%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} %%%Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon %%% Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{ulem} \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \usepackage{array} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage{colortbl} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{graphicx} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Baccalauréat S} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{7 mars 2014}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \bigskip {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[7pt]7 mars 2014}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ \textbf{Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}\\ Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}\index{Q. C. M.} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. Soit $z$ un nombre complexe de la forme $x + \text{i}y$, où $x$ et $y$ sont des réels. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $z$ le nombre complexe d'affixe $(1 + \text{i})^4$. L'écriture exponentielle de $z$ est :\index{complexes} \begin{enumerate} \item $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi}$ \item $4\text{e}^{\text{i}\pi}$ \item $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ \item $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ \end{enumerate} \item L'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z = x + \text{i}y$ tels que $|z - 1 + \text{i}| = \left|\sqrt{3} - \text{i}\right|$ a pour équation : \begin{enumerate} \item $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 2$ \item $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$ \item $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$ \item $y = x + \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$ \end{enumerate} \item On considère la suite de nombres complexes $\left(Z_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $Z_{0} = 1 + \text{i}$ et $Z_{n+1} = \frac{1 + \text{i}}{2}Z_{n}$. On note $M_{n}$ le point du plan d'affixe $Z_{n}$. \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, le point $M_{n}$ appartient au cercle de centre O et de rayon $\sqrt{2}$. \item Pour tout entier naturel $n$, le triangle O$M_{n}M_{n + 1}$ est équilatéral. \item La suite $\left(U_{n}\right)$ définie par $U_{n} = \left|Z_{n}\right|$ est convergente. \item Pour tout entier naturel $n$, un argument de $\frac{Z_{n+1} - Z_{n}}{Z_{n}}$ est $\frac{\pi}{2}$. \end{enumerate} \item Soit A, B, C trois points du plan complexe d'affixes respectives : \[Z_{\text{A}}= - 1 - \text{i} \quad ;\quad Z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i}\quad \text{et}\quad Z_{\text{C}} = 1 + 5\text{i}.\] On pose $Z = \dfrac{Z_{\text{C}} - Z_{\text{A}}}{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}}$. \begin{enumerate} \item $Z$ est un nombre réel. \item Le triangle ABC est isocèle en A. \item Le triangle ABC est rectangle en A. \item Le point $M$ d'affixe $Z$ appartient à la médiatrice du segment [BC]. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Restitution organisée des connaissances} \medskip L'objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant : \begin{tabularx}{\linewidth}{m{1.5cm}|X} &Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle ]0~;~ 1[, il existe un unique réel strictement positif $\chi_{\alpha}$ tel que $P\left(- \chi_{\alpha} \leqslant X \leqslant \chi_{\alpha}\right) = 1 - \alpha$. \end{tabularx} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par \[f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{- \frac{t^2}{2}}.\] Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ par \[H(x) = P(- x \leqslant X \leqslant x) = \displaystyle\int_{- x}^{x} f(t)\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Que représente la fonction $f$ pour la loi normale centrée réduite ? \item Préciser $H(0)$ et la limite de $H(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. \item À l'aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif $x,\: H(x) = 2\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\:\text{d}t$. \item En déduire que la dérivée $H'$ de la fonction $H$ sur $[0~;~+ \infty[$ est la fonction $2f$ et dresser le tableau de variations de $H$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Démontrer alors le théorème énoncé. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B. 60\,\% des pipettes viennent de l'entreprise A et 4,6\,\% des pipettes de cette entreprise possèdent un défaut. Dans le stock total du laboratoire, 5\,\% des pièces présentent un défaut. On choisit au hasard une pipette dans le stock du laboratoire et on note :\index{probabilité} \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ] $A$ l'évènement : \og La pipette est fournie par l'entreprise A \fg{} ; \item[ ] $B$ l'évènement : \og La pipette est fournie par l'entreprise B \fg{} ; \item[ ] $D$ l'évènement : \og La pipette a un défaut \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item La pipette choisie au hasard présente un défaut ; quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'entreprise A ? \item Montrer que $p(B \cap D) = \np{0,0224}$. \item Parmi les pipettes venant de l'entreprise B, quel pourcentage de pipettes présente un défaut ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98 millilitres (mL) et 102~mL. Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d'un laboratoire associe sa contenance (en millilitres). On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et écart type $\sigma$ tels que $\mu = 100$ et $\sigma^2 = \np{1,0424}$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est alors la probabilité, à $10^{-4}$ près, pour qu'une pipette prise au hasard soit conforme ? On pourra s'aider de la table ci-dessous ou utiliser une calculatrice. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Contenance $x$ (en mL)& 95 &96 &97 &98 &99\\ \hline $P(X~\leqslant~x)$ $\left(\text{arrondi à }\:10^{- 5}\right)$&\np{0,00000} &\np{0,00004} &\np{0,00165} &\np{0,02506} &\np{0,16368}\\ \hline\hline Contenance $x$ (en mL)&100 &101 &102 &103 &104\\ \hline $P(X~\leqslant~x)$ $\left(\text{arrondi à }\:10^{- 5}\right)$&0,5 &\np{0,83632} &\np{0,97494} &\np{0,99835} &\np{0,99996}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu'une pipette soit non-conforme est $p = 0,05$. \item On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille $n$, où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $100$. On suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants. Soit $Y_{n}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille $n$ associe le nombre de pipettes non-conformes de l'échantillon. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y_{n}$ ? \index{loi binomiale} \item Vérifier que $n \geqslant 30,\: np \geqslant 5$ et $n(1 - p) \geqslant 5$. \item Donner en fonction de $n$ l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty [$ par \[f(x) = x\ln (x).\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. Montrer que $f'(x) = \ln(x) + 1$. \item Déterminer les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal. Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.\index{intégrale et aire} On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}$. (voir la figure ci-après). \begin{center} \psset{unit=3.6cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.2,-0.4)(3.2,1.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-0.4)(3.2,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{2.1}{x x ln mul} \psframe[fillstyle=hlines](1,0)(1.25,0.279) \psframe[fillstyle=hlines](1.25,0)(1.5,0.608) \psframe[fillstyle=hlines](1.5,0)(1.75,0.979) \psframe[fillstyle=hlines](1.75,0)(2,1.386) \psframe[fillstyle=vlines](1.25,0)(1.5,0.279) \psframe[fillstyle=vlines](1.5,0)(1.75,0.608) \psframe[fillstyle=vlines](1.75,0)(2,0.979) \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](0.7,-0.2){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Algorithme :} \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Variables}\\ \hspace{0,8cm}$k$ et $n$ sont des entiers naturels \\ \hspace{0,8cm}$U, V$ sont des nombres réels\\ \textbf{Initialisation}\\ \hspace{0,8cm} $U$ prend la valeur 0\\ \hspace{0,8cm} $V$ prend la valeur 0\\ \hspace{0,8cm} $n$ prend la valeur 4\\ \textbf{Traitement}\\ Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ \hspace{0,8cm} Affecter à $U$ la valeur $U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)$\\ \hspace{0,8cm} Affecter à $V$ la valeur $V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)$\\ Fin pour\\ \textbf{Affichage}\\ \hspace{0,8cm} Afficher $U$\\ \hspace{0,8cm} Afficher $V$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Que représentent $U$ et $V$ sur le graphique précédent ? \item Quelles sont les valeurs $U$ et $V$ affichées en sortie de l'algorithme (on donnera une valeur approchée de $U$ par défaut à $10^{-4}$ près et une valeur approchée par excès de $V$ à $10^{-4}$ près) ? \item En déduire un encadrement de $\mathcal{A}$. \end{enumerate} \item Soient les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par : \renewcommand\arraystretch{1.8} \[\begin{array}{l c l} U_{n}& =&\dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\ V_{n}&=&\dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right] \end{array}.\] \renewcommand\arraystretch{1} On admettra que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $U_{n} \leqslant \mathcal{A} \leqslant V_{n}$. \begin{enumerate} \item Trouver le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} - U_{n} < 0,1$. \item Comment modifier l'algorithme précédent pour qu'il permette d'obtenir un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude inférieure à $0,1$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $F$ la fonction dérivable, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1.\index{géométrie dans l'espace} On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments [CD], [EF] et [AB]. On note Q le point défini par $\vect{\text{AQ}}= \dfrac{1}{3}\vect{\text{AD}}$. \begin{center} \psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(13,7) \psframe(10.3,3.5)%BCGF \psline(10.3,0)(12,2.1)(12,6.1)(10.3,3.5)%CDHG \psline(12,6.1)(1.7,6.1)(0,3.5)%HEF \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.7,2.1)(1.7,6.1)%BAE \psline[linestyle=dashed](1.7,2.1)(12,2.1)%AD \uput[l](1.7,2.1){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](10.3,0){C} \uput[r](12,2.1){D} \uput[ul](1.7,6.1){E} \uput[l](0,3.5){F} \uput[dr](10.3,3.5){G} \uput[ur](12,6.1){H} \uput[ul](11.15,1.05){I} \uput[ul](0.85,4.8){J} \uput[ul](0.85,1.05){P}\uput[u](5.11,2.1){Q} \psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(0.85,1.05) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(5.11,2.1) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(1.7,6.1) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](0.85,1.05)(5.11,2.1)(0.85,4.8)(11.15,1.05) \end{pspicture} \end{center} \bigskip On appelle \textbf{plan médiateur d'un segment} le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. L'objectif de l'exercice est de déterminer les coordonnées du centre d'une sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ (c'est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J). L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AP}},~\vect{\text{AQ}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires. \item Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur\index{equation de plan@équation de plan} $\left(P_{1}\right)$ du segment [AB]. \item Soit $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation cartésienne $3y - z - 4 = 0$. Montrer que le plan $\left(P_{2}\right)$ est le plan médiateur du segment [IJ]. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les plans $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont sécants. \item Montrer que leur intersection est une droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est \index{equation paramétrique@équation paramétrique} \[\left\{\begin{array}{l c r} x &=& \phantom{3t -1}1\\ y &=& \phantom{3}t\phantom{- 1}\\ z &=& 3t - 4 \end{array}\right.\: \text{où }\: t\: \text{ décrit l'ensemble des nombres réels } \:\R.\] \item Déterminer les coordonnées du point $\Omega$ de la droite $(\Delta)$ tel que $\Omega$A = $\Omega$I. \item Montrer que le point $\Omega$ est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}