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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%% commandes personnelles 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
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\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~ Baccalauréat S Antilles-Guyane 9 septembre 2020 
~\decofourright}}
\end{center}

\def\labelitemi{$\bullet$}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\smallskip

\textsc{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats seront arrondis au millième. Les parties {\rm A, B} et {\rm C} peuvent être traitées de façon indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Louise se rend au travail avec sa voiture. Sa collègue Zoé ne possède pas de voiture. 

Chaque matin, Louise propose donc à Zoé de l'emmener. Quelle que soit la réponse de Zoé, Louise lui propose de la ramener le soir.

On se place un jour donné. On dispose des informations suivantes :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité que Louise emmène Zoé le matin est $0,55$ ;
\item[$\bullet~~$] si Louise a emmené Zoé le matin, la probabilité qu'elle la ramène le soir est $0,7$ ;
\item[$\bullet~~$] si Louise n'a pas emmené Zoé le matin, la probabilité qu'elle la ramène le soir
est $0,24$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $M$ et $S$ les événements suivants:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M$: \og Louise emmène Zoé le matin \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $S$:\og Louise ramène Zoé le soir \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
\item Calculer $P(M \cap S)$. Traduire ce résultat par une phrase.
\item Démontrer que la probabilité de l'événement S est égale à $0,493$.
\item On sait que Louise a ramené Zoé le soir.

Quelle est la probabilité que Louise l'ait emmenée le matin ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le temps de trajet de Louise, en minute, entre son domicile et son travail, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $28$ et d'écart-type $5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X \leqslant  25)$.
\item Calculer la probabilité que le temps de trajet soit compris entre $18$ et $38$ minutes.
\item Déterminer la durée $d$ du trajet, arrondie à la minute, telle que $P(X \geqslant d) = 0,1$.
\item Louise a maintenant trouvé un itinéraire plus rapide.

Désormais, le temps de trajet, en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $26$ et d'écart-type $\sigma$.

On sait que $P(Y \geqslant   30) = 0,1$.

Déterminer l'arrondi au centième de $\sigma$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'entreprise de Louise indique sur son site internet que 35\,\% de ses salariés pratiquent le covoiturage. Un sondage effectué au sein de l'entreprise montre que sur $254$ salariés choisis au hasard, $82$ pratiquent le covoiturage.

Ce sondage remet-il en cause l'information publiée par l'entreprise sur son site internet ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{La partie {\rm C} est indépendante des parties {\rm A} et {\rm B}} 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
La fonction $g$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par

\[g(x) = 1 - \text{e}^{-x}.\]

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~ +\infty[$ et dresser son tableau de variations.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, $k$ désigne un réel strictement positif.

\smallskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = (x - 1)\text{e}^{-kx} + 1.\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O~;~I, J), on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$. Cette courbe est représentée ci-dessous pour une certaine valeur de $k$.

La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 1 coupe l'axe des ordonnées en un point noté B.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.25)(6.5,2.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=15]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2.5,-1.25)(6.5,2.25)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{6.5}{x 1 sub 2.71828  x exp div 1 add}
\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](0,0.864){B}\uput[ul](1,1){A}\uput[u](-1.6,0.1){\blue $T$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{6.5}{x 0.3678 mul  0.6321 add}
\uput[l](-0.25,-0.8){\red$\mathcal{C}_f$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0)(0,1)(1,0)(0, 0.6321)
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$,
		
\[f'(x) = \text{e}^{-kx}(-kx + k + 1).\]

		\item Démontrer que l'ordonnée du point B est égale à $g(k)$ où $g$ est la fonction définie dans la \textbf{partie A}.
	\end{enumerate}
\item En utilisant la \textbf{partie A}, démontrer que le point B appartient au segment [OJ].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Dans cette partie, on considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par 

\[h(x) = (x - 1)\text{e}^{-2x} + 1.\]

On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $\R$.

On se place dans un repère orthonormé (O~;~I, J).

On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de la fonction $h$ et $d$ la droite d'équation $y = x$.

La courbe $\mathcal{C}_h$ et la droite d sont représentées sur l'\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie}.

On admet que la courbe $\mathcal{C}_h$ est au-dessus de la droite $d$ sur l'intervalle [0~;~1].

Soit $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}_h$, la droite $d$ et les droites verticales d'équations $x = 0$ et $x = 1$. Soit $\mathcal{A}$ l'aire de $\mathcal{D}$ exprimée en unité d'aire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'\textbf{ANNEXE 1} à rendre avec la copie, hachurer le domaine $\mathcal{D}$ et justifier que 

\[\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 [h(x) - x]\: \text{d}x.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$,

\[h(x) - x = (1 - x)\left(1 - \text{e}^{-2x}\right).\]

		\item On admet que, pour tout réel $x$,\: $\text{e}^{-2x} \geqslant 1 - 2x$. 
		
Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1],

\[h(x) - x \leqslant  2x - 2x^2.\]

		\item En déduire que $\mathcal{A} \leqslant \dfrac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $H$ la fonction définie sur [0~;~1] par

\[H(x) = \dfrac{1}{4}(1 - 2x)\text{e}^{-2x} + x.\]

On admet que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur [0~;~1].

Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans le cube ABCOEFGH ci-dessous et reproduit en \textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie}, on a placé les points M et N milieux respectifs des segments [AB] et [BC].


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.2)(6.5,5.5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,4)(0,0)(-2,-1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0)(4,0)
\pspolygon(2,3)(-2,3)(-2,-1)(2,-1)(4,0)(4,4)%GFBCDHG
\psline(4,4)(0,4)(-2,3)%HEF
\psline(2,-1)(2,3)%DG\psline{->}(-2,-1)(-3,-1.5)
\psline{->}(-2,-1)(-3,-1.5)\psline{->}(4,0)(6,0)\psline{->}(0,4)(0,5.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,-1)(-1,-0.5)
\uput[ul](0,0){A} \uput[d](-2,-1){B} \uput[d](2,-1){C} \uput[dr](4,0){D} 
\uput[ul](0,4){E} \uput[l](-2,3){F} \uput[ul](2,3){G} \uput[ur](4,4){H} 
\uput[ul](-1,-0.5){M} \uput[d](0,-1){N} 
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

On se place dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner sans justifier les coordonnées des points H, M et N.
\item  On admet que les droites (CD) et (MN) sont sécantes et on note K leur point d'intersection.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite (MN).
		
On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (CD) est

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& t\\
y&=&1\\
z&=&0
\end{array}\right., \:t \in \R.\]
 
		\item Déterminer les coordonnées du point K.
	\end{enumerate}
\item  On admet que les points H, M, N définissent un plan et que la droite (CG) et le plan
(HMN) sont sécants. On note L leur point d'intersection.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\- 2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (HMN).
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (HMN).
		\item En déduire les coordonnées du point L.
	\end{enumerate}
\item  Sur l'\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie}, construire les points K et L puis la section du cube ABCDEFGH par le plan (HMN).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

\medskip

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par

\[u_0 = 4 \:\text{et pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = - \dfrac{2}{3}u_n +1\]

et soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par

\[\text{pour tout entier naturel }\:n,\: v_n = u_n - \dfrac{2}{3}.\]

\smallskip

\textbf{Affirmation 1} : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.

\item Soit $\left(w_n\right)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$ non nul,

\[w_n = \dfrac{3 + \cos (n)}{n^2}.\]

\textbf{Affirmation 2} : La suite $\left(w_n\right)$ converge vers $0$.
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$U \gets 5$\\
$N\gets 0$\\
Tant que $U \leqslant  \np{5000}$\\
\qquad $U \gets 3 \times U - 8$\\
\qquad $N \gets N + 1$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Affirmation 3} : À la fin de l'exécution, la variable $U$ contient la valeur \np{5000}.
\item On note $\C$  l'ensemble des nombres complexes. On considère l'équation (E) d'inconnue $z$ dans~$\C$

\[(z - \text{i})\left(z^2 + z\sqrt{3} + 1\right) = 0.\]


\textbf{Affirmation 4} : Toutes les solutions de l'équation (E) sont de module 1.

\item On considère les nombres complexes $z_n$ définis par

\[z_0 = 2 \:\text{et pour tout entier naturel }\:n,\: z_{n+1} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}z_n.\]

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

\textbf{Affirmation 5} :  Pour tout entier naturel $n$, le point O est le milieu du segment $\left[M_nM_{n+2}\right]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère l'équation (E)

\[x^2 - 5y^2 = 1\]

où $x$ et $y$ sont des entiers naturels.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On suppose que $(x~;y)$ est un couple solution de l'équation (E). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x$ et $y$ peuvent-ils avoir la même parité ? Justifier.
\item Démontrer que $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
\item Soit $k$ un entier naturel.

Recopier et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Reste de la division euclidienne de $k$ par 5	&0	&1	&2	&3	&4\\ \hline
Reste de la division euclidienne de $k^2$ par 5	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item En déduire que $x \equiv 1\: [5]$ ou $x \equiv 4 \:[5]$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $A$ la matrice $\begin{pmatrix} 9&20\\4&9\end{pmatrix}$.

On considère les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par

\[x_0 = 1 \: \text{et }\:y_0 = 0, \:\text{et pour tout entier naturel}\: n, \:\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $\left(x_n,~y_n\right)$ est solution de l'équation (E).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $A^2$, puis en déduire $x_2$ et $y_2$. 
		\item Soit $p$ un entier naturel.
		
Démontrer que si $y_p$ est un multiple de 9 alors $y_{p+2}$ est aussi un multiple de $9$. 
		\item En déduire que $y_{\np{2020}}$ est un multiple de $9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip
\textbf{ANNEXE 1 (exercice 2, partie C)}

\medskip

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.75)(3.25,1.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=15,gridwidth=1.25pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.75,-0.75)(3.25,1.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{6.5}{x 1 sub 2.71828 2 x mul exp div 1 add}
\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](-1.6,-0.2){$T$}\uput[u](2.9,1){\red $\mathcal{C}_h$}\uput[dr](1.4,1.4){$d$}
\psline[linewidth=1.25pt](-0.5,-0.5)(1.5,1.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0)(0,1)(1,0)

\end{pspicture*}

\vspace{1.5cm}

\textbf{ANNEXE 2 (exercice 3)}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.2)(6.5,6.5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,4)(0,0)(-2,-1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0)(4,0)
\pspolygon(2,3)(-2,3)(-2,-1)(2,-1)(4,0)(4,4)%GFBCDHG
\psline(2,-1)(2,3)%DG
\psline(4,4)(0,4)(-2,3)%HEF
\psline{->}(-2,-1)(-3,-1.5)\psline{->}(4,0)(6,0)\psline{->}(0,4)(0,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,-1)(-1,-0.5)
\uput[ul](0,0){A} \uput[d](-2,-1){B} \uput[d](2,-1){C} \uput[dr](4,0){D} 
\uput[ul](0,4){E} \uput[l](-2,3){F} \uput[ul](2,3){G} \uput[ur](4,4){H} 
\uput[ul](-1,-0.5){M} \uput[d](0,-1){N} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}