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%Merci à Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{26 novembre 2019}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S -- Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[7pt]
26 novembre 2019}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.\\
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.\\
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Une entreprise est spécialisée dans la vente de carrelage. 

\smallskip

\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} sont indépendantes.}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

On suppose dans cette partie que l'entreprise vend des lots de carrelage contenant
$25$\,\% de carreaux avec motif et $75$\,\% de carreaux blancs.

Lors d'un contrôle qualité on observe que:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $2,25\,\%$ des carreaux sont fissurés ;
\item $6\,\%$ des carreaux avec motif sont fissurés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On prélève au hasard un carreau.

On note $M$ l'évènement \og le carreau a un motif \fg{} et $F$ l'évènement \og le carreau est fissuré \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre pondéré.
\item On sait que le carreau prélevé est fissuré.

Démontrer que la probabilité qu'il s'agisse d'un carreau avec motif est $\dfrac{2}{3}$.
\item  Calculer $P_{\overline{M}}(F)$, probabilité de $F$ sachant $\overline{M}$. 
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

On modélise l'épaisseur en millimètre d'un carreau pris au hasard par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 11$ et d'écart type $\sigma$.

Un carreau est commercialisable si son épaisseur mesure entre $10,1$~mm et $11,9$~mm. 

On sait que 99 \,\% des carreaux sont commercialisables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $P(X < 10,1) = 0,005$.
\item On introduit la variable aléatoire $Z$ telle que

\[Z = \dfrac{X - 11}{\sigma}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi suivie par la variable aléatoire $Z$.
		\item Démontrer que $P\left(Z \leqslant - \frac{0,9}{\sigma}\right) = 0,005$.
		\item En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~2\pi]$ par

\[f(x) = -1,5 \cos(x) + 1,5\]

On admet que la fonction $f$ est continue sur $[0~;~2\pi]$.

On note $\mathcal{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3.5)(7,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-3.5)(7,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.282}{1 x 180 mul 3.14159 div cos sub 1.5 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{6.282}{1 x 180 mul 3.14159 div cos sub 1.5 mul neg}
\uput[u](5,1.15){\blue $\mathcal{C}_1$}\uput[d](5,-1.15){$\mathcal{C}_2$}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est positive sur $[0~;~2\pi]$.
\item Sur la figure ci-dessus, la courbe tracée en tiretés, notée $\mathcal{C}_2$, est la courbe
symétrique de $\mathcal{C}_1$ par rapport à l'axe des abscisses.

La forme d'un carreau est celle de la zone délimitée par les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.

On note $\mathcal{A}$ son aire, exprimée en unité d'aire. 

Calculer $\mathcal{A}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \ln \left(\dfrac{3x+ 1}{x + 1}\right).\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(5.2,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(5.2,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.1}{3 x mul 1 add x 1 add div ln}
\uput[u](5,0.95){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)$ et en donner une interprétation graphique.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ positif ou nul, 
		
		\[f'(x) = \dfrac{2}{(x + 1)(3x + 1)}\]
		
		\item En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par

\[u_0 = 3\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n, \: u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, \:~$\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
\item  Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite strictement positive.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On admet que $f(\ell) = \ell$.

\smallskip

L'objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de $\ell$.

On introduit pour cela la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = f(x) - x$.

\smallskip

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$ où 

$x_0 = \dfrac{- 2+ \sqrt{7}}{3} \approx 0,215$  et $g\left(x_0\right) \approx  0,088$, en arrondissant à $10^{-3}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](,2.4){$x$}\uput[u](2.15,2.4){$0$}\uput[u](5,2.4){$x_0$}\uput[u](7.6,2.4){$+ \infty$}
\rput(1,1.9){Variations }\rput(1,1.3){de la}\rput(1,0.7){fonction $g$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,2)\psline{->}(5.5,2)(7.5,0.5)
\uput[u](2.15,0){$0$}\uput[d](5,2.5){$g\left(x_0\right)$}\uput[u](7.5,0){$- \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive. On la note $\alpha$.
\item ~

\parbox{0.65\linewidth}{
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-contre afin que la dernière valeur prise par la variable $x$ soit une valeur approchée de $\alpha$ par excès à $0,01$ près.
		\item Donner alors la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l'exécution de l'algorithme.
	\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.32\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$x \gets  0,22$\\
Tant que \ldots \ldots \ldots faire\\
\hspace{1.25cm}$x \gets x + 0,01$\\
Fin de Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
}
\item  En déduire une valeur approchée à 0,01 près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit ABCDEFGH un cube et I le centre du carré ADHE, c'est-à-dire, le milieu du segment [AH] et du segment [ED]. Soit J un point du segment [CG].

La section du cube ABCDEFGH par le plan (FIJ) est le quadrilatère FKLJ.

\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6.5)
\pspolygon(0.5,1.5)(3.5,1)(5.6,2.1)(5.6,5.3)(2.6,5.8)(0.5,4.7)%BCDHEF
\psline(5.6,5.3)(3.5,4.2)(3.5,1)%HGC
\psline(3.5,4.2)(0.5,4.7)%GF
\psline(0.5,4.7)(3.5,2.1)(5.6,2.7)%FJL
\psline[linestyle=dashed](0.5,4.7)(2.6,5.2)(5.6,2.7)%FKL
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.6,2.6)(5.6,2.1)%BAD
\psline[linestyle=dashed](2.6,2.6)(2.6,5.8)%%AE
\uput[ul](2.6,2.6){A} \uput[l](0.5,1.5){B} \uput[d](3.5,1){C} 
\uput[r](5.6,2.1){D} \uput[u](2.6,5.8){E} \uput[ul](0.5,4.7){F} 
\uput[u](3.5,4.2){G} \uput[ur](5.6,5.3){H} \uput[ur](4.1,3.95){I} 
\uput[dr](3.5,2.1){J} \uput[ur](2.6,5.2){K}\uput[r](5.6,2.7){L}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](4.1,3.95)
\rput(3,0.3){Figure 1}
\end{pspicture}
&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6.5)
\pspolygon(0.5,1.5)(3.5,1)(5.6,2.1)(5.6,2.7)(2.6,5.2)(0.5,4.7)%BCDLKFB
\psline(3.5,1)(3.5,2.1)(0.5,4.7)%CJF
\psline(0.5,4.7)(3.5,2.1)(5.6,2.7)%FJL
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.6,2.6)(5.6,2.1)%BAD
\psline[linestyle=dashed](2.6,2.6)(2.6,5.2)%%AK
\uput[ul](2.6,2.6){A} \uput[l](0.5,1.5){B} \uput[d](3.5,1){C} 
\uput[r](5.6,2.1){D}  \uput[ul](0.5,4.7){F} \uput[ur](2.6,5.2){K}
 \uput[ur](4.1,3.95){I} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](4.1,3.95)
\uput[dr](3.5,2.1){J} \uput[r](5.6,2.7){L} 
\rput(3,0.3){Figure 2}
\end{pspicture}\\
\end{tabular}

\end{center}

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},\vect{\text{AD}},\vect{\text{AE}}\right)$. 

On a donc A(0~;~0~;~0), B(1~;~0~;~0), D(0~;~1~;~0) et E(0~;~0~;~1).

\smallskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées de manière indépendante.} 

\begin{center}

\textbf{Partie A}\end{center}
Dans cette partie, le point J a pour coordonnées $\left(1~;~1~;~\dfrac{2}{5}\right)$

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les coordonnées du point I sont $\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (FIJ). 
\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (FIJ) est

\[-x + 3y + 5z - 4 = 0.\]

	\end{enumerate}
\item  Soit $d$ la droite orthogonale au plan (FIJ) et passant par B.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
		\item On note M le point d'intersection de la droite $d$ et du plan (FIJ).
		
Démontrer que M $\left(\dfrac{6}{7}~;~\dfrac{3}{7}~;~\dfrac{5}{7}\right)$.
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(6,6.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,1.5)(3.5,1)(5.6,2.1)(5.6,5.3)(2.6,5.8)(0.5,4.7)%BCDHEF
\psline(5.6,5.3)(3.5,4.2)(3.5,1)%HGC
\psline(3.5,4.2)(0.5,4.7)%GF
\psline(0.5,4.7)(3.5,2.1)(5.6,2.7)%FJL
\psline[linestyle=dashed](0.5,4.7)(2.6,5.2)(5.6,2.7)%FKL
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.6,2.6)(5.6,2.1)%BAD
\psline[linestyle=dashed](2.6,2.6)(2.6,5.8)%%AE
\uput[ul](2.6,2.6){A} \uput[l](0.5,1.5){B} \uput[d](3.5,1){C} 
\uput[r](5.6,2.1){D} \uput[u](2.6,5.8){E} \uput[ul](0.5,4.7){F} 
\uput[u](3.5,4.2){G} \uput[ur](5.6,5.3){H} \uput[ur](4.1,3.95){I} 
\uput[dr](3.5,2.1){J} \uput[ur](2.6,5.2){K}\uput[r](2.4,4.2){M}\uput[r](5.6,2.7){L}
\psline[linestyle=dashed](0,0.786)(4,6.5)
\psline(0,0.786)(0.5,1.5)
\psline(2.8,4.786)(4,6.5)
\pswedge*(0.5,1.5){5mm}{56}{90}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](2.4,4.2)(4.1,3.95)
\rput(3,0.3){Figure 1}

\end{pspicture}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\vect{\text{BM}} . \vect{\text{BF}}$.
		\item En déduire une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{\text{MBF}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Dans cette partie, J est un point quelconque du segment [CG].

Ses coordonnées sont donc $(1~;~1~;~ a)$, où $a$ est un réel de l'intervalle [0~;~1].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la section du cube par le plan (FIJ) est un parallélogramme.
\item On admet alors que L a pour coordonnées $\left(0~;~ 1~;~\dfrac{a}{2}\right)$.

Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ le quadrilatère FKLJ est-il un losange ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.}

\begin{center}

\textbf{Partie A}
\end{center}

On considère l'équation $(E)$ :

\[25z^2 - 14z + 25 = 0.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $(E)$. On écrira les solutions sous forme algébrique.

\parbox{0.45\linewidth}{\item  Démontrer que les solutions de $(E)$ sont de module 1.
\item On note $\alpha$ le réel de l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que

\[\cos \alpha = \dfrac{7}{25} \quad \text{ et}\quad  \sin \alpha = \dfrac{24}{25}.\]

Écrire les solutions de $(E)$ sous forme exponentielle en fonction de $\alpha$.
\item La figure ci-contre fait apparaître huit points du cercle unité. Deux de ces huit points ont une affixe solution de l'équation $(E)$. Lesquels ?} \hfill
\parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-1.6,-1.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1;16.26)(1;-16.26)(1;73.74)(1;106.26)(1;163.74)(1;196.26)(1;-106.26)(1;-73.74)
\uput[ur](1;16.26){B} \uput[ur](1;73.74){A} \uput[ul](1;106.26){H} \uput[ul](1;163.74){G} 
\uput[dl](1;196.26){F} \uput[dl](1;-106.26){E} \uput[dr](1;-73.74){D} \uput[dr](1;-16.26){C} 
\pscircle(0,0){1}
\end{pspicture}}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation A} :

\[\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{\np{2019}} = 1.\]

\item Soit $z$ le nombre complexe $\dfrac{1}{6}(2 + 5\text{i})$.

\textbf{Affirmation B} :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} |z|^n = 0.\]

\item On rappelle que, pour tout nombre réel $x$,

\[\cos(2x) = \cos^2 (x) - \sin^2 (x).\]

\textbf{Affirmation C }:

Pour tout nombre réel $a$ de $[-\pi~;~ 0]$ tel que $\cos (2a) = \dfrac{7}{25}$, on a $\sin (a) = - \dfrac{3}{5}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

\[a_n = \dfrac{4^{2n+1}  +1}{5}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a_2$ et $a_3$.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 16a_n - 3$.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $a_n$ est un nombre entier naturel.
\item Dans cette question on utilise l'égalité de la question \textbf{2.} afin de démontrer plusieurs propriétés des termes de la suite $\left(a_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le plus grand diviseur commun de $a_n$ et $a_{n+1}$.
		
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $d_n$ est égal à 1 ou à 3.
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} \equiv a_n\:\: [3]$.
		\item  Vérifier que $a_0 \equiv 1\:\:[3]$.
		
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $a_n$ n'est pas divisible par 3.
		\item  Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$,\: $a_n$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.
	\end{enumerate}
\item L'objectif de cette question est de démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, le nombre $a_n$ n'est pas premier.

On pose, pour tout entier naturel $n$,

\[b_n = 2^{n+1}\left(2^n - 1\right) +1\quad  \text{et}\quad  c_n = 2^{n+1}\left(2^n + 1\right) +1.\]

On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$,

\[5a_n = b_nc_n.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, 
		
		\[5 \:\text{divise} \:b_n \quad \text{ou} \quad 5 \:\text{divise}\:c_n.\]
		
		\item Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Démontrer que $b_n > 5$ et $c_n > 5$.
		\item En déduire que $a_n$ n'est pas un nombre premier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}