%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Liban - juin 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{11 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 11 juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des trois questions, une seule des quatre propositions est exacte.\\ Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification.\\ Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.} \bigskip \begin{enumerate} \item On désigne par $A$ et $B$ deux évènements indépendants d'un univers muni d'une loi de probabilité $p$. On sait que $p(A \cup B) = \dfrac{4}{5}$ et $p\left(\overline{A}\right) = \dfrac{3}{5}$. La probabilité de l'évènement $B$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad \dfrac{2}{5}$& \textbf{b.} $\quad \dfrac{2}{3}$&\textbf{c.} $\quad \dfrac{3}{5}$&\textbf{d.} $\quad \dfrac{1}{2}$ \end{tabularx} \medskip \item On note $X$ une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,04$. On rappelle que pour tout réel $t$ positif, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$, notée $p(X \leqslant t)$, est donnée par $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. La valeur approchée de $p(X > 5)$ à $10^{-2}$ près par excès est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad 0,91$&\textbf{b.} $\quad 0,18$&\textbf{c.} $\quad 0,19$&\textbf{d.} $\quad 0,82$ \end{tabularx} \medskip \item Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. S'il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{10}$ ; s'il ne pleut pas, je sors mon chien avec une probabilité égale à $\dfrac{9}{10}$. Je sors mon chien ; la probabilité qu'il ne pleuve pas est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad \dfrac{9}{10}$&\textbf{b.} $\quad \dfrac{27}{40}$&\textbf{c.} $\quad \dfrac{3}{4}$&\textbf{d.} $\quad \dfrac{27}{28}$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(1 +\text{e}^{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x.\] La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \item Montrer que la droite (D) d'équation $y = \dfrac{1}{3}x$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. Tracer (D). \item Étudier la position relative de (D) et de $(\mathcal{C})$. \item Montrer que pour tout réel $x,~ f(x) = \ln \left(\text{e}^x + 1\right) -\dfrac{2}{3}x$. \item En déduire la limite de $f$ en $-\infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que pour tout $x$ réel, $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x - 2}{3\left(\text{e}^x + 1\right)}$. \item En déduire les variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle $d_{n}$, l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (D) d'équation $y =\dfrac{1}{3}x$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = n$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $d_{n} = \displaystyle\int_{0}^n \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$. \item On admet que pour tout réel $x,~ \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right) \leqslant \text{e}^{-x}$. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $d_{n} \leqslant 1$. La suite $\left(d_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ est-elle convergente ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe $(\mathcal{C})$. On note (T) la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$. \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soient $M$ et $N$ deux points de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite $(MN)$ est parallèle à la droite (T). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On désigne par I le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F. Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(9.5,7) \psframe(1,0)(5.2,4.2)%ABFE \psline(5.2,0)(6.8,1.3)(6.8,5.5)(2.6,5.5)(1,4.2)%BCGHE \psline(6.8,5.5)(5.2,4.2)%GF \psline[linestyle=dashed](1,0)(2.7,1.3)(2.6,5.5)%ADH \psline[linestyle=dashed](2.7,1.3)(6.8,1.3)%DC \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.1,4.2)(9.4,4.2) \uput[dl](1,0){A} \uput[dr](5.2,0){B} \uput[dr](6.8,1.3){C} \uput[ul](2.7,1.3){D} \uput[ul](1,4.2){E} \uput[dr](5.2,4.2){F} \uput[ur](6.8,5.5){G} \uput[ul](2.6,5.5){H} \uput[u](3.1,4.2){I} \uput[u](9.4,4.2){J} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points I et J. \item Vérifier que le vecteur $\vect{\text{DJ}}$ est un vecteur normal au plan (BGI). \item En déduire une équation cartésienne du plan (BGI). \item Calculer la distance du point F au plan (BGI). \end{enumerate} \item On note ($\Delta$) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI). \begin{enumerate} \item Donner une représentation paramétrique de la droite ($\Delta$). \item Montrer que la droite ($\Delta$) passe par le centre K de la face ADHE. \item Montrer que la droite ($\Delta$) et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{1}{6}~;~\dfrac{5}{6} \right)$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} Le point L est-il l'orthocentre du triangle BGI ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). On considère les points A, B et C d' affixes respectives : \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} = - 3.\] \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. \item Placer les points A, B et C. \item Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe \[z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2.\] On note O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$ les points respectivement associés par $f$ aux points \mbox{O, A, B et C.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$. \item Placer les points A$'$, B$'$ et C$'$ . \item Démontrer l'alignement des points O, A et B$'$ ainsi que celui des points O, B et A$'$. \end{enumerate} \item Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G$'$ le point associé à G par $f$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points G et G$'$. \item Le point G$'$ est-il l'isobarycentre des points O$'$ A$'$, B$'$ et C$'$ ? \end{enumerate} \item Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1\rule{0pt}{10pt}}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole) \end{enumerate} \newpage \vspace*{-1cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel $n$ dont l'écriture décimale du cube se termine par \np{2009}, c'est-à-dire tel que $n^3 \equiv \np{2009} \mod \np{10000}$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le reste de la division euclidienne de $\np{2009}^2$ par $16$. \item En déduire que $\np{2009}^{\np{8001}} \equiv \np{2009} \;\mod 16$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : $u_{0} = \np{2009}^2 - 1$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = \left(u_{n} + 1\right)^5 -1$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $u_{0}$ est divisible par 5. \item Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel~$n,$ \[u_{n+1} = u_{n}\left[{u_{n}}^4 + 5\left({u_{n}}^3 + 2{u_{n}}^2 +2u_{n} + 1\right)\right].\] \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~u_{n}$ est divisible par $5^{n+1}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que $u_{3} = \np{2009}^{250} -1$ puis en déduire que $\np{2009}^{250} \equiv 1 \mod 625$. \item Démontrer alors que $\np{2009}^{\np{8001}} \equiv \np{2009} \mod 625$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que $\np{2009}^{\np{8001}} - \np{2009}$ est divisible par \np{10000}. \item Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par \np{2009}. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{ANNEXE}} \vspace{0,5cm} \textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 2} \end{flushleft} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1.125cm,yunit=2.25cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-5.333,-0.666)(5.333,3.333) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=3,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.5pt](0,0)(-5.333,-0.666)(5.333,3.333) \multido{\r=-0.8333+0.16667}{26}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.15pt](-5.333,\r)(5.333,\r)} \multido{\r=0+1}{4}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.5pt](-5.333,\r)(5.333,\r)} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5.333,-0.833)(5.333,3.333) \uput[u](5.2,0){$x$} \uput[l](0,3.2){$y$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5.333}{5.333}{1 2.71828 x neg exp add ln 1 3 div x mul add} \uput[u](4,1.4){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \end{document}