%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
%Sujet aimablement fourni par des adhérents de l'APMEP au Liban
%%%%Composé par : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{27 mai 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban  27 mai 2015~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
ABCDEFGH est un cube.\index{géométrie dans l'espace}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,6.5)
\psframe(0.5,0.5)(4.5,4.5)%BCGF
\psline(4.5,0.5)(6.4,1.9)(6.4,5.9)(4.5,4.5)%CDHG
\psline(6.4,5.9)(2.4,5.9)(0.5,4.5)%HEF
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](0.5,0.5)(2.4,1.9)(2.4,5.9)%BAE
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](2.4,1.9)(6.4,1.9)%AD
\uput[ur](2.4,1.9){A} \uput[dl](0.5,0.5){B} \uput[dr](4.5,0.5){C} 
\uput[r](6.4,1.9){D} \uput[u](2.4,5.9){E} \uput[l](0.5,4.5){F} 
\uput[dr](4.5,4.5){G} \uput[ur](6.4,5.9){H} \uput[ul](1.45,1.2){I} 
\uput[u](4.4,5.9){J} \uput[d](2.5,0.5){K} \uput[r](4.5,2.5){L} 
\psdots(2.4,1.9)(0.5,0.5)(4.5,0.5)(6.4,1.9)(2.4,5.9)(0.5,4.5)(4.5,4.5)(6.4,5.9)
(1.45,1.2)(4.4,5.9)(2.5,0.5)(4.5,2.5)
\end{pspicture}
\end{center}

I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ 
 \vect{\text{AE}}\right)$.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).\index{équation de plan}
	\end{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).\index{équation paramétrique de droite}
\item Soit $M$ le point d'intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées
du point $M$.
\item Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire.
\item Calculer le volume du tétraèdre FIJK.
\item Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la façon suivante : \index{suite}

pour tout entier naturel $n$,\quad  $u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x} \:\text{d}x$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n + 1}$.
		\item En déduire la valeur exacte de $u_1$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme
de rang $n$ de la suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur.\index{algorithme}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{2.2cm}X|}\hline
Variables :& $i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
&$u$ est un réel\\
Entrée :& Saisir $n$\\
Initialisation :& Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
Traitement :& Pour $i$ variant de 1 à \ldots\\
&\hspace{0.4cm}$|$Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
&Fin de Pour\\
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item À l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
$n$	 & 0 		&1 			&2 			&3 			&4 			&5 			&10 		&50 	 &100\\ \hline
$u_n$&\np{0,6931}&\np{0,3069}&\np{0,1931}&\np{0,1402}&\np{0,1098}&\np{0,0902}&\np{0,0475}&\np{0,0099} &\np{0,0050}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ peut-on émettre ?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item  On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Démontrer que $\ell = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\medskip

On considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = \text{e}^x$, tracée ci-dessous.\index{fonction exponentielle}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-2)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-2)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1.6}{2.71828 x exp}
\uput[r](1.3,4.1){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathcal{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit $m = \text{e}$.

Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{\text{e}}$, d'équation $y = \text{e}x$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1.
\item Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$, le nombre de
points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}_m$.
\item Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

En prévision d'une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les
intentions de vote de futurs électeurs.

Parmi les \np{1200}~personnes qui ont répondu au sondage, 47\,\% affirment vouloir voter pour le
candidat A et les autres pour le candidat B.

\medskip

Compte-tenu du profil des candidats, l'institut de sondage estime que 10\,\% des personnes
déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour
le candidat B, tandis que 20\,\% des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne
disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.

\medskip

On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement \og La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement \og La personne interrogée dit la vérité \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.\index{arbre de probabilités}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.
		\item Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu'elle
affirme vouloir voter pour le candidat A.
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat
A est $0,529$.
\item  L'institut de sondage publie alors les résultats suivants :  
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|X|}\hline
52,9\,\% des électeurs* voteraient pour le candidat A.\\
*{\footnotesize estimation après redressement, fondée sur un sondage d'un
échantillon représentatif de \np{1200} personnes.}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Au seuil de confiance de 95\,\%, le candidat A peut- il croire en sa victoire ?
\item  Pour effectuer ce sondage, l'institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10
communications par demi-heure. La probabilité qu'une personne contactée accepte
de répondre à cette enquête est $0,4$.

L'institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de \np{1200}~réponses.

Quel temps moyen, exprimé en heures, l'institut doit-il prévoir pour parvenir à cet
objectif ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
\item[$\bullet~~$] s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle $p_n$ la probabilité de ne pas fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer et $q_n$, la probabilité de fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer.

On suppose que $p_0 = 0$ et $q_0 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $p_1$ et $q_1$.
\item On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites $\left(p_n\right)$
et $\left(q_n\right)$. Une copie d'écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}&A &B &C &D\\ \hline
1 &$n$ 	&$p_n$ &$q_n$	&\\ \hline
2 &0 	&0 		&1		&\\ \hline
3 &1	&		&		&\\ \hline
4 &2	&		&		&\\ \hline
5 &3	&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Dans la colonne A figurent les valeurs de l'entier naturel $n$.

Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu'en les recopiant
vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs
des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$ ?
\item On définit les matrices $M$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $X_n$ par\index{matrices}

\[M = \begin{pmatrix}0,9& 0,4\\0,1& 0,6\end{pmatrix}\quad  \text{et}\quad  X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n \end{pmatrix}.\]

On admet que $X_{n+1} = M \times X_n$ et que, pour tout entier naturel $n$,\: 

$Xn = M^n \times X_0$.\index{matrices}

On définit les matrices $A$ et $B$ par $A = \begin{pmatrix}0,8&0,8\\0,2&0,2\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,2& -0,8\\-0,2&0,8\end{pmatrix}$.\index{matrices}


	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $M = A + 0,5B$.
		\item Vérifier que $A^2 = A$, et que $A \times B = B \times A = \begin{pmatrix}0& 0\\0& 0\end{pmatrix}$.
		
On admet dans la suite que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $A^n = A$
et $B^n = B$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $M^n = A + 0,5^n B$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $p_n = 0,8 - 0,8 \times 0,5^n$.
		\item À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}