%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {La Réunion - juin 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{23 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion 23 juin 2009 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). \\ Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant : $z = 1- 2\text{i} + \text{e}^{\text{i} \theta}$,~$\theta$ étant un nombre réel. \begin{enumerate} \item (E) est une droite passant par le point d'affixe $2 - 2\text{i}$. \item (E) est le cercle de centre d'affixe $-1 + 2\text{i}$ et de rayon 1. \item (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon 1. \item (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon $\sqrt{5}$. \end{enumerate} \item Soit $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'= -\text{i}z - 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item $f$ est une homothétie. \item Le point d'affixe $-1 - 2\text{i}$ est un antécédent du point d'affixe $\text{i}$. \item $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $1 + \text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$ \item $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $-1- \text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$ \end{enumerate} \item Soit (F) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z -1 +\text{i}| = |z + 1 + 2\text{i}|$. Soient les points A, B et C d' affixes respectives $1- \text{i},~ -1 + 2\text{i}$ et $-1- 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item C est un point de (F). \item (F) est la médiatrice du segment [AB]. \item (F) est la médiatrice du segment [AC]. \item (F) est le cercle de diamètre [AB]. \end{enumerate} \item On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation \mbox{$z + |z|^2 = 7 + \text{i}$}. Cette équation admet : \begin{enumerate} \item Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. \item Une solution réelle. \item Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. \item Une solution qui a pour partie imaginaire 2. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{-x}\quad \text{et}\quad g(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère \Oij. \medskip \textbf{Partie A} \medskip La courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère \Oij{} est donnée en annexe (à rendre avec la copie). \medskip \begin{enumerate} \item D'après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction $f$ et sa limite en $+ \infty$ ? \item Valider ces conjectures à l'aide d'une démonstration. \item Tracer sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie) la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction $g$. \item Quelle semble être la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ ? Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip L'objectif de cette partie est de calculer, en unités d'aire, la mesure de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Hachurer sur l'annexe cette partie du plan. \item Soit I $ = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. Démontrer que I $ = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[H(x) = - \left(x^2 + 2x\right)\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $H'$ de la fonction $H$. \item En déduire une primitive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la fonction $g$. \end{enumerate} \item Déterminer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut $a$ et le défaut $b$. Un sac est dit défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. On prélève un sac au hasard dans la production d'une journée. On note $A$ l' évènement \og le sac présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ l'évènement \og le sac présente le défaut $b$ \fg. Les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont respectivement $P(A) = 0,02$ et $P(B) = 0,01$ ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $C$ \og le sac prélevé présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $D$ \og le sac est défectueux \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E$ \og le sac ne présente aucun défaut \fg. \item Sachant que le sac présente le défaut $a$, quelle est la probabilité qu'il présente aussi le défaut $b$ ? \end{enumerate} \item On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu'un sac soit défectueux est égale à $0,03$. On prélève au hasard un échantillon de 100~sacs dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~sacs. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100~sacs, associe le nombre de sacs défectueux. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Quelle est la probabilité de l'évènement \og au moins un sac est défectueux \fg{} ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soient A(1~;~2;~0), B(2~;~2;~0), C(1~;~3;~0) et D(1~;~2;~1) quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk. (P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ; (Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ; (R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne $x - y + 1 = 0$. On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne $- y + z + 2 = 0$ et que le plan (R) a pour équation cartésienne $- x + z + 1 = 0$. \item \begin{enumerate} \item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{r !{=} l} x-y+1& 0\\- y + z + 2 & 0\\- x + z + 1 & 0 \end{array}\right. $ \item En déduire que l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2~;~ 3~;~ 1). \item Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD). En déduire une équation cartésienne du plan (BCD). \end{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD). \medskip \emph{On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères \Oij,~$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{k}\right)$ et $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$.} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \begin{enumerate} \item Montrer que tout point $M$ de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD). \item Existe-t-il des points de l'espace équidistants des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD) ? \end{enumerate} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \medskip \begin{enumerate} \item Soient F le point de coordonnées $\left(0~;~ 0~ ;~\dfrac{1}{4}\right)$ et $\mathscr P$ le plan d'équation $z = -\dfrac{1}{4}$. On note $d(M,~\mathscr P)$ la distance d'un point $M$ au plan $\mathscr P$. Montrer que l'ensemble $(S)$ des points $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~ z)$ qui vérifient $d(M,~\mathscr P)= M$F a pour équation $x^2 + y^2 = z$. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble $(S)$ avec le plan d'équation $z = 2$ ? \item Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble $(S)$ avec le plan d'équation $x = 0$ ? Représenter cette intersection dans le repère $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $x$ et $y$ désignent des nombres entiers naturels. \begin{enumerate} \item Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de $x^2$ par 7 ? \item Démontrer que 7 divise $x^2 + y^2$ si et seulement si 7 divise $x$ et 7 divise $y$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Existe-t-il des points qui appartiennent à l'intersection de l'ensemble $(S$) et du plan d'équation $z = 98$ et dont toutes les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui les déterminer. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE Exercice 2} \vspace{1cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{xunit=1.5cm,yunit=5cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(6,1.4) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-1)(6,1.4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[u](5,0.035){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div} \end{pspicture} \end{center} \end{document}