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%Merci à Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}% vecteur(AB)
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie - 2 décembre 2020},
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\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{2 décembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S -- Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[7pt]
2 décembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire, type \og collège \fg, est autorisé}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\emph{Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.}\\
\emph{Le candidat doit traiter tous les exercices.}\\
\emph{Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.}\\
\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.}\\
\emph{Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $(E) : z^3 = 4z^2 - 8z + 8$ ayant pour inconnue le nombre complexe $z$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$,

\[z^3 - 4z^2 +8z - 8 = (z- 2)\left(z^2 - 2z + 4\right).\]
		\item  Résoudre l'équation $(E)$.
		\item Écrire les solutions de l'équation $(E)$ sous forme exponentielle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv. 

Soit A, B, C et D les quatre points d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}\qquad z_{\text{B}} = 2\qquad z_{\text{C}} = 1 - \text{i}\sqrt{3} \qquad z_{\text{D}} = 1.\]

Ces quatre points sont représentés dans la figure ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2.75)(2.5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,griddots=8](-1,-3)(2.5,2.5)
\psaxes[Dx=10,Dy=10,linewidth=1pt](0,0)(-1,-3)(2.5,2.5)
\psaxes[Dx=10,Dy=10,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](2;60){A}\uput[dr](2;0){B}\uput[d](2;-60){C}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1,0){D}
\pspolygon(0,0)(2;60)(2;0)(2;-60)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput*[d](1,-2.1){Figure de l'exercice 1}
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle est la nature du quadrilatère OABC ? Justifier. 
\item Soit M le point d'affixe $z_{\text{M}} = \dfrac{7}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points A, M et B sont alignés.
		\item Démontrer que le triangle DMB est rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le phaéton à bec rouge est un oiseau des régions intertropicales.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque le phaéton à bec rouge vit dans un environnement pollué, sa durée de vie, en année, est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d'espérance $\mu$ inconnue et d'écart-type $\sigma = 0,95$.
	\begin{enumerate}
		\item On considère la variable aléatoire $Y$ définie par $Y = \dfrac{X - \mu}{0,95}$.

Donner sans justification la loi suivie par la variable $Y$.
		\item On sait que $P(X \geqslant 4) = 0,146$.
		
Démontrer que la valeur de $\mu$ arrondie à l'unité est $3$.
	\end{enumerate}
\item  Lorsque le phaéton à bec rouge vit dans un environnement sain, sa durée de vie, en année, est modélisée par une variable aléatoire $Z$.

Les courbes des fonctions de densité associées aux lois de $X$ et de $Z$ sont représentées sur l'\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la courbe de la fonction de densité associée à $X$ ? Justifier.
		\item Sur l'\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}, hachurer la zone du plan correspondant à 
		
$P(Z \geqslant 4)$.
		
On admettra par la suite que $P(Z \geqslant 4) = 0,677$.
	\end{enumerate}
\item  Une étude statistique portant sur une région donnée, a permis d'établir que 30\,\% des phaétons à bec rouge vivent dans un environnement pollué; les autres vivent dans un environnement sain.

On choisit au hasard un phaéton à bec rouge vivant dans la région donnée.

On considère les évènements suivants :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $S$ : \og le phaéton à bec rouge choisi vit dans un environnement sain \fg{} ;
\item $V$ : \og le phaéton à bec rouge choisi a une durée de vie d'au moins 4 ans \fg.
\end{list}

	\begin{enumerate}
		\item Compléter l'arbre pondéré illustrant la situation sur l'\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}.
		\item Déterminer $P(V)$. Arrondir le résultat au millième.
		\item Sachant que le phaéton à bec rouge a une durée de vie d'au moins 4 ans, quelle est la probabilité qu'il vive dans un environnement sain ? Arrondir le résultat au millième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$, par

\[g(x) = x^2 + x + \dfrac{1}{4}+ \dfrac{4}{\left(1 + \text{e}^x \right)^2}.\]

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
\item On admet que la fonction $g'$ est strictement croissante sur $\R$ et que $g'(0) = 0$.

Déterminer le signe de la fonction $g'$ sur $\R$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ et calculer le minimum de la fonction $g$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = 3 - \dfrac{2}{1 + \text{e}^x}.\]

On désigne par $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij, représentée dans la \textbf{figure} ci-dessous.

Soit A le point de coordonnées $\left(- \dfrac{1}{2}~;~3\right)$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point B(0~;~2) appartient à $\mathcal{C}_f$.
\item  Soit $x$ un réel quelconque.

On note $M$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ de coordonnées $(x~;~f(x))$. 

Démontrer que A$M^2 = g(x)$.
\item On admet que la distance A$M$ est minimale si et seulement si A$M^2$ est minimal.

 Déterminer les coordonnées du point de la courbe $\mathcal{C}_f$ tel que la distance A$M$ est minimale.
\item  On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
		\item Soit $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B.
		
Démontrer que l'équation réduite de $T$ est $y = \dfrac{x}{2} + 2.$
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que la droite $T$ est perpendiculaire à la droite (AB).
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture*}(-4.5,-1)(5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=8]
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4.5,-0.75)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4.5}{5}{3 2 1 2.71828 x exp add div sub}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dr](0,2){B}\uput[ul](-1.2,1.463){$M$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0,-0.4){Figure de l'exercice 3, partie B.}
\uput[ul](-0.5,3){A}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](-0.5,3)(0,2)(-1.2,1.463)
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.}

\smallskip
\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : L'équation $(3\ln{}  x - 5) \left(\text{e}^x + 4\right) = 0$ admet exactement deux solutions réelles.

\item  On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par

\[u_0 = 2 \quad\text{et, pour tout entier naturel } \:n, \: u_{n+1} = 2u_n - 5n + 6.\]

\textbf{Affirmation 2} : Pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 3 \times 2^n + 5n - 1$.
\item  On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = n^2 + \dfrac{1}{2}$.

\textbf{Affirmation 3} : La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique.

\item  Dans un repère de l'espace, soit $d$ la droite passant par le point A$(-3~;~7~;~ -12)$ et de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~-2~;~5)$.

Soit $d'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r}
x &=&2t-1\\
y &=& -4t + 3\\
z &=&10t - 2 .

\end{array}\right.,\:t \in  \R$

\textbf{Affirmation 4 }: Les droites $d$ et $d'$ sont confondues.

\item  On considère un cube ABCDEFGH, L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$

\parbox{0.55\linewidth}{
Une représentation paramétrique de la droite (AG) est

\medskip

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&t\\
y&=&t\\
z&=&t
\end{array}\right.\:t \in \R$.

\medskip

On considère un point $M$ de la droite (AG).}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psline(0.7,0.6)(3.8,0.4)(5.5,1)(5.5,4.5)(3.8,3.9)(0.7,4.1)(2.4,4.7)(5.5,4.5)%ABCGFEHG
\psline(0.7,0.6)(0.7,4.1)%AE
\psline(3.8,0.4)(3.8,3.9)%BF
\psline[linestyle=dashed](0.7,0.6)(2.4,1.2)(2.4,4.7)%ADH
\psline[linestyle=dashed](2.4,1.2)(5.5,1)%DC
\uput[d](0.7,0.6){A} \uput[d](3.8,0.4){B} \uput[r](5.5,1){C} \uput[d](2.4,1.2){D} 
\uput[ul](0.7,4.1){E} \uput[u](3.8,3.9){F} \uput[u](5.5,4.5){G} \uput[u](2.4,4.7){H}
\psplot[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{0}{6}{39 x mul 48 div 1.5 48 div add}
\uput[u](3,2.469){$M$}
\psline(2.4,1.2)(3,2.469)(3.8,0.4)
\psline(3.1,2.2)(3,1.93)(2.84,2.195)
\end{pspicture}}

\smallskip

\textbf{Affirmation 5} : Il y a exactement deux positions du point $M$ sur la droite (AG) telles que les droites ($M$B) et ($M$D) soient orthogonales.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.}

\smallskip

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : Les solutions de l'équation $7x - 12y = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs, sont les couples $(- 1  +12k~;~-1 +7k)$ où $k$ décrit l'ensemble des entiers relatifs.
\item  \textbf{Affirmation 2} : Pour tout entier naturel $n$, le reste de la division euclidienne de $4 + 3\times 15^n$ par $3$ est égal à 1.
\item  \textbf{Affirmation 3} : L'équation $n\left(2n^2 - 3n + 5\right) = 3$, où $n$ est un entier naturel, admet au moins une solution.
\item  Soit $t$ un nombre réel. On pose $A = \begin{pmatrix}t&3\\2t&-t\end{pmatrix}$
.

\textbf{Affirmation 4} : Il n'existe aucune valeur du réel $t$ pour laquelle $A^2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
\item On considère les matrices $A= \begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}$
 et $I_3 = \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.

\textbf{Affirmation 5} : Pour tout entier $n\geqslant  2$,\: $A^n = \left(2^n - 1\right)A + \left(2 - 2^n\right)I_3$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 2 question 2}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.7cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(19,0.5)
\multido{\n=-1+1}{21}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.5)}
\multido{\n=0.0+0.1}{6}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(19,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(19,0.5)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=red,mue=3,sigma=0.95]{0}{7}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(1,0.045)(2,0.095)(3,0.12)(4,0.13)(5,0.125)(6,0.115)(7,0.097)(8,0.08)(10,0.043)(12,0.025)(15,0.012)(19,0)
%\psplot{0}{19}{x 2.71828 x -0.25 mul 0.124 sub exp mul 10 div}
%\psplot[algebraic,plotpoints=5000]{0}{19}{(1+sin(x/4)-cos(x/4))*2.71828^(-x/4)/3.6}
\uput[ur](3,0.42){\red $\mathcal{C}_2$} 
\uput[u](12.5,0.02){\blue $\mathcal{C}_1$}
\end{pspicture}

\vspace{2cm}


\textbf{Exercice 2 question 3}

\vspace{2cm}

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3.5cm,treesep=1.5cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$S$} \taput{\ldots}}
	{\TR{$V$} \taput{0,677}
	\TR{$\overline{V}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{S}$} \tbput{\ldots}}
	{\TR{$V$} \taput{0,146}
	\TR{$\overline{V}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\end{document}