%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} %%%Sujet aimablement fourni par Nathalie Mignot %%% Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{ulem} \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot,pst-solides3d,,pstricks-add,pst-all}%pst-vue3d \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{graphicx} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Baccalauréat S} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{10 novembre 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[7pt]10 novembre 2011}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1~cm pour unité graphique. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$. \item Soit A, B, C et D les points d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}\quad ; \quad z_{\text{C}} = 2z_{\text{B}} \quad;\quad z_{\text{D}} = 3.\] Construire une figure et la compléter tout au long de l'exercice. \item Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon. \item Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$. En déduire la nature du triangle DAC. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. On note $h$ l'homothétie de centre D et de rapport 2. On note $r$ la rotation de centre D et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On appelle C$'$ l'image de C par $h$ et C$''$ l'image de C$'$ par $r$. Montrer que les droites (AC) et (C$'$C$''$) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$. \item Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. \item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 0$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$. La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est définie par $u_{0} = 1,5$ et pour tout entier naturel $n \::$ $u_{n+1} = g\left(u_{n}\right) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{u_{n}}\right)$. On a représenté en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $g$ et la droite d'équation $y = x$. \begin{enumerate} \item Construire sur l'axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ \item Le graphique permet-il d'émettre les conjectures suivantes ? On recopiera sur la copie le numéro de la conjecture suivie de OUI ou NON. Aucune justification n'est demandée. \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Conjecture \no 1 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est monotone. \fg \item[$\bullet~~$] Conjecture \no 2 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est minorée par $0,5$. \fg \item[$\bullet~~$] Conjecture \no 3 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers 1. \fg \end{itemize} \item On admet que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est convergente vers une limite $\ell$ strictement positive. Montrer que $\ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right) = \ell$. \item Montrer que $\ell = \alpha$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une grande entreprise dispose d'un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé \og temps de fonctionnement \fg. Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures. \medskip On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Le paramètre $\lambda$ est un réel strictement positif. On rappelle que, pour tout réel $t \geqslant 0,\quad P(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à $0,6$. Montrer qu'une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-3}$ près est \np{0,131}. \medskip \textbf{Dans les questions suivantes, on prendra \boldmath \np{0,131} \unboldmath pour valeur approchée de $\lambda$ et les résultats seront donnés à \boldmath$10^{-2}$ près \unboldmath}. \item Montrer qu'une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures est égale à $0,52$. \item Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu'il n'y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures. \item Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures. \item On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu'on suppose indépendants. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5~heures. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par Y ? \item Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5~heures. \item Calculer l'espérance mathématique de Y (on arrondira à l'entier le plus proche). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité } \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points: A(0~;~0~;~2), B(0~;~4~;~0) et C(2~;~0~;~0). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier qu'une équation du plan (ABC) est : $2x + y + 2z = 4$. \item Calculer la distance du point O au plan (ABC). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation du plan $P$ passant par A et orthogonal à la droite (BC). \item Soit $\Delta$ la droite intersection du plan $P$ et du plan (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $\Delta'$ la médiane issue de B du triangle ABC. Montrer qu'une équation paramétrique de $\Delta'$ dans le triangle ABC est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t \\ y &=& 4 - 4t,\\ z &=& t \end{array}\right. \quad t \in \R.\] \item Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle. \end{enumerate} \item Soit H le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\Delta'$. Montrer que le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{8}{9}\right)$. Que représente le point H pour le triangle ABC ? \item Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité } \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère la surface $S$ d'équation : $x^2 + y^2 - z^2 = 4$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que si le point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $S$ alors le point $M'(-x~;~- y~;~- z)$ appartient aussi à $S$. Que peut-on en déduire ? \item Montrer que la surface $S$ est symétrique par rapport au plan $(x\text{O}y)$. On admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans $(x\text{O}z)$ et $(y\text{O}z)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan $(x\text{O}y)$. Préciser ses éléments caractéristiques. \item Soit $k$ un réel non nul. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan d'équation $z = k$. Préciser ses éléments caractéristiques. \end{enumerate} \item Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan d'équation $y = 2$. \item On considère les points A$\left(2\sqrt{2}~;~0~;~2\right)$ et B$\left(0~;~2\sqrt{2}~;~- 2\right)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). \item La droite (AB) est-elle contenue dans la surface $S$ ? \end{enumerate} \item Identifier parmi les trois figures proposées en \textbf{annexe 2} celle qui représente la surface $S$. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la figure et justifiera la réponse. \item Soit $H$ la section de la surface $S$ par le plan $P$ d'équation $y = 5$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $H$ si et seulement si $(x - z)(x + z) = - 21$ et $y = 5$. \item En déduire les coordonnées des points de $H$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \bigskip \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{(À rendre avec la copie)} \textbf{Exercice 2} \vspace{2cm} \psset{unit=5cm} \begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(2.1,1.501) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2,1.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.1,-0.1)(2.1,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.28}{2}{1 1 x div add ln} \psline[linewidth=1.25pt](0,0)(1.5,1.5) \uput[dr](1.5,1.5){$\mathcal{D}$} \uput[u](2,0){$x$}\uput[l](0,1.4){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.8,0.45){\blue$\mathcal{C}$} \end{pspicture*} \end{center} \newpage \begin{landscape} \begin{center} \textbf{ANNEXE 2} \bigskip \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip \textbf{Exercice 5} \bigskip \begin{tabular}{c c c} \psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,4) \psset[pst-solides3d]{viewpoint=20 5 10,Decran=30,lightsrc=20 10 5} \defFunction{cone}(u,v){u v Cos mul}{u v Sin mul}{u} \psSolid[object=surfaceparametree,base=-2 2 0 2 pi mul,inhue=0.8 0.2,hue=0.8 0.2,function=cone,linewidth=0.01,ngrid=25 40] \gridIIID[Zmin=0,Zmax=0](0,0)(0,0)[5,3,3] \end{pspicture} & \psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,4) \psset[pst-solides3d]{viewpoint=20 5 10,Decran=30,lightsrc=20 10 5} \defFunction{hyperbolo}(u,v){1 u dup mul add sqrt v Cos mul}{1 u dup mul add sqrt v Sin mul}{u} \psSolid[object=surfaceparametree,base=-2 2 0 2 pi mul,inhue=0.8 0.2,hue=0.8 0.2,function=hyperbolo,linewidth=0.01,ngrid=25 40] \gridIIID[Zmin=0,Zmax=0](0,0)(0,0)[5,3,3] \end{pspicture} & \begin{pspicture}(-2,-1)(8,7) \psset{unit=0.65cm,viewpoint=80 20 30 } \psset[pst-solides3d]{viewpoint=20 5 10,Decran=30,lightsrc=20 10 5} \defFunction{parabolo}(u,v){u v Cos mul}{u v Sin mul}{u dup mul} \psSolid[object=surfaceparametree,base=-2 2 0 2 pi mul,inhue=0.8 0.2,hue=0.8 0.2,function=parabolo,linewidth=0.01,ngrid=25 40] \gridIIID[Zmin=0,Zmax=0](0,0)(0,0)[3,3,5] \end{pspicture}\\ Figure 1&Figure 2&Figure 3\\ \end{tabular} \end{center} \end{landscape} \end{document}