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%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
%%% dernière mise à jour : novembre 2017
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
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\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{16 juin 2009}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}
{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 
16 juin 2009~\decofourright}}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseurs $\mathcal{F}_{1},~\mathcal{F}_{2},$ $\mathcal{F}_{3}$.

Dans l'entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique.

La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$, le tiers par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ et le reste par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$.

\medskip

Une étude statistique a montré que:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 5\,\% des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur  $\mathcal{F}_{1}$ ont un défaut ;
\item[$\bullet~$] 1,5\,\% des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur  $\mathcal{F}_{2}$ ont un défaut ;
\item[$\bullet~$] sur l'ensemble du stock, 3,5\,\% des paires de chaussettes  ont un défaut.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l'entreprise.

\medskip

On considère les évènements $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3}$ et $D$ suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $F_{1}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $F_{2}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $F_{3}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$ \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $D$ : \og La paire de chaussettes prélevée présente un défaut \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Traduire en termes de probabilités les données de l'énoncé en utilisant les évènements précédents.

\emph{Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cette expérience.}

\medskip

		\item Calculer la probabilité qu'une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ et présente un défaut.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $F_{2} \cap D$.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $F_{3} \cap D$.
		\item Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$, quelle est la probabilité qu'elle présente un défaut ?
	\end{enumerate}
\item L'entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires.

On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, successifs avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d'un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.
		\item Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus une paire de chaussettes d'un lot présente un défaut est égale à $0,983.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux  candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip

On place dans ce repère, les points A d'affixe 1, $B$ d'affixe $b$ où $b$ est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive.

On construit à l'extérieur du triangle OA$B$, les carrés directs O$DC$A et O$BEF$ comme indiqué sur la figure ci-dessous.

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Déterminer les affixes $c$ et $d$ des points C et D. 
\item On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $+\frac{\pi}{2}$.  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture complexe de $r$. 
		\item En déduire que l'affixe $f$ du point $F$ est  $\text{i}b$. 
		\item Déterminer l'affixe $e$ du point $E$. 
	\end{enumerate}
\item On appelle $G$ le point tel que le quadrilatère O$FG$D soit un parallélogramme. 

Démontrer que l'affixe $g$ du point $G$ est égale à $\text{i}(b -1)$. 

\item Démontrer que $\dfrac{e - g}{c - g} = \text{i}$ et en déduire que le triangle $EG$C est rectangle et isocèle.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=2.25cm}
\begin{pspicture}(-1.25,-1.5)(1.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1.2,-1.5)(1.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psframe(0,0)(1,-1) \rput{40}(0,0){\psframe(0,0)(1.2,1.2)}
\psline(0,-1)(-0.76,-0.12)(-0.76,0.92)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){A} \uput[ur](0.86,0.78){$B$} \uput[dr](1,-1){C} 
\uput[dl](0,-1){D} \uput[u](0.17,1.63){$E$} \uput[l](-0.78,0.86){$F$} \uput[dl](-0.78,-0.14){$G$} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux  candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs $N$ tels que 

\[\left\{\begin{array}{l !{\equiv} l r}
N& 5	&(13)\\
N& 1	&(17)
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que 239 est solution de ce système.
		\item Soit $N$ un entier relatif solution de ce système.
		
		Démontrer que $N$ peut s'écrire sous la forme $N = 1 + 17x = 5 + 13y$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs vérifiant la relation $17x - 13y = 4$.
		\item Résoudre l'équation $17x - 13y = 4$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
		\item En déduire qu'il existe un entier relatif  $k$ tel que $N = 18 + 221k$.
		\item Démontrer l'équivalence entre $N \equiv 18 \quad (221)$ et 
		$\left\{\begin{array}{l !{\equiv} l r}
N& 5&(13)\\
N& 1&(17)
\end{array}\right.$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Existe-t-il un entier naturel $k$ tel que $10^k \equiv 1 \quad (17)$ ?
		\item Existe-t-il un entier naturel $l$ tel que $10^l \equiv 18 \quad (221)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On considère l'équation notée (E) : $ \ln x = -x$.

\medskip
 
Le but de l'exercice est de prouver que l'équation (E), admet une solution unique notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et d'utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement. 

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie A : existence et unicité de la solution}\end{center}
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x + \ln x.\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
\item Vérifier que : $\dfrac{1}{2} \leqslant  \alpha \leqslant  1$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B : encadrement de la solution} \boldmath$\alpha$ \end{center}
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{4x - \ln x}{5}$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étude de quelques propriétés de la fonction $g$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
	\item En déduire que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$, $g(x)$ appartient à cet intervalle. 
	\item Démontrer qu'un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ est solution de l'équation  (E) si et seulement si $g(x) = x$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, par 

$u_{n+1} = g\left(u_{n}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le sens de variation de la fonction $g$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,~\dfrac{1}{2} \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant 1$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\item Recherche d'une valeur approchée de $\alpha$
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_{10}$, arrondie à la sixième décimale. 
		\item On admet que $u_{10}$ est une valeur approchée par défaut à $5 \times 10^{-4}$ près \mbox{de $\alpha$.} 
	
En déduire un encadrement de $\alpha$ sous la forme $u \leqslant  \alpha \leqslant  v$ où $u$ et $v$ sont deux décimaux écrits avec trois décimales.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{L'exercice comporte quatre questions indépendantes. Pour chacune d'entre elles, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Il s'agit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix ainsi effectué.\\ 
Un choix non justifié ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Question 1
 
La solution $f$ de l'équation différentielle $y' + 2y = 6$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 1$ est définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
Réponse (1) :\par $f(x) = - 2\text{e}^{- 2x} +3$&  Réponse (2) :\par $f(x) = - 2\text{e}^{2x} +3$& 
Réponse (3) :\par $f(x) = - 2\text{e}^{- 2x}- 3$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Question 2
 
On considère un triangle ABC et on note I le point tel que $2\vect{\text{IB}} + \vect{\text{IC}}= \vect{0}$.

Les points G, I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système : 
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
Réponse (1) :\par \{(A,~1), (C,~2)\}& Réponse (2) :\par \{(A,~1), (B,~2), (C,~2)\}& Réponse (3) :\par \{(A,~1), (B,~2), (C,~1)\} 
\end{tabularx}

\medskip
\item  Question 3
 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne : $x - 3y + 2z = 5$ et le point A$(2~;~3~;~-1)$. 

Le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}$ est le point :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
Réponse (1) :\par H$_{1}(3~;~-1~;~4)$&Réponse (2) :\par H$_{2}(4~;~-3~;~-4)$&Réponse (3) :\par H$_{3}(3~;~0~;~1)$
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Question 4
 
La valeur moyenne de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par

 $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$ est égale à :  

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
Réponse (1) :\par \smallskip $-\dfrac{\pi}{2}$&Réponse (2) :\par \smallskip  $\dfrac{\pi}{4}$&Réponse (3) :\par  \smallskip $\dfrac{\pi}{2}$
\end{tabularx} 
\end{enumerate} 

\end{document}