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%%%Sujet aimablement fourni par Nathalie Mignot
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{10 novembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\10 novembre 2011}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. 

On prendra 1~cm pour unité graphique.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$. 
\item Soit A, B, C et D les points d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}\quad ; \quad z_{\text{C}} = 2z_{\text{B}} \quad;\quad z_{\text{D}} = 3.\]
 
Construire une figure et la compléter tout au long de l'exercice. 
\item Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon. 
\item Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$. En déduire la nature du triangle DAC. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
 
On note $h$ l'homothétie de centre D et de rapport 2. On note $r$ la rotation de centre D et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On appelle C$'$ l'image de C par $h$ et C$''$ l'image de C$'$ par $r$. 

Montrer que les droites (AC) et (C$'$C$''$) sont perpendiculaires. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$. 
		\item Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$ tel que 
		
$f(\alpha) = 0$. 

Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$.
 
La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$  est définie par $u_{0} = 1,5$ et pour tout entier naturel $n \::$

$u_{n+1} = g\left(u_{n}\right) =  \ln \left(1 + \dfrac{1}{u_{n}}\right)$.

On a représenté en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $g$ et la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur l'axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ 
		\item Le graphique permet-il d'émettre les conjectures suivantes ? 
		
On recopiera sur la copie le numéro de la conjecture suivie de OUI ou NON. 

Aucune justification n'est demandée.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Conjecture \no 1 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est monotone. \fg 
\item[$\bullet~~$] Conjecture \no 2 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est minorée par $0,5$. \fg 
\item[$\bullet~~$] Conjecture \no 3 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers 1. \fg 
\end{itemize}
		\item On admet que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est convergente vers une limite $\ell$ strictement positive.
		 
Montrer que $\ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right) = \ell$. 
		\item Montrer que $\ell = \alpha$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une grande entreprise dispose d'un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé \og temps de fonctionnement \fg. Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures.

\medskip
 
On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Le paramètre $\lambda$ est un réel strictement positif.
 
On rappelle que, pour tout réel $t \geqslant 0,\quad P(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à $0,6$.
 
Montrer qu'une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-3}$ près est \np{0,131}.

\medskip
 
\textbf{Dans les questions suivantes, on prendra \boldmath \np{0,131} \unboldmath pour valeur approchée de $\lambda$ et les résultats seront donnés à \boldmath$10^{-2}$ près \unboldmath}.
 
\item Montrer qu'une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures est égale à $0,52$. 
\item Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu'il n'y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures. 
\item Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures. 
\item On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu'on suppose indépendants. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5~heures. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par Y ? 
		\item Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5~heures 
		\item Calculer l'espérance mathématique de Y (on arrondira à l'entier le plus proche). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité }

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.
 
On considère les points: A(0~;~0~;~2), B(0~;~4~;~0) et C(2~;~0~;~0).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier qu'une équation du plan (ABC) est : $2x + y + 2z = 4$. 
		\item Calculer la distance du point O au plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation du plan $P$ passant par A et orthogonal à la droite (BC). 
		\item Soit $\Delta$ la droite intersection du plan $P$ et du plan (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC ? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\Delta'$ la médiane issue de B du triangle ABC.
		 
Montrer qu'une équation paramétrique de $\Delta'$ dans le triangle ABC est : 

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t \\
y &=& 4 - 4t,\\
z &=& t
\end{array}\right. \quad  t \in \R.\]
  
		\item Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.
	\end{enumerate}		 
\item Soit H le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\Delta'$. Montrer que le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{8}{9}\right)$.

Que représente le point H pour le triangle ABC ?  
\item Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  choisi l'enseignement de spécialité }

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.
 
On considère la surface $S$ d'équation : $x^2 + y^2 - z^2 = 4$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si le point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $S$ alors le point 
		
$M'(-x~;~- y~;~- z)$ appartient aussi à $S$. Que peut-on en déduire ? 
		\item Montrer que la surface $S$ est symétrique par rapport au plan $(x\text{O}y)$. On admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans $(x\text{O}z)$ et $(y\text{O}z)$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan $(x\text{O}y)$.
		 
Préciser ses éléments caractéristiques. 
		\item Soit $k$ un réel non nul. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan d'équation $z = k$. Préciser ses éléments caractéristiques.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan d'équation $y = 2$. 
\item On considère les points A$\left(2\sqrt{2}~;~0~;~2\right)$ et B$\left(0~;~2\sqrt{2}~;~- 2\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). 
		\item La droite (AB) est-elle contenue dans la surface $S$ ? 
	\end{enumerate}
\item Identifier parmi les trois figures proposées en \textbf{annexe 2} celle qui représente la surface $S$.
 
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la figure et justifiera la réponse. 
\item Soit $H$ la section de la surface $S$ par le plan $P$ d'équation $y = 5$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $H$ si et seulement si 
		
$(x - z)(x + z) = - 21$ et $y = 5$. 
		\item En déduire les coordonnées des points de $H$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\bigskip
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{(À rendre avec la copie)}
 
\textbf{Exercice 2}

\vspace{2cm}

\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(2.1,1.501)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.1,-0.1)(2.1,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.28}{2}{1 1 x div add ln}
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(1.5,1.5)
\uput[dr](1.5,1.5){$\mathcal{D}$}
\uput[u](2,0){$x$}\uput[l](0,1.4){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.8,0.45){\blue$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\begin{landscape}

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2}

\bigskip

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\textbf{Exercice 5} 

\bigskip
\begin{tabular}{c c c}
\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\psset[pst-solides3d]{viewpoint=20 5 10,Decran=30,lightsrc=20 10 5}

\defFunction{cone}(u,v){u v Cos mul}{u v Sin mul}{u}
\psSolid[object=surfaceparametree,base=-2 2 0 2 pi mul,inhue=0.8 0.2,hue=0.8 0.2,function=cone,linewidth=0.01,ngrid=25 40]
\gridIIID[Zmin=0,Zmax=0](0,0)(0,0)[5,3,3]
\end{pspicture}
&
\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\psset[pst-solides3d]{viewpoint=20 5 10,Decran=30,lightsrc=20 10 5}
\defFunction{hyperbolo}(u,v){1 u dup mul add sqrt  v Cos mul}{1 u dup mul add sqrt v Sin mul}{u}
\psSolid[object=surfaceparametree,base=-2 2 0 2 pi mul,inhue=0.8 0.2,hue=0.8 0.2,function=hyperbolo,linewidth=0.01,ngrid=25 40]
\gridIIID[Zmin=0,Zmax=0](0,0)(0,0)[5,3,3]
\end{pspicture}
&
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,7)
\psset{unit=0.65cm,viewpoint=80 20 30 }
\psset[pst-solides3d]{viewpoint=20 5 10,Decran=30,lightsrc=20 10 5}
\defFunction{parabolo}(u,v){u   v Cos mul}{u  v Sin mul}{u dup mul}
\psSolid[object=surfaceparametree,base=-2 2 0 2 pi mul,inhue=0.8 0.2,hue=0.8 0.2,function=parabolo,linewidth=0.01,ngrid=25 40]
\gridIIID[Zmin=0,Zmax=0](0,0)(0,0)[3,3,5]
\end{pspicture}\\
Figure 1&Figure 2&Figure 3\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}