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%Tapuscrit : Denis Vergès relu et corrigé par François Hache
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion\\[7pt]9 septembre 2015~\decofourright
}}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. On ne demande pas de justification. Il est attribué $1$ point si la réponse est exacte. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\parbox{0.6\linewidth}{On considère l'arbre de probabilités ci-contre :}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=2cm}
\pstree[treemode=R,nodesepB=4pt,treesep=1cm,levelsep=2.6cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\ncput*{0,6}}
{
	\TR{$B$}\ncput*{0,2}
	\TR{$\overline{B}$}
}
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}}
{
	\TR{$B$}\ncput*{0,3}
	\TR{$\overline{B}$}
	}
}
}\index{arbre de probabilités}

\medskip

Quelle est la probabilité de l'évènement $B$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,12&\textbf{b.~~} 0,2&\textbf{c.~~} 0,24 &\textbf{d.~~} 0,5
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Question 2}

Le césium 137 est un élément radioactif qui constitue une des principales sources de radioactivité des déchets des réacteurs nucléaires. Le temps $T$, en années, durant lequel un atome de césium 137 reste radioactif peut être assimilé à une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$.\\[5pt]
Quelle est la probabilité qu'un atome de césium 137 reste radioactif durant au moins 60 ans ?\index{loi exponentielle}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,125&\textbf{b.~~} 0,25&\textbf{c.~~} 0,75 &\textbf{d.~~} 0,875
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Question 3}

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 110$ et d'écart-type

$\sigma = 25$.\index{loi normale}

Quelle est la valeur arrondie au millième de la probabilité $P( X \geqslant 135)$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,159&\textbf{b.~~} 0,317 &\textbf{c.~~} 0,683 &\textbf{d.~~} 0,841
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Question 4}

On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 100 fois de suite.

Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence d'apparition de la face pile de cette pièce ?\index{intervalle de fluctuation asymptotique}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}[0,371~;~0,637] &\textbf{b.~~}[0,480~;~0,523]&\textbf{c.~~}[0,402~;~0,598]&\textbf{d.~~} [0,412~;~0,695]
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Question 5}

Une entreprise souhaite obtenir une estimation de la proportion de personnes de plus de 60 ans parmi ses clients, au niveau de confiance de 95\,\%, avec un intervalle d'amplitude inférieure à 0,05.\index{intervalle de confiance}

Quel est le nombre minimum de clients à interroger ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 400 &\textbf{b.~~} 800 &\textbf{c.~~} \np{1600}&\textbf{d.~~} \np{3200}
\end{tabularx}\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 7 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ telle que : 

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}\]\index{fonction exponentielle}

On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan.

La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe, \textbf{à rendre avec la copie}.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_0^n  f(x)\:\text{d}x$.\index{suite}

\smallskip

On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_n$ en fonction de $n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est croissante.

\item On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\: $\text{e}^x  - x \geqslant \dfrac{\text{e}^x}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant \displaystyle\int_0^n 2x \text{e}^{- x}\:\text{d}x$.
		\item Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ telle que :

\[H(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}\]

Déterminer la fonction dérivée $H'$ de la fonction $H$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant 2$.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère l'algorithme suivant dans lequel les variables sont\index{algorithme}

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item $K$ et $i$ des entiers naturels, $K$ étant non nul;
\item $A,\: x$ et $h$ des réels.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline
Entrée : 		&Saisir $K$ entier naturel non nul\\ \hline
Initialisation	& Affecter à $A$ la valeur $0$\\
				&Affecter à $x$ la valeur 0\\
				&Affecter à $h$ la valeur $\dfrac{1}{K}$\\[7pt] \hline
Traitement		&Pour $i$ variant de 1 à $K$\\
				&\hspace{0,4cm}\begin{tabular}{|l}
				Affecter à $A$ la valeur $A + h \times f(x)$\\
				Affecter à $x$ la valeur $x + h$\\
				\end{tabular}\\
				&Fin Pour\\ \hline
Sortie			&Afficher $A$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $K = 4$. Les valeurs successives de $A$ seront arrondies au millième.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$i$	& $A$	& $x$\\ \hline
1	&		&\\ \hline
2	&		&\\ \hline
3	&		&\\ \hline
4	&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  En l'illustrant sur l'annexe \textbf{à rendre avec la copie}, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour $K = 8$.
\item  Que donne l'algorithme lorsque $K$ devient grand ?\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi la spécialité} 

\medskip 

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :\index{géométrie dans l'espace}

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item les points A$(0~;~1~;~-1)$ et B$(- 2~;~2~;~- 1)$.
\item la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l c l}
x&=&-2 + t\\
y&=& \phantom{-}1 + t\\
z&=&-1 - t
\end{array}\right.
, \:t \in \R$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).\index{représentation paramétrique de droite}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles.
		\item Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel.

On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées 
$(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}

\item Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$ et passe par le point $M$.

\item  Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$.
		\item Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite (AB) ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
		\item En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation (E) : $15x - 26k = m$ où $x$ et $k$ désignent des nombres entiers relatifs et $m$ est un paramètre entier non nul.\index{equation diophantienne@équation diophantienne}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tel que $15u - 26v = 1$.

Trouver un tel couple.
\item En déduire une solution particulière $\left(x_0~;~k_0\right)$ de l'équation (E).
\item Montrer que $(x~;~k)$ est solution de l'équation (E) si et seulement si

$15\left(x - x_0\right) - 26\left(k - k_0\right) = 0$.
\item Montrer que les solutions de l'équation (E) sont exactement les couples $(x~;~k)$ d'entiers relatifs tels que :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&26q + 7m\\
k&=&15q +4m
\end{array}\right.\:\text{où}\: q \in \Z.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A &B 	&C 	&D 	&E 	&F 	&G 	&H 	&I 	&J 	&K 	&L 	&M \\ \hline
0 &1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10 &11 &12 \\ \hline\hline
N &O	&P 	&Q 	&R 	&S 	&T 	&U 	&V 	&W 	&X 	&Y 	&Z\\ \hline
13&14	&15	&16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On définit un système de codage :

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item à chaque lettre de l'alphabet, on associe l'entier $x$ correspondant,
\item on associe ensuite à $x$ l'entier $y$ qui est le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$,
\item on associe à $y$ la lettre correspondante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à 4, 4 est transformé en 15 et 15 correspond à la lettre P et donc la lettre E est codée par la lettre P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Coder le mot \textbf{MATHS}.
\item Soit $x$ le nombre associé à une lettre de l'alphabet à l'aide du tableau initial et $y$ le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$.\index{division euclidienne}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer alors qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $15x - 26k = y -7$.
		\item En déduire que $x \equiv 7y + 3$\:\: (mod $26$).
		\item En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré.
	\end{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi la lettre W dans un message codé sera décodée par la lettre B.

Décoder le mot WHL.
\item Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 3 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)\]

\begin{enumerate}
\item Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et une courbe $\mathcal{C}_F$. Dans une seule situation, la courbe $\mathcal{C}_F$ est la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier la réponse.\index{primitive}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
Situation 1&Situation 2\\
\psset{unit=1.3cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.6)(3.6,2.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{x ln 1 add x div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.5}{x ln x dup mul div neg}
\uput[u](2.75,0.75){\blue$\mathcal{C}_f$}
\uput[d](2.75,-0.2){$\mathcal{C}_F$}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=1.3cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.6)(3.6,2.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{x ln 1 add x div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.5}{x ln 1 add dup mul 0.5 mul 0.5 sub}
\uput[u](2.75,0.75){\blue$\mathcal{C}_f$}
\uput[u](2.75,1.52){$\mathcal{C}_F$}
\end{pspicture*}
\end{tabularx}

Situation 3

\psset{unit=1.3cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.6)(3.6,2.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{x ln 1 add x div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.1}{3.5}{x 2 mul x dup mul sub 0.75 sub 2 mul}
\uput[u](2.75,0.75){\blue$\mathcal{C}_f$}
\uput[ur](1.5,0){$\mathcal{C}_F$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Dans la situation retenue à la question 1, on appelle :

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item K le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de l'axe des abscisses et 
$\mathcal{D}$ la droite passant par K et parallèle à l'axe des ordonnées ;
\item L le point d'intersection de $\mathcal{C}_F$ et de l'axe des abscisses, ayant une abscisse supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et $\Delta$ la droite passant par L et parallèle à l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine du plan délimité par les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, par la courbe $\mathcal{C}_f$ et par l'axe des abscisses.\index{aire et intégrale}
		\item Peut-on déterminer la valeur exacte de cette aire ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE Exercice 2}

\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur [0~;~6]

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=8cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(6,0.7)
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.2)(\n,0.7)}
\multido{\n=-0.2+0.1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,-0.2)(6,0.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.1](0,0)(0,-0.2)(6,0.7)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{x 2.71828 x exp x sub div}
\uput[u](2.75,0.22){\blue$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}

\bigskip

Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur [0~;~1]

\medskip

\psset{xunit=9cm,yunit=16cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-0.05)(1.1,0.62)
\multido{\n=0.00+0.125}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.6)}
\multido{\n=0+0.1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(1,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.25,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(1.1,0.62)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 2.71828 x exp x sub div}
\uput[u](0.55,0.465){\blue$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}\end{document}