%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole - juin 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 23 juin 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[u_{0} = 1 \quad \text{et, pour tout nombre entier naturel} \: n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u _{n} + 4.\] On pose, pour tout nombre entier naturel $n,\: v_{n} = u_{n} - 6$. \begin{enumerate} \item Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? \item Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n, u_{n} = - 5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$. \item Étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$ : \[nw_{n} = (n + 1)w_{n-1} +1\quad \text{et}\quad w_{0} = 1.\] Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $w_{0}$ &$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\ \hline 1 &3 &5 &7 &9 &11 &13 &15 &17 &19\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.} \begin{enumerate} \item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$. Calculer $w_{\np{2009}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \ln \left(1 + x\text{e}^{-x}\right).\] On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). \medskip \textbf{PARTIE I} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. \item Justifier que pour tout nombre réel positif $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$. \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE II} \medskip Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. On pose $\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda} f(x)\:\text{d}x$. On se propose de majorer $\mathcal{A}(\lambda)$ à l'aide de deux méthodes différentes. \begin{enumerate} \item \textbf{Première méthode} \begin{enumerate} \item Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, est égale à $\mathcal{A}(\lambda)$. \item Justifier que pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant \lambda \times f(1)$. \end{enumerate} \item \textbf{Deuxième méthode} \begin{enumerate} \item Calculer à l'aide d'une intégration par parties $\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$ en fonction \mbox{de $\lambda$.} \item On admet que pour tout nombre réel positif $u,~ \ln (1 + u ) \leqslant u$. Démontrer alors que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant - \lambda \text{e}^{- \lambda} - \text{e}^{- \lambda} + 1$. \end{enumerate} \item \textbf{Application numérique} Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de $\mathcal{A}(5)$, arrondi au centième. Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où $\lambda = 5$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{I.} \emph{Cette question est une restitution organisée de connaissances.} \emph{On rappelle que si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels tels que $p \leqslant n$ alors} $\displaystyle\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n - p)!}$. \medskip Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ et pour tout nombre entier naturel $p$ tels que $1 \leqslant p \leqslant n$ on a : $\displaystyle\binom{n}{p} = \displaystyle\binom{n-1}{p-1} + \displaystyle\binom{n-1}{p}$. \medskip \textbf{II.} Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. On tire simultanément deux jetons de ce sac. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $A$ l'évènement \og obtenir deux jetons blancs \fg. Démontrer que la probabilité de l'évènement $A$ est égale à $\dfrac{7}{15}$. \item On note $B$ l'évènement \og obtenir deux jetons portant des numéros impairs \fg. Calculer la probabilité de $B$. \item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? \end{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on associe à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ milieu du segment $\left[MM_{1}\right]$ où $M_{1}$ est le point d'affixe $\dfrac{1}{z}$. Le point $M'$ est appelé l'image du point $M$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les distances O$M$ et O$M_{1}$ vérifient la relation O$M \times \text{O}M_{1}= 1$ et que les angles $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M_{1}}\right)$ et $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M}\right)$ vérifient l'égalité des mesures suivantes $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M_{1}}\right) = - \left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M}\right)$ à $2\pi$ près. \item Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2. Construire le point A$'$ image du point A. (On laissera apparents les traits de construction). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout nombre complexe $z$ non nul, le point $M'$ a pour affixe $z' = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right)$. \item Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et $-$2i. Calculer les affixes des points B$'$ et C$'$ images respectives des points B et C. \item Placer les points B, C, B$'$ et C$'$ sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie). \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M' = M$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Montrer que si le point $M$ appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image $M'$ appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives $-1$ et 1. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Les trois questions de cet exercice sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des couples $(x,\:y)$ de nombres entiers relatifs, solution de l'équation (E) : $\quad 8x - 5y = 3$. \item Soit $m$ un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple $(p,~ q)$ de nombres entiers vérifiant $m = 8 p + 1$ et $m = 5q + 4$. Montrer que le couple $(p,~ q)$ est solution de l'équation (E) et en déduire que $m \equiv 9\quad (\text{modulo}~ 40)$. \item Déterminer le plus petit de ces nombres entiers $m$ supérieurs à \np{2000}. \end{enumerate} \item Soit $n$ un nombre entier naturel. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout nombre entier naturel $k$ on a : $2^{3k} \equiv 1 (\text{modulo}~7)$. \item Quel est le reste dans la division euclidienne de $2^{\np{2009}}$ par 7 ? \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. } Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec $a \neq 0$. On considère le nombre $N = a \times 10^3 + b$. On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme $N = \overline{a00b}$. On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels $N$ ceux qui sont divisibles par 7. \begin{enumerate} \item Vérifier que $10^3 \equiv -1 (\text{modulo}~7)$. \item En déduire tous les nombres entiers $N$ cherchés. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2} \vspace{1cm} (À rendre avec la copie) \vspace{1cm} \psset{xunit=1.7cm,yunit=5cm} \begin{pspicture}(-1,-0.6)(6,1.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-0.6)(6,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[u](3,0.15){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](1.3,0){$\lambda$} \psline(1.3,-0.02)(1.3,0.02)\uput[d](1.3,0){$\lambda$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div 1 add ln} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 4} \vspace{1cm} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{1cm} (À rendre avec la copie) \vspace{1cm} \end{center} \setlength{\parindent}{-1cm} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture}(-5,-5)(6,6) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5,-5)(6,6) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \pscircle(0,0){1} \pscircle(0,0){2} \SpecialCoor \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.3](2;32) \uput[ur](2;32){A} \end{pspicture} \end{document}