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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Merci à l'Inspection générale
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\lfoot{\small{Métropole - La Réunion}}
\rfoot{\small{12 septembre 2017}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole - La Réunion  ~\decofourright\\12 septembre 2017}}}

\bigskip

La page 7 est une annexe au sujet, à rendre avec la copie. 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[u_n = \displaystyle\int_0^n \text{e}^{ - x^2}\:\text{d}x.\] 

On ne cherchera pas à calculer $u_n$ en fonction de $n$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. 
		\item Démontrer que pour tout réel $x \geqslant 0$, on a : $- x^2 \leqslant  - 2x + 1$, puis : 
		
		$\text{e}^{- x^2} \leqslant  \text{e}^{-2x+1}$. 

En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n < \dfrac{\text{e}}{2}$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas à calculer sa limite. 
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on se propose d'obtenir une valeur approchée de $u_2$. 

Dans le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath}\right)$ ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par $f(x) = \text{e}^{- x^2}$, et le rectangle OABC où A(2~;~0), B(2~;~1) et C(0~;~1). 

On a hachuré le domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$. 

\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(2.1,1.1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x dup mul neg exp}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,1)
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x dup mul neg exp}
\psline(2,0)(0,0)
}
\uput[r](0.55,0.75){$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,1){C}
\uput[ur](2,0){A}\uput[ur](2,1){B}
\end{pspicture} 
\end{center}

On considère l'expérience aléatoire consistant à choisir un point $M$ au hasard à l'intérieur du rectangle OABC. 

On admet que la probabilité $p$ que ce point appartienne au domaine est : $p =  \dfrac{\text{aire de } \mathcal{D}}{\text{aire de OABC}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $u_2 = 2p$. 
		\item On considère l'algorithme suivant: 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|X|}\hline
L1	& \textbf{Variables} : $N,\: C$ nombres entiers ; $X,\: Y,\: F$ nombres réels\\  
L2	& \textbf{Entrée} : Saisir $N$\\
L3 	&\textbf{Initialisation} :  $C$ prend la valeur $0$\\
L4 	&\textbf{Traitement} : \\
L5 	& Pour $k$ variant de 1 à $N$\\ 
L6 	&\quad $X$ prend la valeur d'un nombre aléatoire entre 0 et 2 \\
L7 	&\quad  $Y$ prend la valeur d'un nombre aléatoire entre 0 et 1\\ 
L8	&\quad Si $Y \leqslant  \text{e}^{- x^2}$ alors \\
L9	&\quad \quad \quad $C$ prend la valeur $C+ 1$\\ 
L10	&\quad  Fin si \\
L11	& Fin pour\\ 
L12	& Afficher $C$\\ 
L13	& $F$ prend la valeur $C/N$\\
L14	&Afficher $F$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

		\begin{enumerate}
			\item Que permet de tester la condition de la ligne L8 concernant la position du point $M(X~;~ Y)$ ? 
			\item Interpréter la valeur $F$ affichée par cet algorithme. 
			\item Que peut-on conjecturer sur la valeur de $F$ lorsque $N$ devient très grand ? 
		\end{enumerate}
	\item  En faisant fonctionner cet algorithme pour $N = 10^6$, on obtient $C = \np{441138}$. 

On admet dans ce cas que la valeur $F$ affichée par l'algorithme est une valeur approchée de la probabilité $p$ à $10^{-3}$ près. 

En déduire une valeur approchée de $u_2$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Une entreprise spécialisée est chargée par l'office de tourisme d'une station de ski de la conception d'un panneau publicitaire ayant la forme d'une piste de ski. 

Afin de donner des informations sur la station, une zone rectangulaire est insérée sur le panneau comme indiqué sur la figure ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=2](0,0)(0,0)(2,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2.71828 x dup mul neg exp}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](.9,0.445)
\uput[r](0,0.35){Votre station préférée }
\uput[r](0,0.23){100 jours d'enneigement et }
\uput[r](0,0.11){300 jours de soleil par an ! }
\psline(2,0)(2,0.025)
\end{pspicture} 
\end{center} 

Le panneau, modélisé par le domaine $\mathcal{D}$ défini dans la partie A, est découpé dans une plaque rectangulaire de 2 mètres sur 1 mètre. Il est représenté ci-dessous dans un repère orthonormé \Oij{} ; l'unité choisie est le mètre. 

\parbox{0.48\linewidth}{Pour $x$ nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;~2], on note : 

$\bullet~~$ $M$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ de coordonnées  
$\left(x~;~\text{e}^{-x^2}\right)$, 

$\bullet~~$ $N$ le point de coordonnées $(x~;~0)$, 

$\bullet~~$ $P$ le point de coordonnées $\left(0~;~\text{e}^{-x^2}\right)$, 

$\bullet~~$ $A(x)$ l'aire du rectangle O$NMP$. }\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(2.1,1.1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x dup mul neg exp}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](.9,0.445)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.9,0){$N$}
\uput[ur](0.9,0.445){$M$}
\uput[l](0,0.445){$P$}
\end{pspicture} 
\end{center}
}

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~2], on a: $A(x) = x\text{e}^{- x^2}$. 
\item Déterminer la position du point $M$ sur la courbe $\mathcal{C}_f$ pour laquelle l'aire du rectangle O$NMP$ est maximale. 
\item Le rectangle O$NMP$ d'aire maximale obtenu à la question 2. doit être peint en bleu, et le reste du panneau en blanc. Déterminer, en m$^2$ et à $10^{-2}$ près, la mesure de la surface à peindre en bleu et celle de la surface à peindre en blanc. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M’$ d'affixe 

\[z’ = - z^2 + 2z.\]

Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :

\[- z^2 + 2z - 2 = 0.\] 

En déduire les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2. 
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M’$ son image d'affixe $z’$. 

On note $N$ le point d'affixe $z_N = z^2$. 

Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$. 
\item Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. On note $\theta$ un argument de $z$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu'un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$. 
		\item Sur la figure donnée en annexe page 7, on a représenté un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$. 

Construire sur cette figure les points $N$ et $M'$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents). 
		\item Soit A le point d'affixe 1. Quelle est la nature du triangle A$MM’$ ? 

\textbf{La page 7 contenant l'annexe est à rendre avec la copie} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3  \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\emph{Tous les résultats demandés seront arrondis au millième} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une étude effectuée sur une population d'hommes âgés de 35 à 40 ans a montré que le taux de cholestérol total dans le sang, exprimé en grammes par litre, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 1,84$ et d'écart type $\sigma = 0,4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol compris entre $1,04$g~/L et $2,64$~g/L. 
		\item Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol supérieur à $1,2$~g/L. 
	\end{enumerate}
\item Afin de tester l'efficacité d'un médicament contre le cholestérol, des patients nécessitant d'être traités ont accepté de participer à un essai clinique organisé par un laboratoire. 

Dans cet essai, 60\,\% des patients ont pris le médicament pendant un mois, les autres ayant pris un placebo (comprimé neutre). 

On étudie la baisse du taux de cholestérol après l'expérimentation. 

On constate une baisse de ce taux chez 80\,\% des patients ayant pris le médicament. 

On ne constate aucune baisse pour 90\,\% des personnes ayant pris le placebo. 

On choisit au hasard un patient ayant participé à l'expérimentation et on note : 

\setlength\parindent{20mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement \og le patient a pris le médicament\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement \og le taux de cholestérol a baissé chez le patient \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $B$. 
		\item Calculer la probabilité qu'un patient ait pris le médicament sachant que son taux de cholestérol a baissé. 
	\end{enumerate}
\item  Le laboratoire qui produit ce médicament annonce que 30\,\% des patients qui l'utilisent présentent des effets secondaires. 

Afin de tester cette hypothèse, un cardiologue sélectionne de manière aléatoire $100$~patients traités avec ce médicament. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de patients suivant ce traitement et présentant des effets secondaires. 
		\item L'étude réalisée auprès des $100$~patients a dénombré $37$ ~personnes présentant des effets secondaires. 

Que peut-on en conclure ? 
		\item Pour estimer la proportion d'utilisateurs de ce médicament présentant des effets secondaires, un organisme indépendant réalise une étude basée sur un intervalle de confiance au niveau de confiance 95\,\%. 

Cette étude aboutit à une fréquence observée de 37\,\% de patients présentant des effets secondaires, et à un intervalle de confiance qui ne contient pas la fréquence 30\,\%. 

Quel est l'effectif minimal de l'échantillon de cette étude ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} 

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

\parbox{0.48\linewidth}{Dans l'espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-contre. 

On note I et J les milieux respectifs des segments [EH] et [FB]. 

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(6,6)
\pspolygon(4,0)(6,0.5)(6,5)(4,4.5)%BCGF
\psline(6,5)(2.4,5.3)(0.4,4.8)(4,4.5)%GHEF
\psline(0.4,4.8)(0.4,0.3)(4,0)%EAB
\psline[linestyle=dashed](2.4,5.3)(2.4,0.8)(0.4,0.3)%HDA
\psline[linestyle=dashed](2.4,0.8)(6,0.5)%DC
\psdots(1.4,5.05)(4,2.25)%IJ
\uput[dl](0.4,0.3){A} \uput[d](4,0){B} \uput[r](6,0.5){C} \uput[ur](2.4,0.8){D} 
\uput[l](0.4,4.8){E} \uput[u](4,4.5){F} \uput[ur](6,5){G} \uput[u](2.4,5.3){H} 
\uput[ul](1.4,5.05){I} \uput[r](4,2.25){J} 
\end{pspicture}
} 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points I et J. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}\phantom{-}1\\- 2\\\phantom{-}2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGI). 
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (BGI). 
		\item On note K le milieu du segment [Hl]. Le point K appartient-il au plan (BGI) ? 
	\end{enumerate}
\item  Le but de cette question est de calculer l'aire du triangle BGI. 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant par exemple le triangle FIG pour base, démontrer que le volume du tétraèdre FBIG est égal à $\dfrac{1}{6}$. 

\emph{On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule \\$V = \dfrac{1}{3} B \times h$ où $B$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.}
 
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par F et orthogonale au plan (BGI). 
		\item La droite $\Delta$ coupe le plan (BGI) en F$'$. Montrer que le point F$'$ a pour coordonnées $\left(\frac{7}{9}~;~\frac{4}{9}~;~\frac{5}{9}\right)$. 
		\item Calculer la longueur FF$'$. En déduire l'aire du triangle BGI. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} 

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points A$(1~;~5~;~- 2)$, B$(7~;~- 1~;~3)$ et C$(- 2~;~7~;~-2)$ et on note $P$ le plan (ABC).

On cherche une équation cartésienne du plan $P$ sous la forme : $ax + by + cz = 73$, où $a,\: b$ et $c$ sont des nombres réels.

On note $X$ et $Y$ les matrices colonnes : $X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $X$ vérifie la relation : $MX = 73Y$, où $M$ est la matrice 

$M = \begin{pmatrix}1&5&- 2\\7&- 1&3\\- 2&7&- 2\end{pmatrix}$.
\item Soit $N$ la matrice : $N = \begin{pmatrix}19&4&- 13\\- 8&6&17\\- 47&17&36\end{pmatrix}$.

À l'aide d'une calculatrice, on a calculé les produits $M \times N$ et $N \times M$, et on a obtenu les copies d'écran suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
Pour $M \times N$  : &Pour $N \times M$: \\
\begin{tabular}{|r| r r r|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Ans}& \multicolumn{1}{c}{1}&\multicolumn{1}{c}{2}& \multicolumn{1}{c|}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\
2&0&73&0\\
3& 0 &0 &73\\ \hline
\end{tabular}&\begin{tabular}{|r |r r r|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Ans}& \multicolumn{1}{c}{1}&\multicolumn{1}{c}{2}& \multicolumn{1}{c|}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\
2&0&73&0\\
3& 0 &0 &73\\ \hline
\end{tabular}\\
\end{tabularx}
\end{center}

À l'aide de ces informations, justifier que la matrice $M$ est inversible et exprimer sa matrice inverse $M^{-1}$ en fonction de la matrice $N$.
\item Montrer alors que : $X = NY$.

En déduire que le plan $P$ admet pour équation cartésienne : 

$10x + 15y + 6z = 73$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

L'objectif de cette partie est l'étude des points à coordonnées entières du plan $P$ ayant pour équation cartésienne : $10x + 15y + 6z = 73$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point appartenant au plan $P$ et au plan d'équation $z = 3$. On suppose que les coordonnées $x$, $y$ et $z$ appartiennent à l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les entiers $x$ et $y$ sont solutions de l'équation 
		
		$(E)$ : $2x + 3y = 11$.
		\item Justifier que le couple $(7~;~- 1)$ est une solution particulière de $(E)$ puis résoudre l'équation $(E)$ pour $x$ et $y$ appartenant à $\Z$.
		\item Montrer qu'il existe exactement deux points appartenant au plan $P$ et au plan d'équation $z = 3$ et dont les coordonnées appartiennent à l'ensemble $\N$ des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces deux points.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on se propose de déterminer tous les points $M(x~;~y~;~z)$ du plan $P$ dont les coordonnées sont des entiers naturels.
	
Soient $x$, $y$ et $z$ des entiers naturels tels que $10x + 15y + 6z = 73$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $y$ est impair.
		\item Montrer que: $x \equiv 1 \quad[3]$. On admet que : $z \equiv 3 \quad[5]$.
		\item On pose alors : $x = 1 + 3p$, $y= 1 + 2q$ et $z = 3 + 5r$, où $p$, $q$ et $r$ sont des entiers naturels.
		
Montrer que le point $M(x~;~y;~z)$ appartient au plan $P$ si et seulement si $p + q + r = 1$.
		\item En déduire qu'il existe exactement trois points du plan $P$ dont les coordonnées sont des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces points.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} 

\vspace{3cm}

\textbf{\large Exercice 2 }

\vspace{2cm}


\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\pscircle(0,0){1}\uput[dr](0,0){O}
\uput[dr](1,0){A}\uput[ul](-0.8,0.6){$\mathcal{C}$}
\psdots(1;25)\uput[ur](1;25){$M$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}