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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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%\renewcommand{\thesubsection}{{\textsc{Exercice} \arabic{subsection}}} 
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Métropole - 13 septembre 2018},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{13 septembre 2018}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} 
{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Métropole--La Réunion  13 septembre  2018~\decofourright
}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\bigskip

Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1\up{er} janvier 2000 et le 1\up{er}~janvier 2010 afin d'évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe.

\smallskip

Au 1\up{er} janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d'une connexion internet fixe et, au 1\up{er} janvier 2010, 64\,\% des ménages l'étaient.

\smallskip

Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par:

\[g(t) = \dfrac{1}{1 + k\text{e}^{- at}},\]

où $k$ et $a$ sont deux constantes réelles positives et la variable $t$ désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1\up{er} janvier 2000.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs exactes de $k$ et de $a$ pour que $g(0) = \dfrac{1}{8}$ et $g(10) = \dfrac{64}{100}$.
\item Dans la suite, on prendra $k = 7$ et $a = 0,25$. La fonction $g$ est donc définie par:

\[g(t) = \dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \left(\frac{t}{4}\right)}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu'un jour, au moins 99\,\% des ménages de cette ville seront équipés d'une connexion internet fixe ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d'une connexion internet fixe au 1\up{er} janvier 2018.
		\item Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction $g$ de l'évolution de la proportion de ménages possédant une connexion internet fixe doit être remise en cause.
		
Au début de l'année 2018 un sondage a été effectué. Sur \np{1000} foyers, $880$ étaient équipés d'une connexion fixe. 

Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques ?

(On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\bigskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra pour unité graphique le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $\left(z^2 - 2z + 4\right)\left(z^2 + 4\right) = 0$.
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
		\item Faire une figure et placer les points A et B.
		\item Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On note F le point d'affixe $z_{\text{F}} = z_{\text{A}} + z_{\text{B}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.
		\item En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OF}}\right)$ puis de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{OF}}\right)$.
		\item Calculer le module de $z_{\text{F}}$ et en déduire l'écriture de $z_{\text{F}}$ sous forme trigonométrique.
		\item En déduire la valeur exacte de :
		
\[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right).\]

	\end{enumerate}
\item Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l'une:

\[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\]

et pour l'autre :

\[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.\]

Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\bigskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées et une seule d'entre elles est exacte.\\
\textbf{Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.}\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Il est attribué $1,5$ point par réponse correcte.\\
Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse incorrecte.}

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère la droite $(D)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2+ \phantom{3}t\\
y &=& 1 - 3t\\
z &=& \phantom{2 +} 2t 
\end{array}\right. (t \in \R)$, et le plan $(P)$ d'équation cartésienne $x + y + z - 3 = 0$.

\medskip

On peut affirmer que :

\medskip

\textbf{Réponse A :} la droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont strictement parallèles.

\textbf{Réponse B :} la droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.

\textbf{Réponse C :} la droite $(D)$ et le plan $(P)$ se coupent au point de coordonnées $(4~;~-5~;~4)$.

\textbf{Réponse D :} la droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont orthogonaux.

\bigskip
\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Dans le rayon informatique d'une grande surface, un seul vendeur est présent et les clients sont nombreux.

On admet que la variable aléatoire $T$, qui, à chaque client, associe le temps d'attente en minutes pour que le vendeur soit disponible, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Le temps d'attente moyen est de $20$ minutes.

Sachant qu'un client a déjà attendu $20$ minutes, la probabilité que son attente totale dépasse une demi-heure est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{Réponse A:~~} $\text{e}^{-\frac{1}{2}}$& \textbf{Réponse B :~~} $\text{e}^{-\frac{3}{2}}$\\
\textbf{Réponse C:~~} $1- \text{e}^{-\frac{1}{2}}$ &\textbf{Réponse D :~~} $1 - \text{e}^{-10\lambda}$
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Une usine fabrique des balles de tennis en grande quantité. Pour être conforme au règlement des compétitions internationales, le diamètre d'une balle doit être compris entre $63,5$~mm et $66,7$~mm.

On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque balle produite, associe son diamètre mesuré en millimètres.

On admet que $D$ suit une loi normale de moyenne $65,1$ et d'écart type $\sigma$.

On appelle $P$ la probabilité qu'une balle choisie au hasard dans la production totale soit conforme.

L'usine décide de régler les machines de sorte que $P$ soit égale à $0,99$. La valeur de $\sigma$, arrondie au centième,
permettant d'atteindre cet objectif est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{Réponse A:~~} 0,69 &\textbf{Réponse B:~~} 2,58 &\textbf{Réponse C:~~} 0,62 &\textbf{Réponse D:~~} 0,80
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

La courbe ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, de la fonction $f$ définie par :

\[f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1}.\]

\begin{center}
\psset{unit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.15)(2.8,2.2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(2.8,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1.2,0)(1.2,2.2)\uput[d](1.2,0){$a$}
\pscustom[fillstyle=hlines]
{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{4 x mul x dup mul 1 add div}
\psline(2,0)(0,0)
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.8}{4 x mul x dup mul 1 add div}
\end{pspicture}
\end{center}

La valeur exacte du réel positif $a$ tel que la droite d'équation $x = a$ partage le domaine hachuré en deux domaines d'aires égales est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{Réponse A :~~} $\sqrt{\sqrt{\dfrac{3}{2}}}$ &\textbf{Réponse B :~~} $\sqrt{\sqrt{5} - 1}$ &\textbf{Réponse C :~~} $\ln 5 - 0,5$ &\textbf{Réponse D :~~} $\dfrac{10}{9}$
\end{tabularx}
\medskip

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par:

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}.\]

Soit $a$ un réel positif.

On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

\smallskip

Le but de cet exercice est d'étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, suivant différentes valeurs de son premier terme $u_0 = a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, pour $a = 2,9$ puis pour $a = 3,1$.
\item Dans cette question, on suppose que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n^2 - u_n + \dfrac{3}{2}$, montrer que $\ell = \dfrac{1}{2}\ell^2 - \ell + \dfrac{3}{2}$.
		\item Montrer que les valeurs possibles de $\ell$ sont 1 et 3.
 	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on prend $a = 2,9$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[1~;~ + \infty[$.
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $1 \leqslant  u_{n+1} \leqslant u_n$.
		\item  Montrer que $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
 	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $a = 3,1$ et on admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des questions précédentes montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas majorée.
		\item  En déduire le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
		\item  L'algorithme suivant calcule le plus petit rang $p$ pour lequel $u_p > 10^6$.
		
Recopier et compléter cet algorithme. 

$P$ est un nombre entier et $U$ est un nombre réel.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$P \gets 0$\\
$U \ldots\ldots$\\
~\\
Tant que \ldots\\
\hspace{0.6cm}$P \gets \ldots\ldots$\\
\hspace{0.6cm}$U \gets \ldots\ldots$\\
Fin Tant que\\
~\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\smallskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$,\: $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ :

\[u_{n+2} = 6u_{n+1} - 8u_n.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ et $u_3$ .
\item On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}$ et la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}$.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1} = AU_n$.
\item On considère de plus les matrices $B = \begin{pmatrix}2&-0,5\\4&- 1\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}- 1&0,5\\- 4&2\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A^n = 2^nB + 4^nC$.
		\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_n = A^nU_0$.
		
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2 \times 4^n - 2^n$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\smallskip

On dit qu'un entier naturel $N$ est parfait lorsque la somme de ses diviseurs (positifs) est égale à $2N$.

Par exemple, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 2, 3 et 6 et on a : $1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6$.

Dans cette partie, on cherche des nombres parfaits parmi les termes de la suite $\left(u_n\right)$ étudiée dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2^np_n$ avec $p_n = 2^{n+1} - 1$.
\item  On considère l'algorithme suivant où $N$, $S$, $U$, $P$ et $K$ sont des entiers naturels.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
$S \gets 0$\\
~\\
Demander à l'utilisateur la valeur de $N$\\
$P \gets 2^{N+1} - 1$\\
$U \gets 2^N P$\\
~\\
Pour $K$ variant de $1$ à $U$\\
\hspace{0.6cm}Si $\frac{U}{K}$ est un nombre entier\\
\hspace{1.1cm}$S \gets S + K$\\
\hspace{0.6cm}Fin Si\\
Fin Pour\\
~\\
Si $S = 2U$\\
\hspace{0.6cm}Afficher \og oui \fg\\
Sinon\\
\hspace{0.6cm}Afficher \og non \fg\\
Fin Si\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item À quelle question permet de répondre cet algorithme ?
		
Compléter, sans justification, les cases vides du tableau donné en annexe. Il n'est pas demandé au candidat de programmer l'algorithme.
		\item Faire une conjecture donnant une condition suffisante sur $P$ pour que l'algorithme affiche \og oui \fg.
 	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on suppose que $p_n$ est un nombre premier. On note $S_n$ la somme des diviseurs de $u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $S_n = \left(1 + p_n\right)p_n$.
		\item En déduire que $u_n$ est un nombre parfait.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large  Annexe à remettre avec la copie}

\vspace{3cm}


\textbf{Exercice 4}

\vspace{1cm}

\textbf{Affichage de l'algorithme pour les premières valeurs de $N$}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$N$	&$P$	&$U$		&$S$		&Affichage final\\ \hline
0 	&1 		&1 			&1 			&non\\ \hline
1 	&3 		&6 			&12 		&oui\\ \hline
2 	&7 		&			&			&\\ \hline
3 	&15 	&			&360		&\\ \hline
4 	&31		&			&992		& oui\\ \hline
5 	&63 	&			&\np{6552}	& non\\ \hline
6 	&127	&\np{8128}	&\np{16256}	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}