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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S -- Asie 21 juin 2018~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

Une ferme aquatique exploite une population de crevettes qui évolue en fonction de la reproduction naturelle et des prélèvements effectués.

La masse initiale de celte population de crevettes est estimée à $100$ tonnes.

Compte tenu des conditions de reproduction et de prélèvement, on modélise la masse de la
population de crevettes, exprimée en tonne, en fonction du temps, exprimé en semaine, par la fonction $f_p$, définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par :

\[f_p(t) = \dfrac{100p}{1 - (1 - p)\text{e}^{- pt}}\]

où $p$ est un paramètre strictement compris entre $0$ et $1$ et qui dépend des différentes conditions de vie et d'exploitation des crevettes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Cohérence du modèle
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f_p(0)$.
		\item On rappelle que $0 < p < 1$.
		
Démontrer que pour tout nombre réel $t \geqslant 0$,\: $1 - (1 - p)\text{e}^{- pt} \geqslant p$.
		\item En déduire que pour tout nombre réel $t \geqslant 0$,\: $0 < f_p(t) \leqslant  100$.
 	\end{enumerate}
\item  Étude de l'évolution lorsque $p = 0,9$
	
Dans cette question, on prend $p = 0,9$ et on étudie la fonction $f_{0,9}$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :
	

\[f_{0,9}(t) = \dfrac{90}{1 - 0,1 \text{e}^{- 0,9t}}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les variations de la fonction $f_{0,9}$.
		\item Démontrer pour tout nombre réel $t \geqslant 0$,\: $f_{0,9}(t) \geqslant 90$.
		\item Interpréter les résultats des questions 2. a. et 2. b. dans le contexte.
	\end{enumerate}
\item  Retour au cas général
	
On rappelle que $0 < p < 1$.
	
Exprimer en fonction de $p$ la limite de $f_p$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.
\item  Dans cette question, on prend $p = \dfrac{1}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par:

		\[H(t) = 100\ln \left(2 - \text{e}^{- \frac{t}{2}}\right) + 50t\]
		
est une primitive de la fonction $f_{1/2}$ sur cet intervalle.
		\item En déduire la masse moyenne de crevettes lors des 5 premières semaines d'exploitation, c'est-à-dire la valeur moyenne de la fonction $f_{1/2}$ sur l'intervalle [0~;~5].
		
En donner une valeur approchée arrondie à la tonne.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

Dans les parties A et B de cet exercice, on considère une maladie ; tout individu a une probabilité égale à $0,15$ d'être touché par cette maladie.

\bigskip

\textbf{Partie A }

\medskip

\emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.). Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

Un test de dépistage de cette maladie a été mis au point. Si l'individu est malade, dans 94\,\% des cas le test est positif. Pour un individu choisi au hasard dans cette population, la probabilité que le test soit positif vaut $0,158$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On teste un individu choisi au hasard dans la population : le test est positif. Une valeur arrondie au centième de la probabilité que la personne soit malade est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~} 0,94 &\textbf{B :~~} 1 &\textbf{C :~~} 0,89 &\textbf{D :~~} on ne peut pas savoir
\end{tabularx}
\medskip

\item  On prélève un échantillon aléatoire dans la population, et on fait passer le test aux individus de cet échantillon. On souhaite que la probabilité qu'au moins un individu soit testé positivement soit supérieure ou égale à $0,99$. La taille minimum de l'échantillon doit être égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}26 personnes &\textbf{B :~~} 27 personnes &\textbf{C :~~} 3 personnes &\textbf{D :~~} 7 personnes
\end{tabularx}
\medskip

\item  Un vaccin pour lutter contre cette maladie a été mis au point. II est fabriqué par une entreprise sous forme de dose injectable par seringue. Le volume $V$ (exprimé en millilitre) d'une dose suit une loi normale d'espérance $\mu = 2$ et d'écart-type $\sigma$. La probabilité que le volume d'une dose, exprimé en millilitre, soit compris entre $1,99$ et $2,01$ millilitres est égale à $0,997$.

La valeur de $\sigma$ doit vérifier:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}$\sigma = 0,02$ &\textbf{B :~~} $\sigma < 0,003$ &\textbf{C :~~} $\sigma > 0,003$ &\textbf{D :~~} $\sigma = 0,003$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une boîte d'un certain médicament permet de soigner un malade.

La durée d'efficacité (exprimée en mois) de ce médicament est modélisée de la manière
suivante :

\begin{itemize}
\item durant les $12$ premiers mois après fabrication, on est certain qu'il demeure efficace ;
\item au-delà, sa durée d'efficacité restante suit une loi exponentielle de paramètre 
$\lambda$.
\end{itemize}

La probabilité que l'une des boîtes prise au hasard dans un stock ait une durée d'efficacité totale supérieure à $18$ mois est égale à $0,887$.

Quelle est la valeur moyenne de la durée d'efficacité totale de ce médicament?
\item Une ville de \np{100000} habitants veut constituer un stock de ces boîtes afin de soigner les personnes malades.

Quelle doit être la taille minimale de ce stock pour que la probabilité qu'il suffise à soigner tous les malades de cette ville soit supérieure à $95$\,\% ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

On se place dans un repère orthonormé d'origine O et d'axes (O$x$), (O$y$) et (O$z$).

Dans ce repère, on donne les points A$(- 3~;~0~;~0)$, B(3~;~0~;~0) , C$\left(0~;~3\sqrt{3}~;~0\right)$ et D$\left(0~;~\sqrt{3}~;~2\sqrt{6}\right)$.

On note H le milieu du segment [CD] et I le milieu du segment [BC].

\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{center}
\begin{pspicture}(13.5,11)
\psline[linestyle=dashed]{->}(0,3)(13.5,3)
\psline[linestyle=dashed]{->}(3.2,0)(3.2,9.7)
\psline[linestyle=dashed]{->}(0,4.9)(7,0.7)
\pspolygon(1.5,4)(5,1.9)(10.8,3)(5.6,10.3)%ABCDA
\psline(5,1.92)(5.6,10.3)
\psline[linestyle=dashed](1.5,4)(10.8,3)
\uput[dl](1.5,4){A} \uput[d](5,1.9){B} \uput[dr](10.8,3){C} 
\uput[u](5.6,10.3){D} \uput[ur](8.2,6.65){H} \uput[dr](7.9,2.45){I}
\psdots(8.2,6.65)(7.9,2.5) 
\uput[dl](3.2,3){O}\uput[dr](13.5,3){$y$} \uput[r](7,0.3){$x$}
\uput[ul](3.2,9.7){$z$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs AB et AD.
\end{enumerate}
\smallskip

On admet pour la suite que toutes les arêtes du solide ABCD ont la même longueur, c'est-à-dire que le tétraèdre ABCD est un tétraèdre régulier.

On appelle $\mathcal{P}$ le plan de vecteur normal $\vect{\text{OH}}$ et passant par le point I.

\begin{enumerate}[resume]
\item  Étude de la section du tétraèdre ABCD par le plan $\mathcal{P}$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est: $2y\sqrt{3} + z\sqrt{6} - 9 = 0$.
		\item Démontrer que le milieu J de [BD] est le point d'intersection de la droite (BD) et du plan $\mathcal{P}$.
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite (AD), puis démontrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AD) sont sécants en un point K dont on déterminera les coordonnées.
		\item Démontrer que les droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.
		\item Déterminer précisément la nature de la section du tétraèdre ABCD par le plan $\mathcal{P}$.
 	\end{enumerate}
\item  Peut-on placer un point M sur l'arête [BD] tel que le triangle OIM soit rectangle en M ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans cet exercice, $x$ et $y$ sont des nombres réels supérieurs à 1.

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, on considère les points A, B
et C d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}, \:  z_{\text{B}} = x + \text{i}\: \text{ et }\: z_{\text{C}} = y + \text{i}.\]

\psset{unit=4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(3,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psframe[linestyle=dashed](0,0)(3,1)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](1.6,0)(1.6,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[u](1,1){A$(1 + \text{i})$}
\uput[u](1.6,1){B$(x + \text{i})$}
\uput[u](3,1){C$(y + \text{i})$}
\psline(3,1)(0,0)(1.6,1)
\psline(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Problème :} on cherche les valeurs éventuelles des réels $x$ et $y$, supérieures à 1, pour lesquelles : 

\[ \text{OC} = \text{OA} \times \text{OB} \quad \text{et}\:  \left(\vect{u},~\vect{\text{OB}}\right) + \left(\vect{u},~\vect{\text{OC}}\right) = \left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}$, alors $y^2 = 2x^2 + 1$.
\item Reproduire sur la copie et compléter l'algorithme ci-après pour qu'il affiche tous les couples $(x,~y)$ tels que :

\[\left\{\begin{tabular}{l}
$y^2 = 2x^2 + 1$\\
$x$ et $y$ sont des nombres entiers\\
$1  \leqslant x \leqslant 10$ et $1 \leqslant y \leqslant 10$\\
\end{tabular}\right.\]

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
Pour $x$ allant de 1 à \ldots faire\\
\hspace{0.5cm}Pour \ldots\\
\hspace{1cm}Si \ldots\\
\hspace{1.5cm}Afficher $x$ et $y$\\
\hspace{1cm}Fin Si\\
\hspace{0.5cm}Fin Pour\\
Fin Pour\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Lorsque l'on exécute cet algorithme, il affiche la valeur $2$ pour la variable $x$ et la valeur $3$ pour la variable $y$.}

\smallskip

\item Étude d'un cas particulier : dans cette question seulement, on prend $x = 2$ et $y = 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
		\item Montrer que $\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}$.
		\item Montrer que $z_{\text{B}}z_{\text{C}} = 5 z_{\text{A}}$ et en déduire que 
		$\left(\vect{u},~\vect{\text{OB}}\right) + \left(\vect{u},~\vect{\text{OC}}\right) = \left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On revient au cas général, et on cherche s'il existe d'autres valeurs des réels $x$ et $y$ telles que les points A, B et C vérifient les deux conditions:
	
$\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB} \quad \text{et}\:  \left(\vect{u},~\vect{\text{OB}}\right) + \left(\vect{u},~\vect{\text{OC}}\right) = \left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right)$.
	
On rappelle que si $\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}$, alors $y^2 = 2x^2 + 1$ (question 1.).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si $\left(\vect{u},~\vect{\text{OB}}\right) + \left(\vect{u},~\vect{\text{OC}}\right) = \left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right)$, alors arg$\left[\dfrac{(x + \text{i})(y + \text{i})}{1 + \text{i}}\right] = 0 \:\text{mod }\: 2\pi$.

En déduire que sous cette condition : $x + y - xy + 1 = 0$.
		\item Démontrer que si les deux conditions sont vérifiées et que de plus $x \neq 1$, alors:
		
\[y= \sqrt{2x^2 + 1}\quad \text{et} \: y = \dfrac{x + 1}{x - 1}.\]
	\end{enumerate}
\item On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \sqrt{2x^2 + 1}\quad \text{et} \: g(x) = \dfrac{x + 1}{x - 1}.\]

Déterminer le nombre de solutions du problème initial.
	
On pourra utiliser la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par $h(x) = f(x) - g(x)$ et s'appuyer sur la copie d'écran d'un logiciel de calcul formel donnée ci-dessous.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$f(x) := \text{sqrt}(2*x\verb+^+2+1)$	\\ \hline
\hspace{1.5cm}$x \to  \sqrt{2*x^2+1}$	\\ \hline
deriver$(f)$							\\ \hline
\hspace{1.5cm}$x \to \dfrac{2*x}{\sqrt{2*x^2+ 1}}$\rule[-5mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
$g(x) :=(x+1)/(x-1)$					\\ \hline
\hspace{1.5cm}$x \to \dfrac{x + 1}{x - 1}$\rule[-5mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
deriver$(g)$							\\ \hline
\hspace{1.5cm}$x \to  - \dfrac{2}{(x - 1)^2}$\rule[-5mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

On s'intéresse à la figure suivante, dans laquelle $a$, $b$ et $c$ désignent les longueurs des hypoténuses des trois triangles rectangles en O dessinés ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.8)(3.4,1)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(1,0)(0,1)
\psline(1,0)(1.3,0)\psline(1.7,0)(2.1,0)\psline(2.1,0)(2.4,0)
\psline(2.7,0)(3.2,0)
\psline(0,1)(2.1,0)\psline(0,1)(3.2,0)
\psframe(0.15,0.15)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-0.2)\psline{<->}(0,-0.2)(1,-0.2)\uput[u](0.5,-0.2){1}
\psline[linestyle=dashed](2.1,0)(2.1,-0.4)\psline{<->}(0,-0.4)(2.1,-0.4)\uput[u](1.05,-0.4){$u$}
\psline[linestyle=dashed](3.2,0)(3.2,-0.6)\psline{<->}(0,-0.6)(3.2,-0.6)\uput[u](1.6,-0.6){$v$}
\uput[ur](0.5,0.5){$a$}\uput[ur](1.3,0.45){$b$}\uput[ur](1.85,0.5){$c$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(-0.2,0)\psline[linestyle=dashed](0,1)(-0.2,1)
\psline{<->}(-0.2,0)(-0.2,1)\uput[l](-0.2,0.5){1}
\psline[linestyle=dashed](1.2,0)(1.7,0)
\psline[linestyle=dashed](2.4,0)(2.7,0)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-0.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Problème :} on cherche les couples de \textbf{nombres entiers naturels non nuls} $(u,~v)$ tels que $ab = c$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Modélisation

Démontrer que les solutions du problème sont des solutions de l'équation :

\[(E) :\quad  v^2 - 2u^2 = 1\quad  (v \text{ et }\: u \: \text{ étant des entiers naturels non nuls}).\]

\item  Recherche systématique de solutions de l'équation $(E)$

Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche au cours de son exécution tous les couples solutions de l'équation pour lesquels $1 \leqslant u \leqslant \np{1000}$ et $1 \leqslant v \leqslant \np{1000}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{4.5cm}|}\hline
Pour $u$ allant de 1 à \ldots faire&Au cours de son exécution,\\
\hspace{0.5cm}Pour \ldots&l'algorithme affiche :\\
\hspace{1cm}Si \ldots&2 \quad 3\\
\hspace{1.5cm}Afficher $u$ et $v$&12 \quad 17\\
\hspace{1cm}Fin Si&70 \quad 99\\
\hspace{0.5cm}Fin Pour&408 \quad 577\\
Fin Pour&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Analyse des solutions éventuelles de l'équation $(E)$

On suppose que le couple $(u,~v)$ est une solution de l'équation $(E)$.
	\begin{enumerate}
		\item Établir que $u < v$.
		\item  Démontrer que $n$ et $n^2$ ont la même parité pour tout entier naturel $n$.

		\item  Démontrer que $v$ est un nombre impair.
		\item  Établir que $2u^2 =(v-1)(v+1)$.
		
En déduire que $u$ est un nombre pair.
	\end{enumerate}
\item  Une famille de solutions
	
On assimile un couple de nombres entiers $(u,~v)$ à la matrice colonne $X = \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}$.
	
On définit également la matrice $A = \begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si une matrice colonne $X$ est une solution de l'équation $(E)$, alors $AX$ est aussi une solution de l'équation $(E)$.
		\item Démontrer que si une matrice colonne $X$ est une solution de l'équation $(E)$, alors pour tout entier naturel $n$,\: $A^n X$ est aussi une solution de l'équation $(E)$.
		\item À l'aide de la calculatrice, donner un couple $(u,~v)$ solution de l'équation $(E)$ tel que
		
 $v > \np{10000}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}