\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}		
\usepackage[T1]{fontenc}	
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tabularx,array}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{cancel}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès merci à Clotilde Rouchon pour le sujet 
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},\vect{v}\right)$}
\makeindex
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie 28 novembre 2017},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\relpenalty=10000			% Pour ne pas couper les formules.
\binoppenalty=10000
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%    crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%    crochet droit
\renewcommand{\d}{\text{d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\text{\,e\,}}%       le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}% le i des complexes
\newcommand{\pg}{\geqslant}%     supérieur ou égal à
\newcommand{\pp}{\leqslant}%     inférieur ou égal à
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie \& Wallis et Futuna}}
\rfoot{\small{26 février 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \& Wallis et Futuna~\decofourright}}

%\begin{center}{\Large\textbf{\begin{minipage}{\linewidth} \centering \decofourleft~Baccalauréat S {\Large Nouvelle-Calédonie \& Wallis et Futuna~\decofourright}\\ \end{minipage}}}

\bigskip

\textbf{26 février 2018}

\end{center}

\begin{center}
\textbf{Exercice 1} (4 points)

\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}

\medskip

\emph{Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule
des quatre affirmations est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la
question et la réponse correspondante. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d'écart-type $36$.

On a alors, à $10^{-3}$ près :

	\begin{enumerate}
		\item $P(X \leqslant 81,2) \approx 0,542$
		\item $P(X \leqslant 81,2) \approx 0,301$
		\item $P(81,2 \leqslant X \leqslant 103,8) \approx 0,542$
		\item $P(81,2 \leqslant X \leqslant 103,8) \approx 0,301$
	\end{enumerate}
 
\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $50$ et d'écart-type $2$.
 
Une variable aléatoire $N$ suit la loi normale centrée réduite. On a alors :

	\begin{enumerate}
		\item $P(X > 52)  = \dfrac{1 - P(- 2 < N < 2)}{2}$
		\item $P(X > 52) = 1 - P(- 2 < N < 2)$
		\item $P(X > 52) = \dfrac{1 - P(- 1 < N < 1)}{2}$
		\item $P(X> 52) = 1 - P(- 1 < N < 1)$
	\end{enumerate} 
\item Une variable aléatoire $T$ suit une loi exponentielle telle que $P(T > 2) = 0,5$.

Une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $P_{(T > 2)}(T > 5)$ est égale à :
	\begin{enumerate}
		\item 0,35
		\item 0,54
		\item 0,53
		\item $\dfrac{\text{e}}{2}$
\end{enumerate}

\item Une urne contient 5 boules bleues et 3 boules grises indiscernables au toucher.

On tire successivement de manière indépendante 5 boules avec remise dans cette
urne. On note alors $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de boules grises
tirées.

On note $E(X)$ l'espérance de $X$. On a alors :

	\begin{enumerate}
		\item $E(X) = 3$
		\item $E(X) = \dfrac{3}{8}$
		\item $P(X \geqslant 1) \approx 0,905$ à $10^{-3}$ près
		\item $P(X \geqslant 1) \approx 0,095$ à $10^{-3}$ près
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Exercice 2} (5 points)

\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}

Soient les deux nombres complexes :

\[z_1 = 1 - \text{i}\quad \text{et} \quad  z_2 = -8 - 8 \sqrt{3}\text{i}.\]

On pose :

\[Z = \dfrac{z_1}{z_2}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la forme algébrique de $Z$.
\item Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
\item Écrire $Z$ sous forme exponentielle puis sous forme trigonométrique.
\item En déduire que $\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
\item On admet que :

\setlength\parindent{12mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$\sin \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
\item[$\bullet~~$]pour tous réels $a$ et $b$,\: $\cos a \cos b - \sin a \sin b = \cos(a + b)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Résoudre l'équation suivante dans l'ensemble des réels $\R$ :

\[\left(\sqrt{6} - \sqrt{2}\right) \cos x - \left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right) \sin x = -2\sqrt{3}.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{Exercice 3} (5 points)

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
\end{center}

Pour chacune des affirmations proposées, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier
cette réponse. 

Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
\[\left\{\begin{array}{l c r}
u_0 &=& 14\\
u_{n+1} &=& 2u_n - 5.
\end{array}\right.\]

Soit la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

\[t_n = u_n - 5.\]

\textbf{Affirmation A :} La suite $\left(t_n\right)$ est une suite géométrique.

\textbf{Affirmation B :} Pour tout entier naturel $n$,

\[u_n = 9 \times 2^n + 5.\]

\item  Soit une suite $\left(v_n\right)$.

\textbf{Affirmation C :} Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à 1,

\[- 1 - \dfrac{1}{n} \leqslant  v_n \leqslant  1 + \dfrac{1}{n}\]

alors la suite $\left(v_n\right)$ converge.
\item  \textbf{Affirmation D :} Pour tout entier naturel $n$ non nul,

\[(8 \times 1 + 3) + (8 \times 2 + 3) + \ldots + (8 \times n + 3) = n( 4n + 7).\]
\item  Soit $\left(w_n\right)$ une suite convergente.

\textbf{Affirmation E :} Si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $\left(w_n\right)$ sont strictement positifs, alors la limite de la suite $\left(w_n\right)$ est aussi strictement positive.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{Exercice 4} (6 points)

\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}

Soit $\R$ l'ensemble des nombres réels.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$,

\[g(x) = - 2x^3 + x^2 - 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $g$.
		\item Déterminer les limites de la fonction $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution dans $\R$, notée $\alpha$, et que
$\alpha$ appartient à $[-1~;~0]$.
\item En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$,

\[f(x) = \left(1 + x + x^2 + x^3\right)\text{e}^{-2x + 1}.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x > 1$,
		
		\[1 < x < x^2 < x^3.\]
		
		\item En déduire que, pour $x > 1$,
		
\[0 < f(x) < 4x^3 \text{e}^{-2x + 1}.\]
		
		\item On admet que, pour tout entier naturel $n$,\: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^n\text{e}^{-x} = 0$.

Vérifier que, pour tout réel $x$,\: $4x^3\text{e}^{-2x + 1} = \dfrac{\text{e}}{2} (2x)^3\text{e}^{-2x}$ puis montrer que :

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 4x^3\text{e}^{-2x + 1}  = 0.\]
		
		\item On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij.
		
En utilisant la question précédente, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et en donner une
interprétation graphique.
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $\R$,\: $f'(x) = \left(- 2x^3 + x^2 - 1\right)\text{e}^{-2x + 1}$.
\item  À l'aide des résultats de la partie A, déterminer les variations de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\end{document}