%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{multicol}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
%%% dernière mise à jour : novembre 2017
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\setlength\parindent{0mm}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Métropole dévoilé - juin 2009},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 

\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small éventé le 19 juin 2009}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\emph{Cet exercice est un  questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la répons exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

On considère les points A$(1~;~2~;~-1)$,  B$(1~;~1~;~0)$, C$(9~;~-1~;~-2)$, S(1~;~1~;~1).

On admet qu'une équation du plan (ABC) est $x + 2y + 2z - 3 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une représentation paramétrique de la droite (AB) est

\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x& \phantom{-}1 - t\\
y& \phantom{-}2 - 4t\\
z& -1 +3t\\
\end{array}\right.$

\hspace*{1cm}($t$ réel)

\columnbreak

\item $\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x& \phantom{-}1\\
y& -1-t\\
z& \phantom{-}3+t\\
\end{array}\right.$

\hspace*{1cm}($t$ réel)

\columnbreak

\item $\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x& 1\\
y& 1 - 2t\\
z& 2t\\
\end{array}\right.$

\hspace*{1cm}($t$ réel)
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Les coordonnées du point S$'$ symétrique du point S par rapport au plan (ABC) sont :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.}~~$\left(\dfrac{10}{9}~;~\dfrac{11}{9}~;~\dfrac{10}{9}\right)$&
\textbf{b.}~~$\left(\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{1}{9}~;~\dfrac{1}{9}\right)$&
\textbf{c.}~~$\left(\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{5}{9}\right)$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Le triangle ABC est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.}~~isocèle &\textbf{b.}~~en A& \textbf{c.}~~rectangle en B \\
\end{tabularx}

\medskip

\item L'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant $\left\|\vect{M\text{A}} -  \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 9$ est :

\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item un plan passant par S

\columnbreak

\item une sphère passant par S

\columnbreak

\item une sphère de centre S
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On désigne par A, B et J les points d'affixes respectives $- \text{i},~ 1- \text{i}$ et i.

On désigne par $\Delta$ la médiatrice du segment [AB] et par $\mathcal{C}$ le cercle de centre O et de rayon 1.

À tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de $1 - \text{i}$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 

\[z' = \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}}.\] 

Le point $M'$ est appelé image du point $M$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les affixes des points A$'$ et O$'$.
\item Sur la feuille de papier millimétré, faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice (unité graphique 4~cm).
\item Montrer que l'équation $z = \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}}$ admet deux solutions que l'on précisera.

On note E et F les points qui ont pour affixes respectives ces solutions.

Justifier que les points E et F appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ et les placer sur la figure. 
\item Soit $M$ un point distinct du point B et $M'$ son image.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la distance O$M'$ en fonction des distances A$M$ et B$M$.
		\item Montrer que si le point $M$ décrit la droite $\Delta$, alors le point $M'$ décrit un cercle que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Montrer que si le point $M$ décrit la droite (AB) privée du point B, alors le point $M'$ appartient à une droite que l'on précisera.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 1 + x \text{e}^{-x}.\]

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal \Oij{} et la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$ sont  tracées ci-dessous.

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-1.5)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dr](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[d](1.5,1){$\Delta$}
\uput[u](2,1.3){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline(0,1)(5,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{5}{x 2.71828 x exp div 1 add}
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier les propriétés suivantes constatées sur la représentation graphique.
	\begin{enumerate}
		\item La droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. 
		\item La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[1~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Soit $t$ un nombre réel positif. On considère l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter graphiquement cette intégrale.
		\item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x = t - t\text{e}^{-1} - \text{e}^{-t} +1$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note I le point de coordonnées (1~;~0) et J le point de coordonnées (0~;~1).

Pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~1], $M_{t}$ désigne le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $t$ et $N_{t}$ le point de coordonnées $(t~;~0)$.

On appelle $\mathcal{D}_{t}$, le domaine du plan délimité par la droite $\left(\text{I}M_{t}\right)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe $\mathcal{C}$. Ce domaine est représenté par la zone grisée du graphique ci-joint. Soit $\mathcal{A}(t)$ la mesure de son aire exprimée en unité d'aire.

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.125)(1.5,1.5)
\uput[dr](1,0){I} \uput[l](0,1){J}  \uput[dl](0,0){O}\uput[u](0.3,1.2222){$M_{t}$}\uput[d](0.3,0){$N_{t}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{0.3}{x 2.71828 x exp div 1 add}
\psline(0.3,1.2222)(1,0)(0,0)}
\psline[linestyle=dashed](0.3,1.2222)(0.3,0)
\psline(1,1.36788)(1,0)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-0.5,-0.125)(1.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 2.71828 x exp div 1 add}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Interpréter graphiquement $\mathcal{A}(0)$ et donner sa valeur exacte.
\item Interpréter graphiquement $\mathcal{A}(1)$ et donner sa valeur exacte.
\item Calculer l'aire du triangle $M_{t}N_{t}$I.
\item En déduire que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1],

\[\mathcal{A}(t) = \dfrac{3}{2}  + \dfrac{t}{2} - \left(\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t}{2} + 1\right)\text{e}^{-t}.\]

\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Existe-t-il un unique nombre réel $\alpha$ de l'intervalle [0~;~1] tel que $\mathcal{A}(\alpha)  = \dfrac{1}{2} \times \mathcal{A}(1)$ ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

%\vspace{1cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 0,~ u_{1} = 3$ et pour tout nombre entier \mbox{naturel $n,$}

\[u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3$.
		\item Sur l'annexe à rendre avec la copie, sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d'équation  respectives $y = x$  et $y = \dfrac{1}{2}x + 3$.

À partir de $u_{0}$, en utilisant ces deux droites, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière placer les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.

Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ?
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite de premier terme $w_{0}$ et telle que, pour tout nombre entier naturel $n$, $w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_{n} + 3$.

On suppose que $w_{0}$ est strictement supérieur à 6.

Les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont-elles adjacentes ? Justifier.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE  Exercice 4 (à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.4cm,ticksize=0.2cm,arrowsize=1pt 2}
\begin{pspicture}(-6,-6)(24,15)
\psaxes[ticksize=0.5cm,ticks=all,Dx=30,Dy=30,linewidth=1pt](0,0)(-6,-6)(24,15)
\psaxes[ticksize=0.5cm,ticks=all,Dx=30,Dy=30,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-6,-6)(15,15)
\psplot[linecolor=blue]{-6}{24}{x 0.5 mul 3 add}
\rput{26.56}(10,7){\blue $y = \frac{1}{2}x + 3$}
\rput{45}(7,8){$y = x$}
\uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$}
\multido{\n=-6+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,0.25)}
\multido{\n=-6+1}{22}{\psline(0,\n)(0.25,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}