%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{multicol}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\setlength\parindent{0mm}

\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {La Réunion - juin 2009},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}

\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{23 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion 23 juin 2009 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). \\
Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant : $z = 1- 2\text{i} + \text{e}^{\text{i} \theta}$,~$\theta$ étant un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item (E) est une droite passant par le point d'affixe $2 - 2\text{i}$.
		\item (E) est le cercle de centre d'affixe $-1 + 2\text{i}$ et de rayon 1.
		\item (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon 1.
		\item (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon $\sqrt{5}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'= -\text{i}z - 2\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est une homothétie.
		\item Le point d'affixe $-1 - 2\text{i}$ est un antécédent du point d'affixe $\text{i}$.
		\item $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $1 + \text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$
		\item $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $-1- \text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$
	\end{enumerate}
\item Soit (F) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z -1 +\text{i}| = |z + 1 + 2\text{i}|$.

Soient les points A, B et C d' affixes respectives $1- \text{i},~ -1 + 2\text{i}$ et $-1- 2\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item C est un point de (F).
		\item (F) est la médiatrice du segment [AB].
		\item (F) est la médiatrice du segment [AC].
		\item (F) est le cercle de diamètre [AB].
	\end{enumerate}
\item On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation \mbox{$z + |z|^2 = 7 + \text{i}$}. 
Cette équation admet :
	\begin{enumerate}
		\item Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. 
		\item Une solution réelle. 
		\item Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. 
		\item Une solution qui a pour partie imaginaire 2. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par

\[f(x) = x\text{e}^{-x}\quad  \text{et}\quad  g(x) = x^2\text{e}^{-x}.\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère \Oij.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère \Oij{} est donnée en annexe (à rendre avec la copie).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  D'après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction $f$ et sa limite en $+ \infty$ ?
\item  Valider ces conjectures à l'aide d'une démonstration.
\item  Tracer sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie) la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction $g$.
\item  Quelle semble être la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ ?

Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'objectif de cette partie est de calculer, en unités d'aire, la mesure de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer sur l'annexe cette partie du plan.
\item Soit I $ = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$.

Démontrer que I $ = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par

\[H(x) = - \left(x^2  + 2x\right)\text{e}^{-x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $H'$ de la fonction $H$.
		\item En déduire une primitive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la fonction $g$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut $a$ et le défaut $b$. Un sac est dit défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. 

On prélève un sac au hasard dans la production d'une journée.

On note $A$ l' évènement \og le sac présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ l'évènement \og le sac présente le défaut $b$ \fg. Les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont respectivement $P(A) = 0,02$ et $P(B) = 0,01$ ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement $C$ \og le sac prélevé présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg.
	\item  Calculer la probabilité de l'évènement $D$ \og le sac est défectueux \fg.
	\item  Calculer la probabilité de l'évènement $E$ \og le sac ne présente aucun défaut \fg.
	\item  Sachant que le sac présente le défaut $a$, quelle est la probabilité qu'il présente aussi le défaut $b$ ?
	\end{enumerate}
\item On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu'un sac soit défectueux est égale à $0,03$.

On prélève au hasard un échantillon de 100~sacs dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~sacs. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100~sacs, associe le nombre de sacs défectueux.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement \og au moins un sac est défectueux \fg{} ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat.
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.

Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soient A(1~;~2;~0), B(2~;~2;~0), C(1~;~3;~0) et D(1~;~2;~1) quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk.

(P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ;

(Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ;

(R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne $x - y + 1 = 0$.

On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne $- y + z + 2 = 0$ et que le plan (R) a pour équation cartésienne $- x + z + 1 = 0$.
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre le système :
		$\left\{\begin{array}{r !{=} l}
 x-y+1& 0\\- y + z + 2 & 0\\- x + z + 1 & 0
 \end{array}\right. $
		\item En déduire que l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2~;~ 3~;~ 1).
		\item Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD).

En déduire une équation cartésienne du plan (BCD).
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD).

\medskip

\emph{On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères \Oij,~$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{k}\right)$ et $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$.}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que tout point $M$ de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD).
		\item Existe-t-il des points de l'espace équidistants des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient F le point de coordonnées $\left(0~;~ 0~ ;~\dfrac{1}{4}\right)$ et $\mathscr P$ le plan d'équation $z = -\dfrac{1}{4}$.

On note $d(M,~\mathscr P)$ la distance d'un point $M$ au plan $\mathscr P$.

Montrer que l'ensemble $(S)$ des points $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~ z)$ qui vérifient $d(M,~\mathscr P)= M$F a pour équation $x^2 + y^2 = z$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble $(S)$ avec le plan d'équation $z = 2$ ?
		\item Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble $(S)$ avec le plan d'équation $x = 0$ ?
	
Représenter cette intersection dans le repère $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, $x$ et $y$ désignent des nombres entiers naturels. 
	\begin{enumerate}
		\item Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de $x^2$ par 7 ?
		\item Démontrer que 7 divise $x^2 + y^2$ si et seulement si 7 divise $x$ et 7 divise $y$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Existe-t-il des points qui appartiennent à l'intersection de l'ensemble $(S$) et du plan d'équation $z = 98$ et dont toutes les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui les déterminer. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE Exercice 2}

\vspace{1cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,1.4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-1)(6,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](5,0.035){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}