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%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
%%% dernière mise à jour : novembre 2017
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie  novembre 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] 

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$. 
		\item Calculer $f'(x)$ et déterminer le tableau de variations de $f$. 
		\item En déduire le signe de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout nombre réel $a$, on considère l'intégrale : $I(a) = \displaystyle\int_{0}^a f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner selon les valeurs de $a$ le signe de $I(a)$. 
		\item À l'aide d'une double intégration par parties montrer que pour tout nombre réel $a$ : 
\[I(a) = 2 - 2\text{e}^{-a}\left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right).\]
		\item En déduire pour tout nombre réel $a$ :
		
\[\dfrac{1}{2}\text{e}^{a}I(a) = \text{e}^{a} - \left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right).\]
		 
	\end{enumerate}
\item Soient $g$ et $h$ les fonctions définies sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x$ et $h(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$.
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $g$ et $\mathcal{P}$ celle de $h$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ ont la même tangente au point \mbox{d'abscisse $0$.} 
		\item Déduire des questions précédentes la position relative des courbes $\mathcal{C}$ \mbox{et $\mathcal{P}$.}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$.

Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$.
 
Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.
  
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'évènement : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $T_{n}$ : \og le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage. \fg 
\item $P_{n}$ : \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On considère alors la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par :
 
\[u_{n} = p\left(T_{n}\right)\]
 
où $p\left(T_{n}\right)$ est la probabilité de l'évènement $T_{n}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les valeurs des probabilités $p\left(T_{1}\right),~p\left(P_{1}\right)$ et des probabilités conditionnelles $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right),~p_{P_{1}}\left(T_{2}\right)$. 
		\item  Montrer que $p\left(T_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$. 
		\item  Recopier et compléter l'arbre suivant :
		
\begin{center} 
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesep=1.75pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$T_{n}$}\taput{$u_{n}$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$\ldots$}
\TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$\ldots$}
 		}
	\pstree{\TR{$P_{n}$}\tbput{$\ldots$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$\ldots$}
\TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$\ldots$}
 		}
}
\bigskip
\end{center} 
		\item Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1,~ u_{n+1} = 0,1 u_{n} + 0,2$. 
		\item À l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par :
  
\[v_{n} = u_{n} - \dfrac{2}{9}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$. Préciser son premier terme.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en \textbf{1. e.} ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On considère l'équation notée $(E)$ :
 
\[3x + 7 y = 10^{2n}~ \text{où}~ x~ \text{et}~ y~ \text{sont des entiers relatifs.}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un couple $(u~;~v)$ d'entiers relatifs tels que $3 u + 7v = 1$.
		 
En déduire une solution particulière $\left(x_{0}~;~y_{0}\right)$ de l'équation $(E)$. 
		\item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x~; ~y)$ solutions \mbox{de $(E)$.}
	\end{enumerate} 
\item On considère l'équation notée $(G)$
  
\[3x^2 + 7 y^2 = 10^{2n}~ \text{où}~ x~ \text{et}~ y~ \text{sont des entiers relatifs.}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $100 \equiv 2~ (\text{modulo}~ 7)$.
		 
Démontrer que si $(x~;~y)$ est solution de $(G)$ alors $3x^2 \equiv 2^n~ (\text{modulo}~7)$. 
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant :
		
		\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Reste de la division euclidienne de $x$ par 7& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline%
Reste de la division euclidienne de $3x^2$ par $7$.&&&&&&& \\ \hline% 
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\medskip 
		\item Démontrer que $2^n$ est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.
		 
En déduire que l'équation $(G)$ n'admet pas de solution.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~ ;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}} \right)$.

On considère le cube ABCDEFGH représenté sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.
 
On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points I, J et K. 
\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~1~;~1)$ est orthogonal à $\vect{\text{IK}}$ et à $\vect{\text{IJ}}$.
 
En déduire qu'une équation du plan (IJK) est : $4x + 2y + 2z - 5 = 0$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (CD). 
		\item  En déduire que le point d'intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{4}~;~1~;~ 0\right)$. 
		\item  Placer le point R sur la figure.
	\end{enumerate} 
\item Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). On peut répondre à cette question sans avoir traité les précédentes. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la distance du point G au plan (IJK) est $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$. 
		\item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre G passant par F.
 
Justifier que la sphère $\mathcal{S}$ et le plan (IJK) sont sécants.
 
Déterminer le rayon de leur intersection.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} = 2\text{i}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. 
		\item Placer les points A et B sur une figure que l'on complètera au cours de l'exercice. 
		\item Déterminer la nature du triangle OAB.
	\end{enumerate} 
\item On note $r$ la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point $M$ d' affixe $z$, on note $M'$ l'image de $M$ par $r$ et $z'$ l'affixe du point $M'$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer un argument du quotient $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$. Interpréter géométriquement ce résultat.  
		\item  En déduire l'écriture complexe de la rotation $r$.
	\end{enumerate} 
\item Soient $\Gamma$ le cercle de centre A passant par O et $\Gamma '$ le cercle de centre B passant par O.
 
Soit C le deuxième point d'intersection de $\Gamma$ et $\Gamma '$ (autre que O). On note $z_{\text{C}}$ son affixe. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le cercle $\Gamma '$ est l'image du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$. 
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{I}}$ du milieu I de [AB]. 
		\item Déterminer la nature du quadrilatère OACB. 
		\item En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l'affixe de C est : 
\[z_{\text{C}} = 1 + \left(2 + \sqrt{3}\right)\text{i}.\]
	\end{enumerate} 
\item  Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 2\text{i}\sqrt{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le point D appartient au cercle $\Gamma$. Placer D sur la figure. 
		\item Placer D$'$ image de D par la rotation $r$ définie à la question 2.
		 
On note $z_{\text{D}'}$ l'affixe de D$'$.
 
Montrer que $z_{\text{D}'} = - \sqrt{3} + 3\text{i}$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{DC}}$ et $\vect{\text{DD}'}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(12,12)
\psline(2.8,7)(7,6.3)(8.8,8.5)(4.6,9.1)(2.8,7)(2.8,3.1)(7,2.4)(8.8,4.5)(8.8,8.5)%FGHEFBCDH
\psline(7,2.4)(7,6.3)%CG
\uput[l](4.6,5.1){A} \uput[l](2.8,3.1){B} \uput[dr](7,2.4){C} 
\uput[dr](8.7,4.5){D} \uput[ul](4.6,9.1){E} \uput[l](2.8,7){F} 
\uput[ul](7,6.3){G} \uput[ur](8.8,8.5){H}
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(2.8,3.1)%AB
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(8.7,4.5)%AD
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(4.6,9.1)%AE
\psline{->}(2.8,3.1)(0.5,0.5) \uput[dl](0.5,0.5){$x$}%Bx
\psline{->}(8.8,4.5)(12,4) \uput[r](12,4){$y$}%Dy
\psline{->}(4.6,9.1)(4.6,12)\uput[u](4.6,12){$z$}%Ez
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}