\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Centres étrangers 13 juin 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Centres étrangers--Pondichéry}} \rfoot{\small{13 juin 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers\footnote{Pondichéry} 13 juin 2019~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) qui envisage quatre situations relatives à une station de ski.} \emph{Les quatre questions sont indépendantes.} \smallskip \emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. \textbf{Aucune justification n'est demandée}. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item Une étude statistique a établi qu'un client sur quatre pratique le surf. Dans une télécabine accueillant $80$ clients de la station, la probabilité arrondie au millième qu'il y ait exactement $20$ clients pratiquant le surf est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,560& \textbf{b.~~} 0,25&\textbf{c.~~}1&\textbf{d.~~} 0,103 \end{tabularx} \medskip \item L'épaisseur maximale d'une avalanche, exprimée en centimètre, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 150$~cm et d'écart-type inconnu. On sait que $P(X \geqslant 200) = 0,025$. Quelle est la probabilité $P(X \geqslant 100)$ ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} On ne peut pas répondre car il manque des éléments dans l'énoncé. &\textbf{b.~~} 0,025 &\textbf{c.~~} 0,95 &\textbf{d.~~}0,975 \end{tabularx} \medskip \item Dans un couloir neigeux, on modélise l'intervalle de temps séparant deux avalanches successives, appelé temps d'occurrence d'une avalanche, exprimé en année, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle. On a établi qu'une avalanche se déclenche en moyenne tous les $5$~ans. Ainsi $E(T) = 5$. La probabilité $P(T \geqslant 5)$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,5 &\textbf{b.~~}$1 - \text{e}^{-1}$&\textbf{c.~~} $\text{e}^{-1}$&\textbf{d.~~}$\text{e}^{- 25}$ \end{tabularx} \medskip \item L'office de tourisme souhaite effectuer un sondage pour estimer la proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la station de ski. Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de longueur 0,04 avec un niveau de confiance de $0,95$. Le nombre de clients à interroger est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 50& \textbf{b.~~}\np{2500} & \textbf{c.~~} 25 &\textbf{d.~~}625 \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par la donnée de son premier terme $u_1$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par la relation: \[u_{n+1} = (n + 1)u_n - 1.\] \smallskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier, en détaillant le calcul, que si $u_1 = 0$ alors $u_4 = - 17$. \item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'en saisissant préalablement dans $U$ une valeur de $u_1$ il calcule les termes de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_2$ à $u_{13}$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline Pour $N$ allant de 1 à 12\\ \hspace{1cm} $U \gets $\\ Fin Pour \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On a exécuté cet algorithme pour $u_1 = 0,7$ puis pour $u_1 = 0,8$. Voici les valeurs obtenues. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline \multicolumn{1}{|c|}{Pour $u_1 = 0,7$}&\multicolumn{1}{|c|}{Pour $u_1 = 0,8$}\\ \hline 0,4 &0,6 \\ 0,2 &0,8\\ $- 0,2$ &2,2 \\ $- 2$ &10\\ $- 13$ &59\\ $- 92$ &412 \\ $- 737$ &\np{3295}\\ \np{-6634} &\np{29654} \\ \np{-66341} &\np{296539}\\ \np{-729752} &\np{3261928}\\ \np{-8757025} &\np{39143135} \\ \np{-113841326} &\np{508860754}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1 = 0,7$ ? Et si $u_1 = 0,8$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, par : \[I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\] On rappelle que le nombre e est la valeur de la fonction exponentielle en 1, c'est-à-dire que e $= \text{e}^1$. \medskip \begin{enumerate} \item Prouver que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $F(x)=(- 1 - x)\text{e}^{1 - x}$ est une primitive sur l'intervalle [0~;~1] de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $f(x) = x \text{e}^{1 - x}$. \item En déduire que $I_1 = \text{e} - 2$. \item On admet que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+1} = (n+1)I_{n} - 1.\] Utiliser cette formule pour calculer $I_2$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant x^n \text{e}^{1-x} \leqslant x^n \text{e}$. \item Justifier que : $\displaystyle\int_0^1 x^n\text{e}\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Dans cette partie, on note $n$! le nombre défini, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par : 1!=1 2!$ =2 \times 1$ et si $n \geqslant 3$ : $n$! $= n \times (n-1) \times \ldots \times 1$ On a ainsi par exemple 3! $= 3\times 2\times 1 = 3\times(2 \times 1) = 3\times 2$! 4! $= 4\times 3\times 2\times 1 = 4\times (3\times 2\times 1) = 4\times 3$! 8! $= 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 8\times(7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1) = 8\times 7$! Et, plus généralement : \[(n+1)\text{!} = (n+1) \times n\text{!}\] \smallskip \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[u_n = n\text{!}\left(u_1 - \text{e} + 2\right)+ I_n.\] On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[u_{n+1} = (n+1)u_{n} - 1\quad \text{ et } I_{n+1} = (n+1)I_{n} - 1.\] \item On admet que : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n\text{!} = + \infty$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,7$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,8$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points d'affixes 1, $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$ soient alignés. Sur le graphique fourni en annexe, le point A a pour affixe 1. \bigskip \textbf{Partie A: étude d'exemples} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Un premier exemple} Dans cette question, on pose $z = \text{i}$. \begin{enumerate} \item Donner la forme algébrique des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$. \item Placer les points $N_1$ d'affixe $z^2$, et $P_1$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe. On remarque que dans ce cas les points A, $N_1$ et $P_1$ ne sont pas alignés. \end{enumerate} \item \textbf{Une équation} Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d’inconnue $z$ :\: $z^2 + z + 1 = 0$. \item \textbf{Un deuxième exemple} Dans cette question, on pose : $z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle de $z$, puis celles des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$. \item Placer les points $N_2$ d'affixe $z^2$ et $P_2$, d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe. On remarque que dans, ce cas les points A, $N_2$ et $P_2$ sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $z$ un nombre complexe non nul. On note $N$ le point d’affixe $z^2$ et $P$ le point d’affixe $\dfrac{1}{z}$. \medskip \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout nombre complexe différent de $0$, on a : \[z^2 - \dfrac{1}{z} = \left(z^2 + z + 1 \right)\left(1 - \dfrac{1}{z} \right).\] \item On rappelle que si, $\vect{U}$ est un vecteur non nul et $\vect{V}$ un vecteur d’affixes respectives $z_{\vect{U}}$ et $z_{\vect{V}}$, les vecteurs $\vect{U}$ et $\vect{V}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que $z_{\vect{V}} = k z_{\vect{U}}$. En déduire que, pour $z \ne 0$, les points A, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2 + z + 1$ est un réel. \item On pose $z = x+ \text{i}y$, où $x$ et $y$ désignent des nombres réels. Justifier que : $z^2 + z + 1 = x^2 - y^2 + x + 1 + \text{i} (2xy + y)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z \ne 0$ tels que les points A, $N$ et $P$ soient alignés. \item Tracer cet ensemble de points sur le graphique donné en annexe. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(7,7.2) \pspolygon(0.5,0.5)(5.3,0.5)(6.9,2.1)(6.9,6.9)(2.1,6.9)(0.5,5.3) %ABCGHEA \uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.3,0.5){B} \uput[r](6.9,2.1){C} \uput[ur](2.1,2.1){D} \uput[l](0.5,5.3){E} \uput[r](5.3,5.3){F} \uput[ur](6.9,6.9){G} \uput[u](2.1,6.9){H} \psline(5.3,0.5)(5.3,5.3)(6.9,6.9)%BFG \psline(5.3,5.3)(0.5,5.3) %FE \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.1,2.1)(2.1,6.9)%ADH \psline[linestyle=dashed](6.9,2.1)(2.1,2.1)%CD \psdots(2.1,0.5)(0.5,2.1)(1.567,6.38)%PQR \uput[d](2.1,0.5){P}\uput[l](0.5,2.1){Q}\uput[ul](1.567,6.6){R} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(1.3,0.5) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.5,1.1) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.7,0.7) \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{Dans l'espace, on considère un cube ABCDEFGH de centre $\Omega$ et d'arête de longueur $6$. Les points P, Q et R sont définis par : \[\vect{\text{AP}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AQ}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AE}} \: \text{et}\: \vect{\text{HR}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{HE}}.\] Dans tout ce qui suit on utilise le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},\vect{k}\right)$ avec : \[\vect{\imath} = \dfrac{1}{6}\vect{\text{AB}},\: \vect{\jmath} = \dfrac{1}{6}\vect{\text{AD}}\:\: \text{et}\:\: \vect{k} =\dfrac{1}{6}\vect{\text{AE}}.\] Dans ce repère, on a par exemple: \[\text{B}(6~;~0~;~0), \text{F}(6~;~0~;~6)\: \text{et }\:\: \text{R}(0~;~4~;~6).\]} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner, sans justifier, les coordonnées des points P{}, Q et $\Omega$. \item Déterminer les nombres réels $b$ et $c$ tels que $\vect{n}(1~;~b~;~c)$ soit un vecteur normal au plan (PQR). \item En déduire qu'une équation du plan (PQR) est : $x - y+ z - 2 = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $\Delta$ la droite perpendiculaire au plan (PQR) passant par le point $\Omega$, centre du cube. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. \item En déduire que la droite $\Delta$ coupe le plan (PQR) au point I de coordonnées $\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{10}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$. \item Calculer la distance $\Omega$I. \end{enumerate} \item On considère les points J(6~;~4~;~0) et K(6~;~6~;~2). \begin{enumerate} \item Justifier que le point J appartient au plan (PQR). \item Vérifier que les droites (JK) et (QR) sont parallèles. \item Sur la figure donnée en annexe, tracer la section du cube par le plan (PQR). On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le but de cet exercice est d'envisager plusieurs décompositions arithmétiques du nombre 40. \bigskip \textbf{Partie A} : \medskip \emph{Les questions $1.$, $2.$ et $3.$ sont indépendantes} \medskip \begin{enumerate} \item Sans justifier, donner deux nombres premiers $x$, et $y$ tels que $40 = x + y$. \item On considère l'équation $20x + 19 y = 40$, où $x$ et $y$ désignent deux, entiers relatifs. Résoudre cette équation. \item Le nombre $40$ est une somme de deux carrés puisque : $40 = 2^2 + 6^2$. On veut savoir si 40, est aussi différence de deux carrés, autrement dit s’intéresser à l'équation $x^2 - y^2 = 40$, où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels. \begin{enumerate} \item Donner la décomposition de 40 en produit de facteurs premiers. \item Montrer que, si $x$ et $y$ désignent des entiers naturels, les nombres $x- y$ et $x+ y$ ont la même parité. \item Déterminer toutes les solutions de l'équation $x^2 - y^2 = 40$ où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : \og sommes\fg{} de cubes} \emph{Les questions $1.$ et $2.$ sont indépendantes.} \medskip Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou différence de cubes d'entiers naturels. Par exemple : \[\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{l c X} 13 &=& $\phantom{- }4^3 + 7^3 + 7^3 - 9^3 - 2^3$\\ 13 &=& $- 1^3 - 1^3 - 1^3 + 2^3 + 2^3$\\ 13 &=& $\phantom{- }1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3$ \end{tabularx}\] Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier \og sommes\fg{} de cubes à la place de \og sommes ou différence de cubes d'entiers naturels \fg. Les deux premiers exemples montrent que 13 peut se décomposer en \og somme\fg{} de 5 cubes. Le troisième exemple montre que 13 peut se décomposer en \og somme\fg{} de 4 cubes. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant l'égalité $13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3$, donner une décomposition de 40 en \og somme \fg{} de 5 cubes. \item On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : \[6n = (n+1)^3 + (n - 1)^3 - n^3 - n^3\] En déduire une décomposition de $4$8 en \og somme\fg{} de 4 cubes, puis une décomposition de 40 en \og somme\fg{} de 5 cubes, différente de celle donnée en \textbf{1. a.}) \end{enumerate} \item Le nombre $40$ est une \og somme\fg{} de 4 cubes : $40 = 4^3 - 2^3 - 2^3 - 2^3$. On veut savoir si $40$ peut être décomposé en \og somme\fg{} de 3 cubes. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter sans justifier: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Reste de la division euclidienne de $n$ par 9 & 0&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline Reste de la division euclidienne de $n^3$ par 9 & & & & &1 & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On déduit du tableau précédent que, pour tout entier naturel $n$, l'entier naturel $n^3$ est congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à $-1$. Prouver que 40 ne peut pas être décomposé en \og somme\fg{} de 3 cubes. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe (à rendre avec la copie)} \vspace{2cm} \psset{unit=3cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-1.6,-1.4)(1.6,1.4) \psgrid[gridlabels=0] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-1.6,-1.4)(1.6,1.4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1) \pscircle[linewidth=1.5pt](0,0){1} \uput[d](.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1,0){A} \end{pspicture*} \vspace{1.5cm} \psset{unit=1.3cm,linewidth=1.3pt} \begin{pspicture}(7,7) \pspolygon(0.5,0.5)(5.3,0.5)(6.5,1.7)(6.5,6.5)(1.7,6.5)(0.5,5.3) %ABCGHEA \uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.3,0.5){B} \uput[r](6.5,1.7){C} \uput[ur](1.7,1.7){D} \uput[l](0.5,5.3){E} \uput[r](5.3,5.3){F} \uput[ur](6.5,6.5){G} \uput[u](1.7,6.5){H} \psline(5.3,0.5)(5.3,5.3)(6.5,6.5)%BFG \psline(5.3,5.3)(0.5,5.3) %FE \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.7,1.7)(1.7,6.5)%ADH \psline[linestyle=dashed](6.5,1.7)(1.7,1.7)%CD \psdots(2.1,0.5)(0.5,2.1)(1.3,6.1)%PQR \uput[d](2.1,0.5){P}\uput[l](0.5,2.1){Q}\uput[ul](1.3,6.1){R} \end{pspicture} \end{center} \end{document}