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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Merci à l'académie de la Guadeloupe pour le sujet
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{9 septembre 2015}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{Baccalauréat S Antilles-Guyane 9 septembre 2015}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par

\[f_n(x) = x^2 \text{e}^{- 2nx}.\]

On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal.

On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\: \text{d}x$.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction }\boldmath $f_1$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f_1$ est définie sur $\R$ par $f_1(x) = x^2\text{e}^{-2x}$.

On admet que $f_1$ est dérivable sur $\R$ et on note $f_1'$ sa dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout réel $x,\: f_1'(x) = 2x\text{e}^{-2x}(1 - x)$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f_1$ sur $\R$.
		\item Déterminer la limite de $f_1$ en $- \infty$.
		\item Vérifier que pour tout réel $x,\: f_1(x) = \left(\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)^2$. En déduire la limite de $f_1$ en $+ \infty$.
\end{enumerate}
\item En utilisant un système de calcul formel, on trouve qu'une primitive $F_1$ de la fonction $f_1$ est donnée par $F_1(x) = - \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4}\right)$.

En déduire la valeur exacte de $I_1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la suite } \boldmath $\left(I_n\right)$\unboldmath\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter graphiquement la quantité $I_n$.\index{aire et intégrale}
		\item Émettre alors une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite $\left(I_n\right)$. Expliciter la démarche qui a mené à cette conjecture.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1],

		\[f_{n+1}(x) = \text{e}^{-2x}f_n(x).\]
		
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1],
		
		\[f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x).\]
		
		\item Déterminer alors le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1],
		
		\[0 \leqslant  f_n(x) \leqslant  \text{e}^{-2nx}.\]
		
		\item En déduire un encadrement de la suite $\left(I_n\right)$, puis sa limite.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]40\,\% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d'orange ;
\item[$\bullet~~$]25\,\% des bouteilles de jus d'orange vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de \og pur jus \fg{} est notée $x$, où $x$ est un réel de l'intervalle [0~;~1].

Par ailleurs, 20\,\% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg.

On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :\index{probabilités}

$R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ;

$J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de \og pur jus \fg.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.\index{arbre de probabilités}
\item Déterminer la valeur exacte de $x$.
\item Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de \og pur jus \fg.

Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin d'avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des $500$ dernières bouteilles de jus de fruits vendues.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de \og pur jus \fg{} dans ce lot.

On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces $500$ bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. On en donnera les paramètres.\index{loi binomiale}
\item Déterminer la probabilité pour qu'au moins 75 bouteilles de cet échantillon de $500$ bouteilles soient de \og pur jus \fg. On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un fournisseur assure que 90\,\% des bouteilles de sa production de pur jus d'orange contiennent moins de 2\,\% de pulpe. Le service qualité du supermarché prélève un échantillon de 900 bouteilles afin de vérifier cette affirmation. Sur cet échantillon, $766$~bouteilles présentent moins de 2\,\% de pulpe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de bouteilles contenant moins de 2\,\% de pulpe au seuil de 95\,\%.\index{intervalle de fluctuation asymptotique}
\item Que penser de l'affirmation du fournisseur ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les trois questions sont indépendantes.}

\smallskip

\emph{Toute réponse doit être justifiée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par\index{suite}

\[u_0 = 1\quad \text{et pour tout entier naturel } \:n,\quad  \ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) - 1.\]

La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique  ?\index{suite géométrique}
\item Soit $\left(v_n\right)$ une suite à termes strictement positifs.

On définit la suite $\left(w_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: w_n = 1 - \ln \left(v_{n}\right)$.

La proposition $(\mathcal{P})$ suivante est-elle vraie ou fausse ?

\[(\mathcal{P}) :  \text{si la suite }\:\left(v_{n}\right)\: \text{est majorée alors la suite }\:\left(w_{n}\right)\: \text{est majorée.}\]

\item La suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes est définie par 

\[z_0 = 2 + 3\text{i}\: \text{et,\:\: pour tout entier naturel }\:n \:\:\text{par}\: z_{n+1} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)z_n.\]

Pour quelles valeurs de $n$,\: $\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit ABCDEFGH le cube ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8.5,8.5)
\psframe(0.5,0.5)(5.5,5.5)%DCGH
\psline(5.5,0.5)(7.6,2.3)(7.6,7.3)(5.5,5.5)%CBFG
\psline(7.6,7.3)(2.6,7.3)(0.5,5.5)%FEH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.6,2.3)(7.6,2.3)%DAB
\psline[linestyle=dashed](2.6,2.3)(2.6,7.3)%AE
\uput[dr](2.6,2.3){A} \uput[r](7.6,2.3){B} \uput[dr](5.5,0.5){C} \uput[dl](0.5,0.5){D} 
\uput[u](2.6,7.3){E} \uput[u](7.6,7.3){F} \uput[ul](5.5,5.5){G} \uput[ul](0.5,5.5){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

On se place dans le repère orthonormé $\left(A~;~\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AD}},\: \vect{\text{AE}}\right)$.\index{géométrie dans l'espace}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite (DB) admet pour représentation paramétrique

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \phantom{1 -}s\\
y &=& 1 - s ,\\
z &=& \phantom{1 -}0
\end{array}\right. \text{où $s$ décrit l'ensemble } \R\: \text{des nombres réels}.\]

		\item Montrer que les points de la droite (AG) sont les points de coordonnées $(t~;~t~;~t)$ où $t$ est un réel.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point quelconque de la droite (DB) et $N$ un point quelconque de la droite (AG).
	
Démontrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire aux deux droites (AG) et (DB) si et
seulement si $M$ et $N$ ont pour coordonnées respectives $\left(\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}~;~0\right)$ et $\left(\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$.
\item Soit $s$ et $t$ deux réels quelconques. On note $M(s~;~1 - s~;~0)$ un point de la droite (DB) et $N(t~;~t~;~t)$ un point de la droite (AG).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $MN^2 = 3 \left(t - \frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{6}$.
		\item En déduire la position des points $M$ et $N$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.
		
Que peut-on dire de la droite $(MN)$ dans ce cas ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation

\[51x - 26y = 1\]\index{équation diophantienne}

où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier, en énonçant un théorème du cours, que cette équation admet au moins un couple solution.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un couple solution $\left(x_0~;~y_0\right)$ de cette équation.
		\item Déterminer l'ensemble des couples solutions de cette équation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline
0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline
N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline
13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Afin de coder une lettre de l'alphabet, correspondant à un entier $x$ compris entre $0$ et $25$, on définit une fonction de codage $f$ par $f(x) = y$, où $y$ est le reste de la division euclidienne de $51x + 2$ par $26$.\index{division euclidienne}

La lettre de l'alphabet correspondant à l'entier $x$ est ainsi codée par la lettre correspondant à l'entier $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Coder la lettre N.
\item En utilisant la partie A, déterminer l'entier $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$ et $51a \equiv  1\:\:[26]$.
\item Démontrer que si la lettre correspondant à un entier $x$ est codée par une lettre correspondant à un entier $y$, alors $x$ est le reste de la division euclidienne de $ay + 2$ par $26$.
\item Déterminer alors la lettre qui est codée par la lettre N.
\item On applique $100$ fois de suite la fonction de codage $f$ à un nombre $x$ correspondant à une certaine lettre. Quelle lettre obtient-on ?
\end{enumerate}
\end{document}