\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès relu et corrigé par François Hache \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}\,;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Antilles-Guyane 22 juin 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \rfoot{\small{22 juin 2015}} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 22 juin 2015~\decofourright }}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$.\index{fonction logarithme népérien} Pour tout réel $a$ strictement positif, on définit sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction $g_a$ par $g_a(x) = ax^2$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Gamma_a$ celle de la fonction $g_a$ dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs du réel strictement positif $a$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On a construit en \textbf{annexe 1} (\emph{à rendre avec la copie}) les courbes $\mathcal{C}$, $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$. \medskip \begin{enumerate} \item Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n'est demandée. \item Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs (à préciser) du réel $a$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour un réel $a$ strictement positif, on considère la fonction $h_a$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[h_a(x) = \ln x - ax^2.\] \begin{enumerate} \item Justifier que $x$ est l'abscisse d'un point $M$ appartenant à l'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ si et seulement si $h_a (x) = 0.$ \item \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $h_a$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, et on note $h'_a$ la dérivée de la fonction $h_a$ sur cet intervalle. Le tableau de variation de la fonction $h_a$ est donné ci-dessous. Justifier, par le calcul, le signe de $h'_a(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3.25) \psframe(7,3.25)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3.25) \psline(1.1,0)(1.1,2.5)\psline(1.15,0)(1.15,2.5) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.125,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$\frac{1}{\sqrt{2a}}$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$h'_a(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$-$} \rput(0.5,1){$h_a(x)$} \uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$\frac{- 1 - \ln (2a)}{2}$} \psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} \item Rappeler la limite de $\frac{\ln x}{x}$ en $+ \infty$. En déduire la limite de la fonction $h_a$ en $+ \infty$. On ne demande pas de justifier la limite de $h_a$ en $0$. \end{enumerate} \item Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = 0,1$. \begin{enumerate} \item Justifier que, dans l'intervalle $\left]0~;~\frac{1}{\sqrt{0,2}}\right]$, l'équation $h_{0,1}(x) = 0$ admet une unique solution. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle $\left]\frac{1}{\sqrt{0,2}}~;~+ \infty \right[$. \item Quel est le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{0,1}$ ? \end{enumerate} \item Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = \frac{1}{2\text{e}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur du maximum de $h_{\frac{1}{2\text{e}}}$. \item En déduire le nombre de points d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}$. Justifier. \end{enumerate} \item Quelles sont les valeurs de $a$ pour lesquelles $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{a}$ n'ont aucun point d'intersection ? Justifier.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.\index{loi exponentielle} On rappelle que, pour tout réel $a$ strictement positif, \[P(X \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a \lambda\text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] On se propose de calculer l'espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$, et définie par \[E(X) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] On note $\R$ l'ensemble des nombres réels. On admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(t) = - \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t}$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t) = \lambda t \text{e}^{- \lambda t}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Vérifier que \[\displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}\left(- \lambda x \text{e}^{- \lambda x} - \text{e}^{- \lambda x} + 1\right).\] \item En déduire que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La durée de vie, exprimée en années, d'un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. La courbe de la fonction densité associée est représentée en \textbf{annexe 2}. \medskip \begin{enumerate} \item Sur le graphique de l'annexe 2 (à rendre avec la copie) : \begin{enumerate} \item Représenter la probabilité $P(X \leqslant 1)$. \item Indiquer où se lit directement la valeur de $\lambda$. \end{enumerate} \item On suppose que $E(X) = 2$. \begin{enumerate} \item Que représente dans le cadre de l'exercice la valeur de l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ? \item Calculer la valeur de $\lambda$. \item Calculer $P(X \leqslant 2)$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $0,01$ près. Interpréter ce résultat. \item Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d'au moins trois années ? On donnera la valeur exacte. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2. On note $D_1$ l'évènement \og le composant 1 est défaillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'évènement \og le composant 2 est défaillant avant un an \fg. On suppose que les deux évènements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que $P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$. Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,3.4) %\psgrid \psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2) \psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2) \rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2} \rput(2.5,0.2){Circuit en parallèle A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en série B} \psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5) \rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Lorsque les deux composants sont montés \og en parallèle \fg, le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an. \item Lorsque les deux composants sont montés \og en série \fg, le circuit B est défaillant dès que l'un au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 4 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On appelle $\C$ l'ensemble des nombres complexes.\index{complexes} Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \Ouv{} on a placé un point $M$ d'affixe $z$ appartenant à $\C$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre O passant par $M$ et du demi-axe $\left[\text{O}~;~ \vect{u}\right)$. \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-3,-2.7)(3,2.7) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-2.7)(3,2.7) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(1,1) \pscircle(0,0){2.6} \psdots(2.6;63)(2.6;0)(0;0) \uput[ur](2.6;63){$M$} \uput[dr](2.6;0){$R$}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Exprimer l'affixe du point $R$ en fonction de $z$. \item Soit le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .\] Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M'$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\C$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence : \[z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.\]\index{suite de complexes} Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$. \medskip \begin{enumerate} \item Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ? \item Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ? \item On suppose désormais que $z_0 $n'est pas un nombre réel. \begin{enumerate} \item Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ ? \item Démontrer cette conjecture, puis conclure.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline Variables : &$k$ et $p$ sont des entiers naturels\\ &$u$ est un réel\\ Entrée : & Demander la valeur de $p$\\ Traitement :& Affecter à $u$ la valeur $5$\\ &\hspace{0.3mm}Pour $k$ variant de 1 à $p$\\ &\hspace{0.6mm}Affecter à $u$ la valeur $0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5$\\ &\hspace{0.3mm}Fin de pour\\ Sortie:& Afficher $u$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Faire fonctionner cet algorithme pour $p = 2$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. Quel nombre obtient-on en sortie ? \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par \index{suite}\[u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5.\] \begin{enumerate} \item Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de 1 à $p$. \item À l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &1 &2 &3 &4\\ \hline $u_n$ &1 &$- 0,5$ & $-0,75$ &$- 0,375$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ? Justifier. \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$. Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ? \item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.\index{suite géométrique} \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5.\] \item Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Pour deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, on note $r(a,~b)$ le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.\index{arithmétique} On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline Variables : & $c$ est un entier naturel\\ &$a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls\\ Entrées : &Demander $a$\\ &Demander $b$\\ Traitement: &Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\ &Tant que $c \ne 0$\\ &\hspace{0.5cm}Affecter à $a$ le nombre $b$\\ &\hspace{0.5cm}Affecter à $b$ la valeur de $c$\\ &\hspace{0.5cm}Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\ &Fin Tant que\\ Sortie : &Afficher $b$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 26$ et $b = 9$ en indiquant les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à chaque étape. \item Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls $a$ et $b$. Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre eux ou non. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip À chaque lettre de l'alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre 0 et 25. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On définit un procédé de codage de la façon suivante : \textbf{Étape 1 :} on choisit deux entiers naturels $p$ et $q$ compris entre $0$ et $25$. \textbf{Étape 2 :} à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier $x$ correspondant dans le tableau ci-dessus. \textbf{Étape 3 :} on calcule l'entier $x'$ défini par les relations \[x' \equiv px + q\quad [26]\quad \text{et}\quad 0 \leqslant x' \leqslant 25.\]\index{congruences} \textbf{Étape 4 :} à l'entier $x'$, on associe la lettre correspondante dans le tableau. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on choisit $p = 9$ et $q = 2$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J. \item Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$. Donner sans justifier un couple $(u,~v)$ qui convient. \item Démontrer que $x' \equiv 9x + 2\quad [26]$ équivaut à $x \equiv 3x' + 20\quad [26]$. \item Décoder la lettre R. \end{enumerate} \item Dans cette question, on choisit $q = 2$ et $p$ est inconnu. On sait que J est codé par D. Déterminer la valeur de $p$ (on admettra que $p$ est unique). \item Dans cette question, on choisit $p = 13$ et $q = 2$. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \pagebreak \begin{landscape} \begin{center} \psset{unit=2.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.5,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=12](-0.5,-0.5)(7,5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(7,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.05 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.1 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.19 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.4 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.4}{7}{x ln} \rput{-90}(7.5,2.5){\textbf{\large ANNEXE 1 de l'exercice 1}} \rput{-90}(8,2.5){\textbf{\large À RENDRE AVEC LA COPIE}} \end{pspicture*} \end{center} \end{landscape} \newpage \begin{center} \textbf{\large À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{0.5cm} \textbf{\large ANNEXE 2 de l'exercice 2} \vspace{1.5cm} \psset{xunit=1.2cm,yunit=12cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.75,-0.1)(10.5,0.7) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,0.7)} \multido{\n=0.0+0.1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.15pt](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(10.5,0.7) \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.1](0,0)(0,0)(10.5,0.7) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.5}{0.5 2.71828 0.5 x mul exp div} \uput[u](10.3,0){$x$}\uput[l](0,0.68){$y$} \end{pspicture*} \end{center} \end{document}