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%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
%%% dernière mise à jour : novembre 2017
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
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\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}
{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\septembre 2009}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{VRAI OU FAUX}
 
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip 

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par $u_{n} = (-1)^n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est bornée. 
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
\item La suite de terme général $\dfrac{u_{n}}{n}$ converge. 
\item Toute suite $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs et décroissante converge vers $0$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants avec $P(B) \neq 0$ et $P(B) \neq 1$, alors 

$P( A \cap B) = P_{B}(A)$. 
\item Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0~;~1], alors 

$P\left(X \in [0,1~;~0,6]\right) = 0,6$. 
\item Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et $\dfrac{1}{3}$, 
alors $P(X \geqslant 1)= 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{100}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.
 
On considère les points A$(1~;~-1~;~4)$, B$(7~;~-1~;~-2)$ et C$(1~;~5~;~-2)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$. 
		\item  Montrer que le triangle ABC est équilatéral. 
		\item  Montrer que le vecteur $\vect{n}(1~;~1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (ABC). 
		\item  En déduire que $x + y + z - 4 = 0$ est une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique
\[\left\{\begin{array}{l !{=} l} 
x& -2t\\ 
y& -2t-2\\
z& -2t-3
\end{array}\right. 
\text{où} \quad  t \in  \R.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan (ABC). 
		\item Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC) sont (3~;~1~;~0). 
		\item Montrer que G est l'isobarycentre des points A, B et C.
	\end{enumerate}	 
\item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre G passant par A.
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. 
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection E et F de la droite $\mathcal{D}$ et de la sphère $\mathcal{S}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{L'annexe est à rendre avec la copie} \end{center}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.
 
On considère la surface $S_{1}$ d'équation $z = x^2 + y^2$, et la surface $S_{2}$ d'équation \mbox{$z = xy + 2x$.}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip 

On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x = 2$, $E_{1}$ l'intersection de la surface $S_{1}$ et du plan $\mathcal{P}$ et $E_{2}$ l'intersection de la surface $S_{2}$ et du plan $\mathcal{P}$.
 
En \textbf{annexe}, le plan $\mathcal{P}$ est représenté muni du repère $\left(\text{A}~ ;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ où A est le point de coordonnées (2~;~0~;~0).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature de l'ensemble $E_{1}$. 
		\item Déterminer la nature de l'ensemble $E_{2}$.
	\end{enumerate}		 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Représenter les ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$ sur la feuille \textbf{annexe}. 
		\item Dans le repère \Oijk{} donner les coordonnées des points d'intersection B et C des ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

\emph{On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante :}
 
\begin{quote}
\og \emph{Soient $a,~ b$ et $c$ des entiers avec $a$ premier. Si $a$ divise $bc$ alors $a$ divise $b$ ou $a$ divise $c$.}\fg 
\end{quote}

\medskip

L'objectif de cette partie est de déterminer les points d'intersection $M(x~;~y~;~z)$ des surfaces $S_{1}$ et $S_{2}$ où $y$ et $z$ sont des entiers relatifs et $x$ un nombre premier. 

On considère un tel point $M(x~;~y~;~z)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $y(y - x) = x(2 - x)$. 
		\item En déduire que le nombre premier $x$ divise $y$.
	\end{enumerate} 
\item On pose $y = kx$ avec $k \in  \Z$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $x$ divise 2, puis que $x = 2$. 
		\item En déduire les valeurs possibles de $k$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer les coordonnées possibles de $M$ et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, question 2. b. 
\end{enumerate} 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C d'affixes respectives 
\[z_{\text{A}} = -11 + 4\text{i},~ 
z_{\text{B}} = -3 - 4\text{i}\quad  \text{et}\quad  z_{\text{C}} = 5 + 4\text{i}.\]
 
\item Calculer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}$ et en déduire la nature du triangle ABC. 
\item Soit E l'image du point C par la rotation $\mathcal{R}$ de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.
 
Montrer que l'affixe de E vérifie $z_{\text{E}} = -3 + \left(8\sqrt{2} - 4 \right)\text{i}$.
 
Placer le point E. 
\item Soit D l'image du point E par l'homothétie $\mathcal{H}$ de centre B et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
 
Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
 
Placer le point D . 
\item \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Soit $\mathcal{D}$ la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF].
 
Montrer que B, I et J sont alignés. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle ]0~;~1] par :

\[f(x) = 1 + x\ln x.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1].

$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

$T$ est la droite d'équation $y = x$.

La courbe $\mathcal{C}$ et la droite $T$ sont représentées sur le schéma ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=6cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.2pt](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-0.2,1)(1.2,1)
\psline(1,-0.2)(1,1.2)
\psline[linecolor=red](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.005}{1}{x x ln mul 1 add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](0.1,0.8){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dr](0.6,0.6){\red $T$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f( x) = 1$. 
		\item En utilisant le signe de $x \ln x$ sur ]0~;~1], montrer que, pour tout nombre réel $x \in  ]0~;~1]$ , on a $f(x) \leqslant 1$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x \in  ]0~;~1]$. 
		\item Vérifier que la droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
	\end{enumerate} 
\item On note $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x \in  ]0~;1]$ par 

\[g(x) = 1 + x \ln x - x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle ]0~;~1] et dresser le tableau de variation de $g$.
		 
On ne cherchera pas la limite de $g$ en $0$. 
		\item En déduire les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $T$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\alpha$ un nombre réel tel que $0 < \alpha < 1$.

 On pose $I(\alpha) = \displaystyle\int_{\alpha}^1 \left[1 - f(x)\right]\:\text{d}x.$ 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $I(\alpha) = \dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha + \dfrac{1}{4} - \dfrac{\alpha^2}{4}$. 
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{\alpha \to 0} I(\alpha)$.
		\item Interpréter graphiquement le résultat précédent. 
		\item À l'aide des résultats précédents, déterminer, en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$ et l'axe des ordonnées. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\textbf{Exercice 2}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace*{1cm}

\psset{unit=0.875cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(8,15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-7,-5)(8,15)
\psaxes[linewidth=1.1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-7,-5)(8.2,15.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](8,0){$y$}\uput[l](0,15.2){$z$}\uput[dl](0,0){A}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{k}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}