%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès %%% dernière mise à jour : novembre 2017 \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Centres étrangers - juin 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{15 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers 15 juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances :} \medskip \textbf{Prérequis :} On rappelle que deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$ si et seulement si : $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$. \medskip Soient $A$ et $B$ deux évènements associés à une expérience aléatoire. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. \item Démontrer que, si les évènements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les évènements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. \end{enumerate} \item \textbf{Application :} Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux évènements indépendants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $R$ : \og il n'entend pas son réveil sonner \fg{} ; \item[$\bullet~$] $S$ : \og Son scooter, mal entretenu, tombe en panne \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Il a observé que chaque jour de classe, la probabilité de $R$ est égale $0,1$ et que celle de $S$ est égale à $0,05$. Lorsque qu'au moins l'un des deux évènements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l'heure. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne. \item Calculer la probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe donné. \item Au cours d'une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu'il entende son réveil sonner un jour de classe donné n'influe pas sur le fait qu'il l'entende ou non les jours suivants. Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d'une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On se propose dans cet exercice, d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace. L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A(3~;~4~;~0) ; B(0~;~5~;~0) et C(0~;~0~;~5). On note I le milieu du segment [AB]. \begin{enumerate} \item Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère \Oijk. \item Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles. Quelle est la nature du triangle ABC ? \item Soit H le point de coordonnées $\left(\dfrac{15}{19}~;~\dfrac{45}{19}~;~\dfrac{45}{19}\right)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les points H, C, I sont alignés. \item Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). \item En déduire une équation cartésienne du plan ABC. \end{enumerate} \item Calculs d'aire et de volume. \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC. \item Déterminer la distance du point O au plan (ABC). \item Calculer l'aire du triangle ABC. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item On note (E) l'équation $3x + 2y = 29$ où $x$ et $y$ sont deux nombres entiers \mbox{relatifs.} \begin{enumerate} \item Déterminer un couple d'entiers solution de l'équation (E). \item Déterminer tous les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \item Préciser les solutions de l'équation (E) pour lesquelles on a à la fois $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$ ; \end{enumerate} \item Intersections d'un plan avec les plans de coordonnées L'espace est muni du repère orthonormal \Oijk{} et on désigne par $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x+2y= 29$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\mathcal{P}$ est parallèle à l'axe (O$z$) de vecteur directeur $\vect{k}$. \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec les axes (O$x$) et (O$y$) de vecteurs directeurs respectifs $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$. \item Faire une figure et tracer les droites d'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec les trois plans de coordonnées. \item Sur la figure précédente, placer sur la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}$ et ($x$O$y$), les points dont les coordonnées sont à la fois entières et positives. \end{enumerate} \item Étude d'une surface $\mathcal{S}$ est la surface d'équation $4z = xy$ dans le repère \Oijk. Les figures suivantes représentent les intersections de $\mathcal{S}$ avec certains plans de l'espace. \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psplot[linecolor=blue]{-4}{-1}{4 x div} \psplot[linecolor=blue]{1}{3.5}{4 x div} \end{pspicture}&\psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psplot[linecolor=blue]{-2.7}{2.7}{3 x dup mul sub} \end{pspicture}&\psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) {\psset{linecolor=blue} \psline(-4,0)(3,0) \psline(0,-4)(0,3)} \end{pspicture}&\psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psplot[linecolor=blue]{-2}{2}{2 x mul} \end{pspicture}\\ \hline figure \no 1&figure \no 2&figure \no 3&figure \no 4\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \begin{enumerate} \item $S_{1}$ désigne la section de la surface $\mathcal{S}$ par le plan ($x$O$y$). Une des figures données représente $S_{1}$ laquelle ? \item $S_{2}$ désigne la section de $\mathcal{S}$ par le plan $\mathcal{R}$ d'équation $z = 1$. Une des figures données représente $S_{2}$, laquelle ? \item $S_{3}$ désigne la section de $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $y = 8$. Une des figures données représente $S_{3}$, laquelle ? \item $S_{4}$ désigne la section de $\mathcal{S}$ par le plan $\mathcal{P}$ d'équation $3x + 2y = 29$ de la question 2. Déterminer les coordonnées des points communs à $S_{4}$ et $\mathcal{P}$ dont l'abscisse $x$ et l'ordonnée $y$ sont des entiers naturels vérifiant l'équation \mbox{$3x + 2 y = 29$.} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, on pourra donner un contre-exemple.} \bigskip \begin{enumerate} \item Pour tout complexe $z,\:\text{Re}\left(z^2\right) = \left(\text{Re}(z)\rule{0pt}{10pt}\right)^2$. \item Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Pour tout nombre complexe $z$ non nul, les points $M$ d'affixe $z,~ N$ d'affixe $\overline{z}$ et $P$ d'affixe $\dfrac{z^2}{\overline{z}}$ appartiennent à un même cercle de centre O. \item Pour tout nombre complexe $z$, si $|1 + \text{i}z| = |1- \text{i}z|$, alors la partie imaginaire de $z$ est nulle. \item Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Quels que soient les nombres complexes $z$ et $z'$ non nuls, d'images respectives $M$ et $M'$ dans le plan complexe, si $z$ et $z'$ vérifient l'égalité $|z + z'| = |z - z'|$, alors les droites (O$M$) et (O$M'$) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $n$ un entier naturel. On note $f_{n}$, la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : \[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}.\] On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère orthogonal \Oij. Les courbes $\mathcal{C}_{0},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous : \bigskip \psset{unit=5.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.6,-0.1)(1.5,1.1333) \multido{\d=-0.5000+0.0625}{33}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](\d,-0.1)(\d,1)} \multido{\d=-0.08333+0.08333}{14}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](-0.5,\d)(1.5,\d)} \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-0.1)(1.5,1.01333) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,1.01){$y$} \uput[r](0,1){1} \uput[d](-0.4,0.4){\blue $\mathcal{C}_{0}$} \uput[d](-0.4,0.6){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[d](-0.4,0.87){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[d](-0.3,1){$\mathcal{C}_{3}$} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.5}{1.5}{1 1 2.71828 x neg exp add div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.5}{1.5}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div} \psplot[plotpoints=3000,linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.5}{2.71828 x 2 mul neg exp 1 2.71828 x neg exp add div} \psplot[plotpoints=3000,linestyle=dotted,linewidth=1.25pt]{-0.25}{1.5}{2.71828 x 3 mul neg exp 1 2.71828 x neg exp add div} \end{pspicture} \begin{center} \textbf{Partie A :} \emph{Quelques propriétés des fonctions $f_{n}$ et des courbes} $\mathcal{C}_{n}$ \end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $\mathcal{C}_{n}$ ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées. \item Étude de la fonction $f_{0}$ \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $f_{0}$. \item Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f_{0}$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Étude de la fonction $f_{1}$ \begin{enumerate} \item Démontrer que $f_{0}(x) = f_{1}(-x)$ pour tout nombre réel $x$. \item En déduire les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$, ainsi que son sens de variation. \item Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$. \end{enumerate} \item Étude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant 2$ \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, \mbox{on a:} \[f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.\] \item Étudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ \item Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f_{n}$ sur $\R$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie B :} \emph{Étude d'une suite liée aux fonctions} $f_{n}$ \end{center} On pose, pour tout entier naturel $n \:\: :\quad u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$ puis montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$. En déduire $u_{0}$. \item Démontrer que, pour tout entier $n~~ : 0 \leqslant u_{n} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. \item Calculer l'intégrale : $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et préciser sa limite. \end{enumerate} \end{document}