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% Tapuscrit Dubau Victor-Emmanuel
%Relecture : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small 21 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 21 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\section*{Partie A}
\def\e{\text{e}}
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[f(x)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}\right)\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		\item Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet, sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, une unique solution, que l'on note $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item En remarquant que, pour tout réel $x$, $f(-x) = f(x)$, justifier que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions dans $\R$ et qu'elles sont opposées.
\end{enumerate}

\section*{Partie B}

Les \textbf{serres en forme de tunnel} sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température.

Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.
\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d'unité 1 mètre. La fonction $f$ et le réel $\alpha$ sont définis dans la \textbf{partie A}. Dans la suite de l'exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\alpha~;~+\alpha]$.

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle  $[-\alpha~;~+\alpha]$.


\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,linewidth=1.2pt}
\def\xmin{-3} \def\xmax{3.9} \def\ymin{-.85} \def\ymax{3.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1,0)(1,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3.5,-.5)(3,3.5)
\psplot{-1.92}{1.92}{3.5 2.7181828 x -1 mul exp 2.7181828 x exp add .5 mul sub}
\psline(-3.2,2.2)(-3.2,-3.5)
\psline(-4.8,2.2)(-4.8,-3.5)
\psframe(-5.4,-3.5)(-2.6,-5)
\psline[linestyle=dashed](-3,2.5)(3,2.5)
\psline[arrows=<->,linewidth=1.pt](2.5,0.)(2.5,2.5)
\rput[l](2.65,1.25){\textbf{hauteur}}
\rput[l](-1.65,1.5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On admettra que la courbe $\mathcal{C}$ admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie.

\begin{enumerate}
	\item Calculer la hauteur d'un arceau.
	\item \begin{enumerate}
		\item Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe~$\mathcal{C}$ sur l'intervalle $[0~;~\alpha]$. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l'intégrale : \[I=\displaystyle\int_0^{\alpha}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ dx\]
		Montrer que, pour tout réel $x$, on a : $1+(f'(x))^2=\dfrac{1}{4}(\e^x+\e^{-x})^2$
		\item En déduire la valeur de l'intégrale $I$ en fonction de $\alpha$.
		
Justifier que la longueur d'un arceau, en mètre, est égale à : $\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Partie C}
On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.

On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de 1,5~mètre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle $ABCD$ de largeur 1~mètre et de longueur 2~mètres.

\begin{center}
	\psset{unit=1.2cm,linewidth=1.2pt}
	\def\xmin{-3} \def\xmax{7} \def\ymin{-.85} \def\ymax{6}
	\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psframe[fillstyle=vlines,fillcolor=lightgray](-.5,0)(.5,2)
	%\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3.5,-.5)(3,3.5)
	\psplot{-1.92}{1.92}{3.5 2.7181828 x  -1 mul exp 2.7181828 x exp add .5 mul sub}
	\psplot{-.92}{2.92}{3.5 2.7181828 x 1 sub  -1 mul exp 2.7181828 x 1 sub exp add .5 mul sub 1 add}
	\psplot{.08}{3.92}{3.5 2.7181828 x 2 sub  -1 mul exp 2.7181828 x 2 sub exp add .5 mul sub 2 add}
	\psplot{1.08}{4.92}{3.5 2.7181828 x 3 sub  -1 mul exp 2.7181828 x 3 sub exp add .5 mul sub 3 add}
\psline(-3.2,2.2)(-3.2,-3.5)
\psline(-4.8,2.2)(-4.8,-3.5)
\psframe(-5.4,-3.5)(-2.6,-5)
\psline[linestyle=dashed](-1.92,0)(1.08,3)(4.92,3)
\psline(-1.92,0)(1.92,0)(4.92,3)
\psline(-.96,2)(0.96,2)
\psline(0,2.5)(3,5.5)
\psline[arrows=<->,linewidth=1.pt](2.5,0.)(3.5,1)
\rput[l](3.2,.5){\textbf{1m50}}
\uput[35](.5,0){$C$}
\uput[-35](.5,2){$B$}
\uput[135](-.5,0){$D$}
\uput[-35](-.5,2){$A$}
\rput[b](-.5,-0.5){\textbf{Façade sud}}
\rput[b](3.5,3){\textbf{Façade nord}}
\end{pspicture*}
\end{center}

On souhaite connaître la quantité, exprimée en m$^2$, de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.

Cette bâche est constituée de trois parties, l'une recouvrant la façade nord, l'autre la façade sud (sauf l'ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le toit de la serre.

\begin{enumerate}
	\item Montrer que la quantité de bâche nécéssaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en m$^2$, par : \[\mathcal{A}=4\int_0^{\alpha}f(x)\ dx-2\]
	\item On prend 1,92 pour valeur approchée de $\alpha$. Déterminer, au m$^2$ près, l'aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type $A$ et un jeu de type $B$.
\section*{Partie A}

Les durées des parties de type $A$ et de type $B$, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires $X_A$ et $X_B$.

La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[9~;~25]$

La variable aléatoire $X_B$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type 3. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=.4cm, yunit=30cm,linewidth=1.2pt,comma}
\def\xmin{-3} \def\xmax{29} \def\ymin{-.025} \def\ymax{0.17}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.05](0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{28}{0.1329807601 2.7181828 x 17 sub 3 div 2 exp .5 neg mul exp mul}
\psline[linestyle=dashed](17,-.005)(17,.155)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la durée moyenne d'une partie de type $A$.
		\item Préciser à l'aide du graphique la durée moyenne  d'une partie de type $B$. 
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d'une partie soit inférieure à 20 minutes ? On donner le résultat arrondi au centième.
\end{enumerate}

\section*{Partie B}
On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :
\begin{itemize}
	\item si le joueur achève une partie de type $A$, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type $A$ avec une probabilité de $0,8$;
	\item si le joueur achève une partie de type $B$, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type $B$ avec une probabilité de $0,7$.
\end{itemize}

Pour une entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :

$A_n$ : <<la $n$-ième partie est une partie de type $A$.>>

$B_n$ : <<la $n$-ième partie est une partie de type $B$.>>

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$.


\begin{minipage}{.5\linewidth}
	\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci contre
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : \[a_{n+1}=0,5a_n+0,3\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\begin{minipage}{.5\linewidth}
%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
	% Racine à Gauche, développement vers la droite
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	% Styles (MODIFIABLES)
	\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
	\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle]
	\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle]
	\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,circle,inner sep=2pt]
	% Dimensions (MODIFIABLES)
	\def\DistanceInterNiveaux{3}
	\def\DistanceInterFeuilles{1}
	% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
	\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
	\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
	\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
	\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
	% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
	\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
	\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$A_n$};
	\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$A_{n+1}$};
	\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$B_{n+1}$};
	\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$B_n$};
	\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$A_{n+1}$};
	\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$B_{n+1}$};
	% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
	\draw[fleche] (R.east) --(Ra) node[etiquette] {$a_n$};
	\draw[fleche] (Ra.east) --(Raa) node[etiquette] {$\dots$};
	\draw[fleche] (Ra.east) --(Rab) node[etiquette] {$\dots$};
	\draw[fleche] (R.east) --(Rb) node[etiquette] {$\dots$};
	\draw[fleche] (Rb.east) --(Rba) node[etiquette] {$\dots$};
	\draw[fleche] (Rb.east) --(Rbb) node[etiquette] {$\dots$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
\end{minipage}

Dans la suite de l'exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu $A$ lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$. La suite $(a_n)$ est donc définie par : $a_1=a$, et pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $a_{n+1}=0,5a_n+0,3$.
	\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
	\item \textit{Étude d'un cas particulier.} Dans cette question, on suppose que $a=0,5$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$.
		\item Montrer que la suite $(a_n)$ est croissante.
		\item Montrer que la suite $(a_n)$ est convergente et préciser sa limite.
	\end{enumerate}
\item \textit{Étude du cas général.} Dans cette question, le réel $a$ appartient à l'intervalle $[0~;~1]$.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ par $u_n=a_n - 0,6$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $a_n=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $(a_n)$. Cette limite dépend-elle de la valeur de $a$?
		\item La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type $A$ et une autre insérée en début des parties de type $B$. Quelle devrait-être la publicité la plus vue par un joueur s'adonnant intensivement aux jeux vidéo ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}


\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.

Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

\begin{enumerate}
	\item Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, on considère l'équation $(E)$ : $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$.
	
	On note $A$ et $B$ les points du plan dont les affixes sont les solutions de $(E)$. 
	
On note O  le point d'affixe $0$.
	
\textbf{Affirmation 1 :}  Le triangle O$AB$ est équilatéral.
	\item On note $u$ le nombre complexe : $u=\sqrt{3}+ \text{i}$ et on note $\overline{u}$ son conjugué.
	
\textbf{Affirmation 2 :} $u^{2019}+ \overline{u}^{2019}=2^{2019}$
	\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
	
\[f_n(x)=x\e^{- nx+1}.\]
	
\textbf{Affirmation 3 :}  Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, la fonction $f_n$ admet un maximum.
	\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\cos(x)\e^{-x}$.
	
\textbf{Affirmation 4 :}  La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $+\infty$.
	
\begin{minipage}{.55\linewidth}
		\item Soit $A$ un nombre réel strictement positif.
	
On considère l'algorithme ci-contre.
	
On suppose que la variable $I$ contient la valeur 15 en fin d'exécution de cet algorithme.
	
\textbf{Affirmation 5 :}   $15\ln(2)\leqslant \ln(A)\leqslant 16\ln(2)$
\end{minipage}\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{center}
	\fbox{\begin{minipage}{.4\linewidth}
	$I \leftarrow 0$
	
Tant que $2^I\leqslant A$
	
\hspace{5mm} $I\leftarrow I+1$
	
Fin Tant que
\end{minipage}}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\textbf{Exercice 4\hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

On note $\Z$ l'ensemble des entiers relatifs.

Dans cet exercice, on étudie l'ensemble $S$ des matrices qui s'écrivent sous la forme $A=\left( 
\begin{array}{rr}
a&b\\c&d
\end{array}
\right) $, où $a$, $b$, $c$ et $d$ appartiennent à l'ensemble $\Z$ et vérifient : $ad - bc=1$.

On note $I$ la matrice identité $I=\left( 
\begin{array}{rr}
1&0\\0&1
\end{array}
\right) $
\section*{Partie A}
\begin{enumerate}
	\item Vérifier que la matrice $A=\left( 
	\begin{array}{rr}
	6&5\\-5&-4
	\end{array}
	\right) $ appartient à l'ensemble $S$.
	\item Montrer qu'il existe exactement quatre matrices de la forme $A=\left( 
	\begin{array}{rr}
	a&2\\3&d
	\end{array}
	\right) $ appartenant à l'ensemble $S$; les expliciter.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $Z$ l'équation $(E)$ : $5x-2y=1$. On pourra remarquer que le couple $(1~;~2)$ est une solution particulière de cette équation.
		\item En déduire qu'il existe une infinité de matrices de la forme $A=\left( 
		\begin{array}{rr}
		a&b\\2&5
		\end{array}
		\right) $ qui appartiennent à l'ensemble $S$. Décrire ces matrices.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Partie B}
Dans cette partie, on note $A=\left( 
\begin{array}{rr}
a&b\\c&d
\end{array}
\right) $ une matrice appartenant à l'ensemble $S$. On rappelle que $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des entiers relatifs tels que $ad-bc=1$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
	\item Soit $B$ la matrice : $B=\left( 
\begin{array}{rr}
d&-b\\-c&a
\end{array}
\right) $
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit $AB$. On admet que $AB=BA$.
		\item En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
		\item Montrer que $A^{-1}$ appartient à l'ensemble $S$.
	\end{enumerate}\item Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On note $x'$ et $y'$ les entiers relatifs tels que $\left(\substack {x'\\ y'}\right)=A\left(\substack {x\\ y}\right)$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $x=dx'-by'$ On admet de même que $y=ay'-cx'$
		\item On note $D$ le PGCD de $x$ et $y$ et on note $D'$ le PGCD de $x'$ et $y'$. Montrer que $D=D'$.
	\end{enumerate}
	\item On considère les suites d'entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $(y_n)$ définies par : $x_0=2019$, $y_0=673$ et pour tout entier naturel $n$ : $\left\{\begin{array}{l}
	x_{n+1}=2x_n+3y_n\\
	y_{n+1}=x_n+2y_n
	\end{array}\right.$
	
	En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel $n$, le PGCD des entiers $x_n$ et $y_n$.
\end{enumerate}
\newpage

\textbf{Exercice 4\hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}



\begin{center}
	\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}
\end{center}

\medskip 

On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête de longueur 1, dont la figure est donnée en annexe.

On note $I$ le milieu du segment $[EF]$, $J$ le milieu du segment $[EH]$ et $K$ le point du segment $[AD]$ tel que $\vect{AK}=\dfrac{1}{4}\vect{AD}$.

On note $\mathcal{P}$ le  plan passant pat $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.
\section*{Partie A}
Dans cette Partie, les constructions demandées seront effectuées sans justification sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.

\begin{enumerate}
	\item Le plan $(FHK)$ coupe la droite $(AE)$ en un point qu'on note $M$. Construire le point $M$.
	\item Construire la section du cube par le plan $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}
\section*{Partie B}
Dans cette partie, on munit l'espace du repère orthonormé $(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE})$.

On rappelle que  $\mathcal{P}$ est le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vec{n}\left(\substack {4\\ 4\\-3}\right)$ est un vecteur normal au plan $(FHK)$.
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est : $4x+4y-3z-1=0$.
		\item Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}$.
		\item Calculer les coordonnées du point $M'$, point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $(AE)$.
	\end{enumerate}
	\item On note $\Delta$ la droite passant par le point $E$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
		\item Calculer les coordonnées du point $L$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
		\item Tracer les droite $\Delta$ sur la figure donnée en annexe.
		\item Les droites $\Delta$ et $(BF)$ sont-elles sécantes ? Qu'en est-il des droites $\Delta$ et $(CG)$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}
\vfill

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(5.1,6.1)
\psframe(4,4)%ABFE
\psline(4,0)(5,1.5)(5,5.5)(4,4)%BCGF
\psline(5,5.5)(1,5.5)(0,4)%GHE
%\psline(5,5.5)(0,4)(4,0)%GEB
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.5)(1,5.5)%ADH
%\psline[linestyle=dashed](0,4)(1,1.5)(5,5.5)%EDG
\psline[linestyle=dashed](1,1.5)(5,1.5)%BDC
\uput[l](0,0){A} \uput[r](4,0){B} \uput[r](5,1.5){C} \uput[l](1,1.5){D} \uput[90](2,4){I}\rput(2,3.98){$\bullet$}
\uput[l](0,4){E} \uput[r](4,4){F} \uput[r](5,5.5){G} \uput[l](1,5.5){H} \uput[90](.5,4.75){J}\rput(.5,4.75){$\bullet$}
\uput[90](.25,.45){K}\rput(.25,.35){$\bullet$}
\end{pspicture} 
\end{center}
\vfill
\end{document}