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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {TS Métropole--La Réunion},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small 11 septembre 2020}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 11 septembre 2020~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}.\]

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère
 orthonormé.

\begin{center}

\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-8,-3)(14,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8,-3)(14,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-8,-3)(14,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{14}{2.71828 x exp  2 mul 2.71828 x exp 1 add div}
\uput[d](13.5,2){\red $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ en moins l'infini et interpréter graphiquement le résultat.
\item Montrer que la droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$.
\item Calculer $f'(x)$, $f'$ étant la fonction dérivée de $f$, et vérifier que pour tout nombre réel $x$ on a :

\[f'(x) = \dfrac{f(x)}{\text{e}^x + 1}.\]

\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $\R$.
\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point I(0~;~1) 
et que sa tangente en ce point a pour coefficient directeur $0,5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{Une entreprise souhaite fabriquer de façon automatisé des flûtes (verres à pied) de forme allongée de contenance $12,5$~cL. Chaque flûte est composée de 
deux parties  comme sur l'illustration ci-contre : un pied, en verre plein, et un contenant de $12,5$~cL.

À l'aide de la fonction $f$ définie dans la \textbf{partie A}, le fabricant modélise le profil du contenant de la flûte de la manière décrite ci-dessous.} \hfill
\parbox{0.3\linewidth}
{\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(3,5)
%\psgrid
\def\piedg{\psset{unit=0.2cm}\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-5}{4}{2.71828 x exp  2 mul 2.71828 x exp 1 add div}}
\def\piedd{\psset{unit=0.2cm}\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-5}{4}{2.71828 x exp  2 mul 2.71828 x exp 1 add div neg}}
\psellipse(0.8,0.2)(0.4,0.1)
\psellipse(0.8,1.4)(0.2,0.08)
\psellipse(0.8,4.8)(0.485,0.2)
\rput{90}(0.7,1.6){\piedg}
\rput{90}(0.9,1.6){\piedd}
\psline[linewidth=1.25pt](1.28,2.4)(1.28,4.8)
\psline[linewidth=1.25pt](0.31,2.4)(0.31,4.8)
\psline[linewidth=1.25pt](0.7,0.2)(0.7,0.6)
\psline[linewidth=1.25pt](0.89,0.2)(0.89,0.6)
\psline[linestyle=dashed](1.2,0.2)(2,0.2)
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.4)(2,1.4)
\psline[linestyle=dashed](1.3,4.8)(2,4.8)
\psline{<->}(2,0.2)(2,1.4)\psline{<->}(2,1.4)(2,4.8)
\uput[r](2,3.1){\footnotesize contenant}
\uput[r](2,0.8){\footnotesize pied}
\end{pspicture}
}

Soit A un point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$ strictement positive. La rotation autour de l'axe des abscisses appliquée à la partie de $\mathcal{C}$  limitée par les points I et A engendre une surface modélisant le contenant de la flûte en prenant pour unité 1 cm. 

Ainsi $x$ et $f(x)$ représente des longueurs en centimètres et l'objectif de cette partie est de déterminer la valeur de $a$ pour que le volume du contenant soit égal à $12,5$~cL.

\begin{center}
\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-8,-3)(14,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8,-3)(14,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-5}{0}{2.71828 x exp  2 mul 2.71828 x exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{9.3}{2.71828 x exp  2 mul 2.71828 x exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{9.3}{2.71828 x exp  2 mul 2.71828 x exp 1 add div neg}
\psellipse(9.3,0)(1,2)
\psellipse(0,0)(0.6,1)
\uput[u](9.3,2){A}\uput[ul](0,1){I}
\psline[linewidth=.2pt](9.3,0)(9.3,2)\uput[d](9.3,0){$a$}
\uput[u](8,2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}\hline
Une unité représente 1 cm. \\
La valeur de $a$ utilisée sur le graphique ci-dessus ne correspond pas à la valeur cherchée.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip

Le réel $a$ étant strictement positif, on admet que le volume $V(a)$ de  ce solide en cm$^3$ est donné par la formule :

\[V(a) = \pi\displaystyle\int_0^a (f(x))^2\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier, pour tout nombre réel $x \geqslant 0$, l'égalité :

\[(f(x))^2 = 4\left(\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} + \dfrac{- \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\right).\]

\item   Déterminer une primitive sur $\R$ de chacune des fonctions :

\[g : x \longmapsto \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\quad \text{et} \quad h : x \longmapsto \dfrac{-\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}.\]

\item  En déduire que pour tout réel $a > 0$ :

\[V(a) = 4\pi\left[\ln \left(\dfrac{\text{e}^a + 1}{2} \right) + \dfrac{1}{\text{e}^a + 1}  - \frac{1}{2}\right].\]

\item  Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de $a$ à $0,1$  près, sachant qu'une flûte doit contenir 12,5~cL, c'est-à-dire $125$~cm$^3$. Aucune justification n'est attendue.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un client commande un lot de $400$ flûtes de $12,5$~cL et constate que $13$ d'entre elles ne sont pas conformes aux caractéristiques annoncées par le fabricant.

Le responsable des ventes lui avait pourtant affirmé que 98\,\% des flûtes vendues par l'entreprise étaient conformes.

Le lot de ce client permet-t-il, aux risques de 5\,\%, de mettre en doute l'affirmation du responsable ?

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une machine fabrique des boules destinées à un jeu de hasard. 

La masse en grammes, de chacune de ces boules peut-être modélisée par une variable aléatoire $M$ suivant une loi normale d'espérance $52$ et d'écart type $\sigma$.

Les boules dont la masse est comprise entre $51$ et $53$ grammes sont dites conformes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec les réglages initiaux de la machine on a $\sigma = 0,437$.

Dans ces conditions, calculer la probabilité qu'une boule fabriquée par cette machine soit 
conforme. On donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près du résultat.
\item On considère que la machine est correctement réglée  si au moins 99\,\% des boules qu'elle fabrique sont conformes.

Déterminer une valeur approchée de la plus grande valeur de $\sigma$ qui permet d'affirmer que la machine est correctement réglée.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La pesée des boules se fait sur des balances électroniques de précision. Chaque jour, on vérifie que la balance n'est pas déréglée. La durée, en jour, d'utilisation de ces balances avant dérèglement est modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La courbe représentative de la fonction densité de cette variable aléatoire $T$ est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.2cm,yunit=30cm,comma=true}
\begin{pspicture}(60,0.12)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!50]
{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11}{2.71828 0.054 x mul neg exp 0.054 mul}
\psline(11,0)(0,0)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=0.05,ticks=y,subticks=5](0,0)(0,0)(60,0.12)
\uput[d](11,0){11}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{60}{2.71828 0.054 x mul neg exp 0.054 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner un encadrement de $\lambda$ d'amplitude $0,01$.
		\item L'aire du domaine grisé, en unité d'aire, est égale à $0,45$. Déterminer la valeur exacte de $\lambda$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
Dans la suite, on prendra $\lambda = 0,054$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer, à un jour près, la durée moyenne d'utilisation d'une balance sans qu'elle ne se dérègle.
\item Une balance est mise en service le 1\up{er} janvier 2020. Elle fonctionne sans se dérégler du 1\up{er} au 20 janvier inclus.

Déterminer la probabilité qu'elle fonctionne sans se dérégler jusqu'au $31$ janvier inclus.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On dispose de deux urnes $U$ et $V$ contenant des boules fabriquées comme précédemment. Sur chacune des boules est inscrit l'un des nombres $- 1$, 1, ou 2.

L'urne $U$ contient une boule portant le nombre 1 et trois boules portant le nombre $- 1$. 

L'urne $V$ contient une boule portant le nombre 1 et trois boules portant le nombre $2$. 

On considère un jeu lequel chaque partie se déroule de la manière suivante : dans un premier temps on tire au hasard une boule dans l'urne $U$, on note $x$ le nombre inscrit sur cette boule puis on la met dans l'urne $V$. Dans un deuxième temps, on tire au hasard une boule dans l'urne $V$ et on note $y$ le nombre inscrit sur cette boule.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $U_1$ : \og on tire une boule portant le nombre 1 dans l'urne $U$, c'est-à-dire $x = 1$ \fg{} ;
\item $U_{-1}$ : \og on tire une boule portant le nombre $- 1$ dans l'urne $U$ c'est-à-dire $x =  -1$ \fg{} ;
\item $V_2$ : \og on tire une boule portant le nombre 2 dans l'urne $V$ c'est-à-dire $y = 2$ \fg{}; 
\item $V_1$ : \og on tire une boule portant le nombre 1 dans l'urne $V$ c'est-à-dire $y = 1$ \fg{};
\item $V_{-1}$ : \og on tire une boule portant le nombre $- 1$ dans l'urne $V$ \fg{}, c'est-à-dire $y = -1$ \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré représenté ci-dessous

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$U_1$~~}\taput{\ldots}}
	{\TR{$V_2$}\taput{\ldots}
	\TR{$V_1$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$U_{-1}$~~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$V_2$}\taput{$\frac{3}{5}$}
	\TR{$V_1$} \taput{\ldots}
	\TR{$V_{-1}$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Dans ce jeu, à chaque partie on associe le nombre complexe $z =  x +  \text{i}y$.

Calculer les probabilités des évènements suivants. Les réponses seront justifiées.
	\begin{enumerate}
		\item $A$ : \og $z = - 1 - \text{i}$\fg{} ;
		\item $B$ : \og $z$ est solution de l'équation $t^2 + 2t + 5 = 0$ \fg{};
		\item $C$ : \og Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} le point $M$ d'affixe $z$ appartient au disque de centre O et de rayon 2 \fg.
	\end{enumerate}
\item Lors d'une partie, on obtient le nombre 1 sur chacune des boules tirées. Montrer que le nombre complexe $z$ associé à cette partie vérifie $z^{\np{2020}} = - 2^{\np{1010}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{L'objectif de cet exercice est de déterminer les position relative de différents objets de l'espace}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points A(1~;~1~;~4) ; B(4~;~2~;~5) ; C$(3~;~0~;~- 2)$ et J(1~;~4~;~2).

\smallskip

\hspace*{-0.22cm}\begin{tabular}{l l}
On note :& $\bullet~~$ $\mathcal{P}$ le plan passant par les points A, B et C ;\\
&$\bullet~~$ $\mathcal{D}$ la droite passant par le point J et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$.
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Position relative de $\mathcal{P}$ et de $\mathcal{D}$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\ -4\\1\end{pmatrix}$  est normal à $\mathcal{P}$.
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
		\item Montrer que $\mathcal{D}$ est parallèle à $\mathcal{P}$.	
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}

On rappelle que, un point I et un nombre réel strictement positif $r$ étant donnés, la sphère de centre I  et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant I$M = r$.

On considère le point I\,(1~;~9~;~0) et on appelle $\mathcal{S}$ la sphère de centre I et de rayon 6.

	\begin{enumerate}[resume]
\item Position relative de $\mathcal{P}$ et de $\mathcal{S}$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $\Delta$ passant par I et orthogonale au plan $\mathcal{P}$ coupe ce plan $\mathcal{P}$ au point H(3~;~1~;~2).
		\item Calculer la distance IH.
		
On admet que pour tout point $M$ du plan $\mathcal{P}$ on a I$M \geqslant \text{IH}$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ coupe-t-il la sphère $\mathcal{S}$ ? Justifier la réponse
	\end{enumerate}

\item Position relative de $\mathcal{D}$ et de $\mathcal{S}$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
		\item Montrer qu'un point $M$ de  coordonnées $(x~;~y~;~z)$ appartient à la sphère $\mathcal{S}$ si et seulement si :

\[(x - 1)^2 + (y - 9)^2 + z^2 = 36.\]

		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe la sphère en deux points distincts.
		
On ne cherchera pas à déterminer les coordonnées de ses points.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip


On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel non nul $n$, par :

\[u_n = \dfrac{n(n + 2)}{(n + 1)^2}.\]

La suite $\left(v_n\right)$ est définie par :

$v_1 = u_1,\:v_2 = u_1 \times u_2$  et pour tout entier naturel $n \geqslant 3$,\: $v_n = u_1 \times u_2 \times \ldots \times u_n = v_{n-1} \times u_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que l'on a $v_2 = \dfrac{2}{3}$ puis calculer $v_3$.
\item ~

\parbox{0.62\linewidth}{On considère l'algorithme incomplet  ci-contre. Recopier et compléter sur la copie cet algorithme afin que, après son exécution, la variable $V$ contiennent la valeur $v_n$ où $n$ est un nombre entier naturel non nul définie par l'utilisateur.

Aucune justification n'est attendue.}\hfill
\parbox{0.36\linewidth}{\begin{tabular}{|l l|}\hline
  &Algorithme \\ \hline 
\hspace*{-0.16cm}1.&$V \gets 1$\\
2.&Pour $i$ variant de 1 à $n$\\
3.&\quad $U \gets \dfrac{\ldots (\ldots + 2)}{(\ldots + 1)^2}$\\
4.&\quad $V \gets \ldots$\\
5.&Fin Pour \\\hline
\end{tabular}
}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n =  1 - \dfrac{1}{(n + 1)^2}$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $0 < u_n < 1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est décroissante
		\item Justifier que la suite $\left(v_n\right)$  est convergente (on ne demande pas de calculer sa limite).
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout entier naturel non nul $n$, \:$v_{n+1} = v_n \times \dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2}$.
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$,\:$v_n = \dfrac{n + 2}{2(n + 1)}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
	\end{enumerate}

\item On considère la suite $w_n$ définie par 

$w_1 = \ln \left(u_1\right)$,\: $w_2 = \ln \left(u_1\right) + \ln \left(u_2\right)$  et, pour tout entier naturel $n \geqslant 3$, par

\[w_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \ln \left(u_k\right) = \ln \left(u_1\right) + \ln \left(u_2\right) + \ldots + \ln \left(u_n\right).\]

Montrer que $w_7 = 2w_1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on définit les entiers $a_n = 6 \times 5^n - 2$ et $b_n = 3 \times 5^n + 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, chacun des entiers $a_n$ et $b_n$ est congru à $0$ modulo $4$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, calculer $2b_n - a_n$.
		\item Déterminer le PGCD de $a_n$ et $b_n$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $b_{\np{2020}} \equiv  3 \times 2^{\np{2020}} + 1\:\: [7]$.
		\item En remarquant que $\np{2020} = 3 \times 673 + 1$, montrer que $b_{\np{2020}}$ est divisible par $7$.
		\item L'entier $a_{\np{2020}}$ est-il divisible par $7$ ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par:

\[u_0 = v_0 = 1 \:\text{et, pour tout entier naturel }\: n,\:\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+1}&=&3u_n+4v_n\\
v_{n+1}&=&\phantom{3}u_n + 3v_n
\end{array}\right.\]

Pour un entier naturel $N$ donné, on souhaite calculer les termes de rang $N$ des suites 
$\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ et on se demande si l'algorithme ci-contre permet ce calcul.}\hfill
\parbox{0.25\linewidth}{\begin{tabular}{|l|l|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Algorithme}}\\ \hline
1.&$U \gets 1$\\ \hline
2.&$V\gets 1$\\ \hline
3.&$K \gets  0$\\ \hline
4.& Tant que $K < N$\\ \hline
5.&$U \gets 3U + 4V$\\ \hline
6.&$V \gets U + 3V$\\ \hline
7.&$K \gets K+1$\\ \hline
8.&Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}}

\medskip

\parbox{0.51\linewidth}
{
\begin{enumerate}
\item On fait fonctionner l'algorithme avec $N = 2$.

Recopier et compléter le tableau ci-contre en donnant les valeurs successivement affectées aux variables $U$,\: $V$ et $K$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}
{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$U$	&$V$&$K$\\ \hline
1	&1	&0\\ \hline
7	& 10&1\\ \hline
	& &\\ \hline
\end{tabularx}
}

\begin{enumerate}[label=\textbf{2.}]
\item L'algorithme permet-il effectivement de calculer $u_N$ et $v_N$ pour une valeur de $N$ donnée ?

Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de cet algorithme afin que les variables $U$ et $V$ contiennent bien les valeurs de $u_N$ et $v_N$ à la fin de son exécution. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on définit la matrice colonne 
$X_n = \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, sans justification, une matrice carrée $A$ d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel $n$ :

\[X_{n+1} = AX_n.\]

\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $X_n = A^nX_0$.
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, \: $A^n = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}
2 \times 5^n + 2&4 \times  5^n - 4\\
5^n - 1&2 \times  5^n + 2
\end{pmatrix}$.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = \dfrac{a_n}{4}$ et $v_n = \dfrac{b_n}{4}$ ,où $a_n$ et $b_n$ sont les nombres entiers définis dans la \textbf{partie A}.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ et $v_n$ sont premiers entre eux.
\end{enumerate}

\end{document}