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%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
%%% dernière mise à jour : novembre 2017
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
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\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{11 juin 2009}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} 
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 11 juin 2009 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}
 
 \textbf{Commun à tous les candidats}
 
\medskip

\emph{Pour chacune des trois questions, une seule des quatre propositions est exacte.\\ 
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification.\\
Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $A$ et $B$ deux évènements indépendants d'un univers muni d'une loi de probabilité $p$.
 
On sait que $p(A \cup B) = \dfrac{4}{5}$ et $p\left(\overline{A}\right) =  \dfrac{3}{5}$. 

La probabilité de l'évènement $B$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.} $\quad \dfrac{2}{5}$& \textbf{b.} $\quad \dfrac{2}{3}$&\textbf{c.} $\quad \dfrac{3}{5}$&\textbf{d.} $\quad \dfrac{1}{2}$
\end{tabularx}

\medskip

\item On note $X$ une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,04$. 

On rappelle que pour tout réel $t$ positif, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$, notée $p(X \leqslant t)$, est donnée par $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. 

La valeur approchée de $p(X > 5)$ à $10^{-2}$ près par excès est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.} $\quad 0,91$&\textbf{b.} $\quad 0,18$&\textbf{c.} $\quad  0,19$&\textbf{d.} $\quad 0,82$
\end{tabularx} 

\medskip

\item Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. 

S'il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{10}$ ; s'il ne pleut pas, je sors mon chien  avec une probabilité égale à $\dfrac{9}{10}$.
 
Je sors mon chien ; la probabilité qu'il ne pleuve pas est égale à : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.} $\quad \dfrac{9}{10}$&\textbf{b.} $\quad \dfrac{27}{40}$&\textbf{c.} $\quad \dfrac{3}{4}$&\textbf{d.} $\quad \dfrac{27}{28}$
\end{tabularx} 

\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \ln \left(1 +\text{e}^{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x.\] 
  
La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée en  annexe.
 
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. 
		\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = \dfrac{1}{3}x$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. Tracer (D).
		\item Étudier la position relative de (D) et de $(\mathcal{C})$. 
		\item Montrer que pour tout réel $x,~ f(x) = \ln \left(\text{e}^x + 1\right) -\dfrac{2}{3}x$. 
		\item En déduire la limite de $f$ en $-\infty$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		
Montrer que pour tout $x$ réel, $f'(x) =  \dfrac{\text{e}^x - 2}{3\left(\text{e}^x + 1\right)}$. 
		\item En déduire les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B }

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle $d_{n}$, l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (D) d'équation $y =\dfrac{1}{3}x$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = n$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $d_{n} = \displaystyle\int_{0}^n \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$. 
\item On admet que pour tout réel $x,~ \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right) \leqslant  \text{e}^{-x}$.
 
Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $d_{n} \leqslant  1$. 
La suite $\left(d_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ est-elle convergente ? 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C} 

\medskip

Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe $(\mathcal{C})$.

On note (T) la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$.
  
\begin{enumerate}
\item  Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Soient $M$ et $N$ deux points de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite $(MN)$ est parallèle à la droite (T). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
 \textbf{Commun à tous les candidats}
 
\medskip
 
On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On désigne par I le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F.
 
Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9.5,7)
\psframe(1,0)(5.2,4.2)%ABFE
\psline(5.2,0)(6.8,1.3)(6.8,5.5)(2.6,5.5)(1,4.2)%BCGHE
\psline(6.8,5.5)(5.2,4.2)%GF
\psline[linestyle=dashed](1,0)(2.7,1.3)(2.6,5.5)%ADH
\psline[linestyle=dashed](2.7,1.3)(6.8,1.3)%DC
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.1,4.2)(9.4,4.2)
\uput[dl](1,0){A} \uput[dr](5.2,0){B} \uput[dr](6.8,1.3){C} 
\uput[ul](2.7,1.3){D} \uput[ul](1,4.2){E} \uput[dr](5.2,4.2){F} 
\uput[ur](6.8,5.5){G} \uput[ul](2.6,5.5){H} \uput[u](3.1,4.2){I} 
\uput[u](9.4,4.2){J} 
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées des points I et J. 
		\item Vérifier que le vecteur $\vect{\text{DJ}}$ est un vecteur normal au plan (BGI). 
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (BGI). 
		\item Calculer la distance du point F au plan (BGI).
	\end{enumerate} 
\item On note ($\Delta$) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI). 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite ($\Delta$). 
		\item Montrer que la droite ($\Delta$) passe par le centre K de la face ADHE. 
		\item Montrer que la droite ($\Delta$) et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{1}{6}~;~\dfrac{5}{6} \right)$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	 
Le point L est-il l'orthocentre du triangle BGI ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
 \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).

On considère les points A, B et C d' affixes respectives :

\[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}}  = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} =   - 3.\] 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. 
\item Placer les points A, B et C. 
\item Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe 

\[z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2.\]
 
On note O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$ les points respectivement associés par $f$ aux points \mbox{O, A, B et C.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$. 
		\item Placer les points A$'$, B$'$ et C$'$ . 
		\item Démontrer l'alignement des points O, A et B$'$ ainsi que celui des points O, B et A$'$.
	\end{enumerate}  
\item Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G$'$ le point associé à G par $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les affixes des points G et G$'$. 
		\item Le point G$'$ est-il l'isobarycentre des points O$'$ A$'$, B$'$ et C$'$ ? 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1\rule{0pt}{10pt}}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole)
\end{enumerate} 

\newpage
\vspace*{-1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
 
\medskip
 
Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel $n$ dont l'écriture décimale du cube se termine par \np{2009}, c'est-à-dire tel que $n^3 \equiv  \np{2009} \mod \np{10000}$.
 
\medskip
  
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le reste de la division euclidienne de $\np{2009}^2$ par $16$. 
\item En déduire que $\np{2009}^{\np{8001}} \equiv  \np{2009} \;\mod 16$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :

$u_{0} = \np{2009}^2 - 1$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = \left(u_{n} + 1\right)^5 -1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $u_{0}$ est divisible par 5. 
	\item Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel $n,$
	
\[u_{n+1} = u_{n}\left[{u_{n}}^4 + 5\left({u_{n}}^3 + 2{u_{n}}^2 +2u_{n} + 1\right)\right].\] 
	
	\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~u_{n}$ est divisible par $5^{n+1}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
	\item Vérifier que $u_{3} = \np{2009}^{250} -1$ puis en déduire que $\np{2009}^{250} \equiv  1 \mod 625$.
	\item Démontrer alors que $\np{2009}^{\np{8001}} \equiv  \np{2009} \mod 625$.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que $\np{2009}^{\np{8001}} - \np{2009}$ est divisible par \np{10000}. 
\item  Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par \np{2009}. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

{\large \textbf{ANNEXE}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft} \textbf{Exercice 2} \end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=1.125cm,yunit=2.25cm}
\begin{pspicture*}(-5.333,-0.666)(5.333,3.333)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=3,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-5.333,-0.666)(5.333,3.333)
\multido{\r=-0.8333+0.16667}{26}{\psline[linecolor=orange](-5.333,\r)(5.333,\r)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5.333,-0.833)(5.333,3.333)
\uput[u](5.2,0){$x$} \uput[l](0,3.2){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-5.333}{5.333}{1 2.71828 x neg  exp add ln 1 3 div x mul add}
\uput[u](4,1.4){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}