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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{31 mai 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 31 mai 2019~\decofourright}}
    
\bigskip
    
\textbf{Durée : 4 heures} \end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J).

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~1] par 

\[f(x) = x(1 - \ln x)^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une expression de la fonction dérivée de $f$ et vérifier que pour tout $x \in ]0~;~1]$, $f'(x) = (\ln x + 1)(\ln x - 1)$. 
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur l'intervalle ]0~;~1] (on admettra que la limite de la fonction $f$ en 0 est nulle). 
\end{enumerate}
	\end{enumerate}

On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur l'intervalle ]0~;~1]  par $g(x) = \ln x$. 

Soit $a$ un réel de l'intervalle ]0~;~1]. On note $M_a$ le point de la courbe $\Gamma$ d'abscisse $a$ et $d_a$ la tangente à la courbe $\Gamma$ au point $M_a$. Cette droite $d_a$ coupe l'axe des abscisses au point $N_a$ et l'axe des ordonnées au point $P_a$ . 

On s'intéresse à l'aire du triangle O$N_aP_a$ quand le réel $a$ varie dans l'intervalle ]0~;~1]. 

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans cette question, on étudie le cas particulier où $a = 0,2$ et on donne la figure ci-dessous. 

\begin{center}
\scalebox{0.8}{
\psset{xunit=10cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-3)(1.1,1.5)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](-1,-6)(11,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(-0.1,-3)(1.1,1.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.5pt]{-0.1}{0.8}{ x 5 mul 2.609 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.05}{1}{ x ln}
\psdots(0.2,-1.6)(0.5218,0)(1,0)(0,-2.609)(0,1)
\uput[dr](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](0.6,-0.5){\blue $\Gamma$}\uput[dr](0.7,0.9){$d_{0,2}$}
\uput[dr](0.2,-1.6){$M_{0,2}$}\uput[ul](0.5218,0){$N_{0,2}$}
\uput[ul](0,-2.609){$P_{0,2}$}
\end{pspicture*}
}%%% fin du scalebox
\end{center}    

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ en unités d'aire. 
		\item Déterminer une équation de la tangente $d_{0,2}$. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ . 

Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel $a$ de l'intervalle ]0~;~1], l'aire du triangle O$N_aP_a$ en unités d'aire est donnée par $\mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2}a (1 - \ln a)^2$.
	\end{enumerate}
\item  À l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de $a$ l'aire 
$\mathcal{A}(a)$ est maximale. Déterminer cette aire maximale. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d’unité 2 cm. On appelle $f$ la fonction qui, à tout point $M$, distinct du point O et d'affixe un nombre complexe $z$, associe le point $M'$  
d'affixe $z'$ tel que 

\[z' = - \dfrac{1}{z}.\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point A$'$  image du point A par la fonction $f$. 
		\item Déterminer la forme exponentielle de l'affixe du point B$'$ image du point B par la fonction~$f$. 
		\item Sur la copie, placer les points A, B, A$'$ et B$’$ dans le repère orthonormé direct \Ouv. Pour les points B et B$’$, on laissera les traits de construction apparents. 
	\end{enumerate}
\item Soit $r$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel. On considère le complexe $z$ défini par $z = r\text{e}^{\text{i}\theta}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $z' = \dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi - \theta)}$. 
		\item Est-il vrai que si un point $M$, distinct de O, appartient au disque de centre O et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre O et de rayon 1, alors son image $M’$ par la fonction $f$ est à l'extérieur de ce disque ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\item Soit le cercle $\Gamma$ de centre K d'affixe $z_{\text{K}} = -\dfrac{1}{2}$  et de rayon $\dfrac{1}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2 + x + y^2 = 0$. 
		\item Soit $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z’$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Soit $M$ un point, distinct de O, du cercle $\Gamma$. Montrer que l'image $M’$ du point $M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Dans un plan P, on considère un triangle ABC rectangle en A. 

Soit $d$ la droite orthogonale au plan P et passant par le point B. On considère un point D de cette droite distinct du point B. 

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0.5)(9,6)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!50](3.5,1)(7.5,2)(5,3.5)(1,2.5)
\uput{15pt}[-10](1,2.5){P}
\psline(2.5,6)(2.5,2.7)\psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,1.45)\psline(2.5,0.5)(2.5,1.45)% droite d
\uput[l](2.5,2.6){B}\uput[l](2.5,4.2){D}\uput[d](5,2){A}
\uput[r](6,2.4){C}\uput[r](2.5,5.8){$d$}
\psline(2.5,2.6)(5,2)(6.,2.4)(2.5,4.2)%BACD
\psline(2.5,4.2)(5,2)% DA
\psline[linestyle=dashed](2.5,2.6)(6.,2.4)% BC
\end{pspicture} 
 

\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BAD). 
\end{enumerate}

On appelle \emph{bicoin} un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles. 

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que le tétraèdre ABCD est un bicoin. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'arête [CD] est la plus longue arête du bicoin ABCD. 
		\item On note I le milieu de l'arête [CD]. Montrer que le point I est équidistant des 4 sommets du bicoin ABCD. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le point A$(3~;~1~;~ -5)$ et la droite $d$ de 

 représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 2t + 1\\
y &= &- 2 t + 9\\ 
 z&=&t - 3
 \end{array}\right.$ où $t \in \R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ orthogonal à la droite $d$ et passant par le point A. 
\item Montrer que le point d'intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est le point B$(5~;~5~;~-1)$, 
\item Justifier que le point C$(7~;~3~;~-9)$ appartient au plan $P$ puis montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A. 
\item Soit $t$ un réel différent de $2$ et $M$ le point de paramètre $t$ appartenant à la droite $d$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le triangle AB$M$ est rectangle. 
		\item Montrer que le triangle AB$M$ est isocèle en B si et seulement si le réel $t$ vérifie l'équation $t^2 - 4t = 0$. 
		\item En déduire les coordonnées des points $M_1$ et $M_2$ de la droite $d$ tels que les triangles rectangles AB$M_1$ et AB$M_2$ soient isocèles en B. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

On donne le point D(9~;~1~;~1) qui est un des deux points solutions de la question \textbf{4. c.} de la partie B. Les quatre sommets du tétraèdre ABCD sont situés sur une sphère. 

En utilisant les résultats des questions des parties A et B précédentes, déterminer les coordonnées du centre de cette sphère et calculer son rayon. 

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

 Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes. 

\medskip

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide. 

On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant. 

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants : 

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9${}; 
\item si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95${} ; 
\item si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'évènement \og le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine \fg. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l'aide d'un arbre pondéré qui fera intervenir les évènements $R_1$ et $R_2$. 
		\item Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine. 
		\item Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$. 
		\item Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? 
		
On arrondira le résultat à $10^{-3}$. 
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la $n$-ième semaine. On a alors $r_n = p\left(R_n\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré (aucune justification n'est attendue) : 
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R_n$~~}\naput{$r_n$}}
	{\TR{$R_{n+1}$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{R_n}$~~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$R_{n+1}$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1} = 0,75  r_n + 0,2$. 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_n = 0,1 \times  0,75^{n-1} + 0,8$. 
		\item Calculer la limite de la suite $\left(r_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

Dans un jardin public, un artiste doit installer une œuvre aquatique commandée par la mairie. Cette œuvre sera constituée de deux bassins A et B ainsi que d'une réserve filtrante R. 

Au départ, les deux bassins contiennent chacun 100 litres d'eau. 

Un système de canalisations devra alors permettre de réaliser, toutes les heures et dans cet ordre, les transferts d'eau suivants: 

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item dans un premier temps, la moitié du bassin A se vide dans la réserve R ; 
\item ensuite, les trois quarts du bassin B se vident dans le bassin A ; 
\item enfin, on rajoute $200$ litres d'eau dans le bassin A et $300$~litres d'eau dans le bassin B. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Une étude de faisabilité du projet amène à étudier la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour éviter tout débordement. 

\medskip

On modélise les quantités d'eau des deux bassins A et B à l'aide de deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ : plus précisément pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ et $b_n$ les quantités d'eau en centaines de litres qui seront respectivement contenues dans les bassins A et B au bout de $n$ heures. On suppose pour cette étude mathématique que les bassins sont a priori suffisamment grands pour qu'il n'y ait pas de débordement. 

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n \end{pmatrix}$. Ainsi $U_0 = \begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que, pour tout entier naturel $n$,\, $U_{n+1} = MU_n + C$ où $M = \begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$. 
\item On considère la matrice $P = \begin{pmatrix}1 &3\\0&- 1\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P^2$. En déduire que la matrice $P$ est inversible et préciser sa matrice inverse. 
		\item Montrer que $PMP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera. 
		\item Calculer $PDP$. 
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\, $M^n = PD^nP$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

On admet par la suite que pour tout entier naturel $n$,\, $M^n = \begin{pmatrix}0,5^n& 3 \times 0,5^n - 3 \times 0,25^n\\0&0,25^n\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}[resume] 
\item  Montrer que la matrice $X = \begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}$ vérifie $X = MX + C$. 
\item  Pour tout entier naturel $n$, on définit la matrice $V_n$ par $V_n = U_n - X$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que tout entier naturel $n$,\, $V_{n+1} = MV_n$. 
		\item On admet que, pour tout entier naturel non nul $n$,\, $V_n = M^n V_0$. 

Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$,\, $U_n = \begin{pmatrix}-18 \times  0,5^n  + 9 \times 0,25^n + 10\\- 3 \times  0,25^n + 4\end{pmatrix}$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est croissante et majorée. Déterminer sa limite. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. 
		\item On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. En déduire la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour la faisabilité du projet, c'est-à-dire pour éviter tout débordement. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}