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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small 13 septembre 2019}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Lors d'un examen professionnel, chaque candidat doit présenter un dossier de type A ou un
dossier de type B ; 60\,\% des candidats présentent un dossier de type A, les autres présentant un
dossier de type B.

Le jury attribue à chaque dossier une note comprise entre $0$ et $20$. Un candidat est reçu si la
note attribuée à son dossier est supérieure ou égale à 10.

On choisit au hasard un dossier.

On admet qu'on peut modéliser la note attribuée à un dossier de type A par une variable
aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $11,3$ et d'écart-type $3$, et la note attribuée à un
dossier de type B par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d'espérance $12,4$ et d'écart type $4,7$.

On pourra noter $A$ l'évènement : \og le dossier est un dossier de type A\fg, $B$ l'évènement: \og le
dossier est un dossier de type B \fg, et $R$ l'évènement: \og le dossier est celui d'un candidat reçu à
l'examen \fg.

Les probabilités seront arrondies au centième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le dossier choisi est de type A. Quelle est la probabilité que ce dossier soit celui d'un
candidat reçu à l'examen ?
On admet que la probabilité que le dossier choisi, sachant qu'il est de type B, soit celui d'un
candidat reçu est égale à $0,70$.
\item  Montrer que la probabilité, arrondie au centième, que le dossier choisi soit celui d'un
candidat reçu à l'examen est égale à $0,68$.
\item  Le jury examine $500$ dossiers choisis aléatoirement parmi les dossiers de type B. Parmi ces
dossiers, 368 sont ceux de candidats reçus à l'examen.

Un membre du jury affirme que cet échantillon n'est pas représentatif. Il justifie son
affirmation en expliquant que dans cet échantillon, la proportion de candidats reçus est trop
grande.

Quel argument peut-on avancer pour confirmer ou contester ses propos ?
\item  Le jury décerne un \og prix du jury\fg{} aux dossiers ayant obtenu une note supérieure ou égale
à $N$, où $N$ est un nombre entier. La probabilité qu'un dossier choisi au hasard obtienne le
\og prix du jury \fg{} est comprise entre $0,10$ et $0,15$.

Déterminer le nombre entier $N$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ dans un repère orthogonal d'une fonction
$g$ définie et continue sur $\R$. La courbe $\mathcal{C}_g$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et se situe dans le demi-plan $y > 0$.

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.25)(2,1.2)
\multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.2)(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.2+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(-2,-0.19)(2,1.2)
\uput[d](-0.08,-0.02){$0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2.71828 x dup mul exp div}
%\psGauss[mue=0,sigma=0.75,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tout $t \in \R$ on pose :

\[G(t) = \displaystyle\int_0^t g(u)\:\text{d}u.\]

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s'appuyer sur des
considérations graphiques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $G$ est-elle croissante sur $[0~;~ +\infty[$ ? Justifier.
\item Justifier graphiquement l'inégalité $G(1) \leqslant 0,9$.
\item La fonction $G$ est-elle positive sur $\R$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\smallskip
 
\textbf{Dans la suite du problème, la fonction \boldmath $g$\unboldmath est définie sur \boldmath$\R$\unboldmath\;  par \boldmath $g(u) = \text{e}^{-u^2}$.\unboldmath}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de $g$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
		\item Calculer la fonction dérivée de $g$ et en déduire le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
		\item Préciser le maximum de $g$ sur $\R$. En déduire que $g(1) \leqslant 1$.
	\end{enumerate}
\item On note $E$ l'ensemble des points $M$ situés entre la courbe $\mathcal{C}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. On appelle $I$ l'aire de cet ensemble.

On rappelle que :

\[I = G(1) = \displaystyle\int_0^1 g(u)\:\text{d}u.\]

On souhaite estimer l'aire $I$ par la méthode dite \og de Monte-Carlo \fg{} décrite ci-dessous.

\begin{itemize}
\item On choisit un point $M(x~;~y)$ en tirant au hasard de façon indépendante ses
coordonnées $x$ et $y$ selon la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~ 1]$. On admet que la
probabilité que le point $M$ appartienne à l'ensemble $E$ est égale à $I$.
\item On répète $n$ fois l'expérience du choix d'un point $M$ au hasard. On compte le nombre
$c$ de points appartenant à l'ensemble $E$ parmi les $n$ points obtenus.
\item La fréquence $f = \dfrac{c}{n}$ est une estimation de la valeur de $I$.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour $n = 100$. Déterminer la valeur
de $f$ correspondant à ce graphique.

\begin{center}
\psset{xunit=11.5cm,yunit=9cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.05,1.05)
\psframe(1,1)
\psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 2.71828 x dup mul exp div}
\psdots(0.1,0.98)(0.05,0.02)(0.12,0.9)(0.22,0.83)(0.32,0.82)(0.37,0.815)(0.09,0.76)(0.22,0.69)(0.35,0.67)(0.11,0.7)(0.18,0.53)(0.24,0.63)(0.57,0.61)(0.64,0.61)(0.65,0.6)(0.21,0.58)
(0.48,0.55)(0.64,0.55)(0.66,0.53)(0.7,0.5)(0.57,0.44)(0.72,0.44)(0.77,0.44)(0.85,0.47)
(0.13,0.46)(0.75,0.39)(0.54,0.41)(0.09,0.28)(0.27,0.29)(0.69,0.36)(0.7,0.37)(0.08,0.35)
(0.28,0.28)(0.46,0.25)(0.47,0.23)(0.57,0.28)(0.7,0.28)(0.96,0.25)(0.3,0.23)(0.46,0.23)
(0.54,0.21)(0.93,0.2)(0.96,0.23)(0.025,0.16)(0.035,0.16)(0.18,0.18)(0.28,0.16)(0.41,0.12)
(0.63,0.16)(0.95,0.1)(0.45,0.13)(0.74,0.17)(0.94,0.12)(0.96,0.15)(0.08,0.04)(0.29,0.04)
(0.01,0.02)(0.12,0.02)(0.51,0.01)(0.58,0)(0.92,0)(0.28,0.4)(0.3,0.42)(0.32,0.45)
(0.35,0.5)(0.37,0.55)(0.39,0.57)(0.41,0.5)(0.48,0.41)(0.79,0.2)(0.76,0.15)(0.8,0.1)
(0.85,0.26)(0.9,0.4)(0.44,0.65)(0.44,0.48)(0.57,0.63)
\psdots[dotstyle=o](0.29,0.95)(0.57,0.98)(0.59,0.95)(0.79,0.92)(0.9,0.99)(0.49,0.8)(0.68,0.9)(0.79,0.91)(0.81,0.92)(0.43,0.85)(0.77,0.79)(0.94,0.77)(0.84,0.68)(0.87,0.64)(0.85,0.61)(0.83,0.59)
(0.74,0.77)(0.97,0.69)(0.975,0.495)(0.92,0.47)(0.93,0.44)(0.6,0.8)(0.68,0.78)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item  L'exécution de l'algorithme ci-dessous utilise la méthode de Monte-Carlo décrite
précédemment pour déterminer une valeur du nombre $f$.
		
Recopier et compléter cet algorithme.

\medskip

$f$, $x$ et $y$ sont des nombres réels, $n$, $c$ et $i$ sont des entiers naturels.

ALEA est une fonction qui génère aléatoirement un nombre compris entre $0$ et $1$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|X|}\hline
$c \gets 0$\\
Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire :\\
\hspace{2.cm}$x \gets$ ALEA\\
\hspace{2.cm}$y \gets$ ALEA\\
\hspace{1cm}Si $y \leqslant  \ldots$ alors\\
\hspace{2.cm}$c \gets \ldots$\\
\hspace{1cm}fin Si\\
fin Pour\\
\hspace{2.5cm}$f \gets \ldots$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  Une exécution de l'algorithme pour $n = \np{1000}$ donne $f = 0,757$.
		
En déduire un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la valeur
exacte de $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On rappelle que la fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(u) = \text{e}^{-u^2}$ et que la fonction $G$ est définie sur $\R$ par :

\[G(t) = \displaystyle\int_0^t g(u)\:\text{d}u.\]

On se propose de déterminer une majoration de $G(t)$ pour $t \geqslant 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Un résultat préliminaire}.

On admet que, pour tout réel $u \geqslant 1$, on a $g(u) \leqslant \dfrac{1}{u^2}$.

En déduire que, pour tout réel $t \geqslant 1$, on a :

\[\displaystyle\int_1^t g(u)\:\text{d}u \leqslant 1 - \dfrac{1}{t}.\]

\item Montrer que, pour tout réel $t \geqslant 1$,

\[G(t) \leqslant 2 - \dfrac{1}{t}.\]

Que peut-on dire de la limite éventuelle de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

Préciser si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $m$ un nombre réel et soit l'équation $(E) :\quad  2z^2 + (m - 5)z + m = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Affirmation 1} :

\og Pour $m = 4$, l'équation $(E)$ admet deux solutions réelles. \fg
		\item \textbf{Affirmation 2 }:

\og Il n'existe qu'une seule valeur de $m$ telle que $(E)$ admette deux solutions complexes qui soient des imaginaires purs. \fg
	\end{enumerate}
\item  Dans le plan complexe, on considère l'ensemble $S$ des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant:
	
\[|z - 6| = |z + 5\text{i}|.\]

\textbf{Affirmation 3 } :

\og L'ensemble $S$ est un cercle. \fg
\item On munit l'espace d'un repère orthonormé \Oijk. On note $d$ la droite dont une
représentation paramétrique est : 

\[ 
d :\;\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -1 + t\\
y &=& \phantom{-}2 - t\\
z &=&\phantom{-}3 + t
\end{array}\right.\; t \in \R.\]

On note $d'$ la droite passant par le point B$(4~;~4~;- 6)$ et de vecteur directeur $\vect{v}(5~;~2~;~ -9)$.

\textbf{Affirmation 4} :

\og Les droites $d$ et $d'$ sont coplanaires. \fg
\item On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\textbf{Affirmation 5} : 

\og Le vecteur $\vect{\text{DE}}$ est un vecteur normal au plan (ABG). \fg
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(5.5,6)
%\psgrid
\psframe(0.5,0.5)(4,4)%BCGF
\psline(4,0.5)(5.5,2)(5.5,5.5)(4,4)%CDHG
\psline(5.5,5.5)(2,5.5)(0.5,4)%HEF
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2,2)(2,5.5)%BAE
\psline[linestyle=dashed](2,2)(5.5,2)%AD
\uput[dl](0.5,0.5){B}\uput[d](4,0.5){C}\uput[r](4,4){G}\uput[l](0.5,4){F}
\uput[l](2,2){A}\uput[r](5.5,2){D}\uput[r](5.5,5.5){H}\uput[ul](2,5.5){E}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par

\[f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}.\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

\[u_0 = 3 \; \text{et pour tout entier naturel }\; n,\;  u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

On admet que cette suite est bien définie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~4].
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,

\[1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
		\item On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ; montrer l'égalité:

\[\ell  = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}\]

		\item Déterminer la valeur de la limite $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par :

\[v_0 = 0,1 \; \text{et pour tout entier naturel }\; n,\; v_{n+1} = f\left(v_n\right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On donne en \textbf{Annexe, à rendre avec la copie}, la courbe représentative, $\mathcal{C}_f$,  de la
fonction $f$ et la droite $D$ d'équation $y = x$.

Placer sur l'axe des abscisses par construction géométrique les termes $v_1$, $v_2$ et $v_3$ sur
l'\textbf{annexe, à rendre avec la copie}.

Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite
$\left(v_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,
		
\[1 - v_{n+1} = \left(\dfrac{2}{4 + v_n} \right) \left(1 - v_n\right).\]
		
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
		
\[0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.\]
		
 	\end{enumerate}
\item  La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un laboratoire étudie l'évolution d'une population d'insectes parasites de plantes.

Cette évolution comporte deux stades : un stade larvaire et un stade adulte qui est le seul au
cours duquel les insectes peuvent se reproduire.

L'observation de l'évolution de cette population conduit à proposer le modèle suivant.

Chaque semaine :

\smallskip

\begin{itemize}
\item Chaque adulte donne naissance à 2 larves puis 75\,\% des adultes meurent.
\item 25\,\% des larves meurent et 50\,\% des larves deviennent adultes.
\end{itemize}

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_n$ le nombre de larves et $a_n$ le nombre d'adultes au bout
de $n$ semaines.

Pour tout entier naturel $n$, on note $X_n$ la matrice colonne définie par : $X_n = \begin{pmatrix} \ell_n\\a_n\end{pmatrix}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\; $X_{n+1} = AX_n$ où $A$ est la matrice:
(
0,25 2)
\[A =  \begin{pmatrix}0,25 &2\\0,5& 0,25\end{pmatrix}.\]

\item  On note $U$ et $V$ les matrices colonnes : $U = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ et $V = \begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}$, où $a$ est un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $AU = 1,25U$.
		\item Déterminer le réel $a$ tel que $AV = - 0,75V$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

Dans les questions 3 et 4, le réel $a$ est fixé de sorte qu'il est  la solution de  $AV = -0,75V$.

\begin{enumerate}[resume]	
\item  On admet qu'il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que: $X_0 = \alpha U + \beta V$ et $\alpha > 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\; $X_n = \alpha(1,25)^nU + \beta(- 0,75)^nV$.

		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ :\; 
$\left\{\begin{array}{l c l}
\ell_n &=& 2(1,25)^n\left(\alpha - \beta(- 0,6)^n\right)\\
a_n &=&\phantom{2} (1,25)^n\left(\alpha + \beta(- 0,6)^n\right).
\end{array}\right.$
	\end{enumerate}
\item  Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{\ell_n}{a_n} = 2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $(E) :\; 19x - 6y = 1$. Déterminer le nombre de couples d'entiers
$(x~;~y)$ solutions de l'équation $(E)$ et vérifiant $\np{2000}  \leqslant x \leqslant \np{2100}$.
\item  Soit $n$ un entier naturel. Montrer que les entiers $(2n + 3)$ et $(n + 3)$ sont premiers entre eux si et seulement si $n$ n'est pas un multiple de 3.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe}

\vspace{2cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=11cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.15,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.15,1.1)
\psline(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.15}{3 x mul 2 add x 4 add div}
\uput[d](0.8,0.8){$D$}\uput[u](0.8,0.92){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}