A~\fg, le joueur relance l'autre dé et le jeu s'arrête. \item Si aucun dé ne repose sur la face \og A~\fg, le joueur relance les deux dés et le jeu s'arrête. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante. %\begin{center} %\begin{tabular}{c@{\qquad\qquad}c@{\qquad\qquad}c} %&Nombre de &Nombre de \\ %& faces \og A~\fg & faces \og A~\fg\\[5ex] %&\rnode{b}{0}& %\begin{tabular}{c} %\rnode{e}{$0$}\\[2ex] %\rnode{f}{$1$}\\[2ex] %\rnode{g}{$2$}\\[2ex] %\end{tabular} %\\ %\rnode{a}{}&\rnode{c}{1}& %\begin{tabular}{c} %\rnode{h}{$0$}\\[2ex] %\rnode{i}{$1$}\\[4ex] %\end{tabular}\\ %&\rnode{d}{2}&\\[5ex] %&1\up{er} lancer&2\up{e} lancer %\end{tabular} %\ncline[nodesepB=3pt]{a}{b} %\ncline[nodesepB=3pt]{a}{c} %\ncline[nodesepB=3pt]{a}{d} %\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{e} %\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{f} %\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{g} %\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{c}{h} %\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{c}{i} %\end{center} \begin{center} \hspace*{2.5cm} \shortstack{Nombre de\\faces \og A \fg{} } \hspace{1.5cm} \shortstack{Nombre de\\faces \og A \fg{} } \bigskip \psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=7mm} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt] {\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$0$}} {\TR{$0$} \TR{$1$} \TR{$2$}} \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$1$}} {\TR{$0$} \TR{$1$}} \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$2$}} {$\phantom{\TR{0}}$} } \medskip \hspace*{2.5cm} 1\ier{} lancer \hspace{1.5cm} 2\ieme{} lancer \end{center} \item Le joueur gagne si, lorsque le jeu s'arrête, les deux dés reposent sur les faces \og A~\fg. Montrer que, pour le joueur, la probabilité de gagner est de $\dfrac{49}{256}$. \item Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S'il gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque le jeu s'arrête, un seul dé repose sur la face \og A~\fg, il est remboursé. Sinon, il perd sa mise. Le jeu est-il favorable au joueur? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse}. \medskip \begin{enumerate} \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = (1 + \text{i}\sqrt{3})z + 2\sqrt{3}.\] On note $A$ le point d'affixe $2\text{i}$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $f$ est la similitude directe, de centre $A$, d'angle $\frac\pi3$ et de rapport 2. \end{tabular} \item \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $1991^{2009}\equiv 2~(7)$. \end{tabular} \item $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs quelconques, $n$ et $p$ sont deux entiers naturels premiers entre eux. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $a\equiv b~(p)$ si et seulement si $na \equiv nb~(p)$. \end{tabular} \item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. $\mathscr{E}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ vérifient l'équation: $z = x^2 + y^2$. On note $\mathscr{S}$ la section de $\mathscr{E}$ par le plan d'équation $y=3$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $\mathscr{S}$ est un cercle. \end{tabular} \item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. $\mathscr{P}$ est la surface d'équation $x^2 +y^2 = 3z^2$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} O le seul point d'intersection de $\mathscr{P}$ avec le plan $(y\text{O}z)$ à coordonnées entières. \end{tabular} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse}. \medskip \begin{enumerate} \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. Soit le point A d'affixe 3, le point B d'affixe $-4\text{i}$ et l'ensemble $\mathscr{E}$ des points M d'affixe $z$ tels que $\left\vert z - 3\right\vert=\left\vert z+4\text{i}\right\vert$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $\mathscr{E}$ est la médiatrice du segment [AB]. \end{tabular} \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On considère trois points A, B et C deux à deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$, tels que $\dfrac{c - a}{b - a}=2\text{i}$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} A appartient au cercle de diamètre [BC]. \end{tabular} \item On considère le nombre $z=2\text{e}^{\text{i}\frac\pi7}$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $z^{2009}$ est un nombre réel positif. \end{tabular} \item On considère trois points A, B et C non alignés de l'espace. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC. On note $\mathscr{F}$ l'ensemble des points M vérifiant $\left\vert\left\vert \vect{\text{MA}}+\vect{\text{MB}}+\vect{\text{MC}}\right\vert\right\vert=6$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $\mathscr{F}$ est la sphère de centre de G et de rayon 2. \end{tabular} \item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. $\mathscr{S}$ est la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 = 5$. $\mathscr{P}$ est le plan d'équation $x + y - 5 = 0$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} Le plan $\mathscr{P}$ coupe la sphère $\mathscr{S}$ suivant un cercle. \end{tabular} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{PARTIE A.} \medskip La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement est une fonction $f$ du temps $t$. $f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie l'équation différentielle: \[f'(t) + \dfrac12f(t)=10.\] La température est exprimée en degrés Celsius (\degres C) et le temps $t$ en heures. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $f(t)$ pour $t\geqslant 0$, sachant que pour $t=0$, la température de l'objet est 220~\degres~C. \item On pourra admettre désormais que la fonction $f$ est définie sur $\R^+$ par \[f(t) = 200\,\text{e}^{-\frac{t}{2}}+20.\] On note $\mathscr{C}$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthogonal; les unités graphiques sont 2~cm pour un heure en abscisse et 1~cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée. \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$. \item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. En déduire l'existence d'une asymptote $\mathscr{D}$ à la courbe $\mathscr{C}$ en $+\infty$. \item Construire $\mathscr{D}$ et $\mathscr{C}$ sur l'intervalle $[0~;~7]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l'objet est 50\degres~C. On laissera apparents les traits de construction. \item Retrouver ce résultat par le calcul. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B.} \medskip On considère la suite de terme général $d_{n} = f(n)-f(n + 1)$ où $n\in\mathbb{N}$. $d_{n}$ représente l'abaissement de température de l'objet entre l'heure $n$ et l'heure $n+1$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer des valeurs approchées au dixième de $d_{0}$, $d_{1}$ et $d_{2}$. \item Quelle est la limite de $d_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$~? \end{enumerate} \item Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle l'abaissement de température est inférieur à 5\degres~C. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : \[u_{n} = \left(1+\dfrac1n\right)^n.\] \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = x -\ln (1 + x).\] \begin{enumerate} \item En étudiant les variations de la fonction $f$, montrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $\ln (1 + x)\leqslant x$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln(u_{n})\leqslant 1$. \item La suite $\left(u_{n}\right)$ peut-elle avoir pour limite $+\infty$~? \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $v_{n} = \ln \left(u_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item On pose $x=\dfrac1n$. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $x$. \item Que vaut $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1 + x)}{x}$~? Aucune justification n'est demandée. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} v_{n}$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}