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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Merci à Yves IV fidèle pour le sujet
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2016}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Polynésie 10 juin 2016~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

Voici deux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ qui donnent pour deux personnes $P_1$ et $P_2$ de corpulences différentes la concentration $C$ d'alcool dans le sang (taux d'alcoolémie) en fonction du temps $t$ après ingestion de la même quantité d'alcool. L'instant $t = 0$ correspond au moment où les
deux individus ingèrent l'alcool.

$C$ est exprimée en gramme par litre et $t$ en heure.

\emph{Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps}

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.5)(6.5,1.75)
\psaxes[linewidth=.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(6.5,1.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2 x mul 2.71828 x exp div}
\uput[u](1.5,1){$\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{3 x mul 2.71828 x exp div}\uput[u](1.5,0.65){\blue $\mathcal{C}_2$}
\uput[u](6.25,0){$t$}\uput[r](0,1.65){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La fonction $C$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $C'$ sa fonction dérivée. À
un instant $t$ positif ou nul, la vitesse d'apparition d'alcool dans le sang est donnée
par $C'(t)$.

À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?

\emph{On dit souvent qu'une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l'alcool.}
\item Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus
corpulente. Justifier le choix effectué.
\item Une personne à jeun absorbe de l'alcool. On admet que la concentration $C$ d'alcool
dans son sang peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[f(t) = A t\text{e}^{-t}\]

où $A$ est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d'alcool
absorbée.
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(0)$.
		\item L'affirmation suivante est-elle vraie ?
		
\og À quantité d'alcool absorbée égale, plus $A$ est grand, plus la personne est corpulente. \fg
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Un cas particulier}

\medskip

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de
rhum. La concentration $C$ d'alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé
en heure, par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = 2 t\text{e}^{-t}.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item À quel instant la concentration d'alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir à $10^{-2}$ près.
\item Rappeler la limite de $\dfrac{\text{e}^t}{t}$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et en déduire celle de $f(t)$ en $+ \infty$.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle
que la législation autorise une concentration maximale d'alcool dans le sang de $0,2$~g.L$^{-1}$ pour un jeune conducteur.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que 
		
$f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2$.
		\item Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant
en toute légalité ?
		
Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
	\end{enumerate}
\item La concentration minimale d'alcool détectable dans le sang est estimée à 
	
$5 \times 10^{-3}$~g.L$^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe un instant $T$ à partir duquel la concentration d'alcool dans le
sang n'est plus détectable.
		\item On donne l'algorithme suivant où $f$ est la fonction définie par 
		
$f(t) = 2 t\text{e}^{-t}$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Initialisation} :	& $t$ prend la valeur $3,5$\\
							&$p$ prend la valeur $0,25$\\
							&$C$ prend la valeur $0,21$\\
\textbf{Traitement} :		& Tant que $C > 5 \times 10^{-3}$ faire :\\
							&\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
								$t$ prend la valeur $t + p$\\
								$C$ prend la valeur $f(t)$
							\end{tabular}\\
							&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}:			&Afficher $t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme.
		
Arrondir les valeurs à $10^{-2}$ près.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
	&Initialisation &Étape 1& Étape 2\\ \hline
$p$	&0,25		&			&\\ \hline
$t$	&3,5		&			&\\ \hline
$C$	&0,21		&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par 

\[u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.\]

On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par
\[v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5.\]

\begin{enumerate}
\item Voici un extrait de feuille de tableur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	&C\\ \hline
1	&$n$&$u$&$v$\\ \hline
2	&0	&2	&7\\ \hline
3	&1	&4	&14\\ \hline
4	&2	&9	&28\\ \hline
5	&3	&24	&56\\ \hline
6	&4	&63	&\\ \hline
7	&	&	&\\ \hline
8	&	&	&\\ \hline
9	&	&	&\\ \hline
10	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour
afficher les termes des suites $u$ et $v$ ?
\item Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un astronome responsable d'un club d'astronomie a observé le ciel un soir d'août 2015 pour
voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d'attente entre deux apparitions d'étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d'attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. En exploitant les données obtenues, il a établi que $\lambda = 0,2$.

Il prévoit d'emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d'août 2016
pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu'il sera dans des conditions d'observation
analogues à celles d'août 2015.

L'astronome veut s'assurer que le groupe ne s'ennuiera pas et décide de faire quelques calculs
de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu'il attende moins
de $3$~minutes pour voir l'étoile filante suivante est environ $0,451$.
\item Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour
voir la suivante avec une probabilité supérieure à $0,95$ ? Arrondir ce temps à la minute
près.
\item L'astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d'observations
d'étoiles filantes lors de cette sortie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient
les informations suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 64\,\% des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ;
\item[$\bullet~~$] 27\,\% des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope
personnel ;
\item[$\bullet~~$] 65\,\% des nouveaux adhérents n'ont pas de télescope personnel.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit un adhérent au hasard.
Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est $0,494$.
\item On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel.
Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent? Arrondir à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour des raisons pratiques, l'astronome responsable du club souhaiterait installer un site
d'observation sur les hauteurs d'une petite ville de \np{2500}~habitants. Mais la pollution lumineuse
due à l'éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre
la mairie de couper l'éclairage nocturne pendant les nuits d'observation, l'astronome réalise
un sondage aléatoire auprès de $100$~habitants et obtient $54$ avis favorables à la coupure de
l'éclairage nocturne.

L' astronome fait l'hypothèse que $50$\,\% de la population du village est favorable à la coupure
de l'éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l'amène-t-il à changer d'avis ?


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la
réponse choisie.\\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée
n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1 }:

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, les points A, B et C d'affixes
respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{2} + 3\text{i},\: z_{\text{B}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{C}} = - 4\text{i}$ ne sont pas alignés.
\item  \textbf{Proposition 2 } : 

Il n'existe pas d'entier naturel $n$ non nul tel que $\left[\text{i}(1 + \text{i})\right]^{2n}$ soit un réel strictement positif.
\item  ABCDEFGH est un cube de côté 1. Le point L est tel que $\vect{\text{EL}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{EF}}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\psframe(0.4,0.4)(3.5,3.5)%BCGF
%\psframe(1.4,1.5)(4.5,4.6)%ADHE
\psline(3.5,0.4)(4.5,1.5)(4.5,4.6)(3.5,3.5)%CDHG
\psline(4.5,4.6)(1.4,4.6)(0.4,3.5)%HEF
\psline[linestyle=dotted](0.4,0.4)(1.4,1.5)(4.5,1.5)%BAD
\psline[linestyle=dotted](1.4,1.5)(1.4,4.6)%AE
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.1,4.3)
\uput[ur](1.4,1.5){A} \uput[dl](0.4,0.4){B} \uput[dr](3.5,0.4){C} 
\uput[r](4.5,1.5){D} \uput[u](1.4,4.6){E} \uput[l](0.4,3.5){F} 
\uput[r](3.5,3.5){G} \uput[u](4.5,4.6){H} \uput[ul](1.1,4.3){L} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Proposition 3 }

La section du cube par le plan (BDL) est un triangle.

\textbf{Proposition 4 }

Le triangle DBL est rectangle en B.
\item   On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [2~;~5] et dont on connaît le tableau de
variations donné ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5)
\psline(0,2)(8,2)\psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,1.9){$x$} \uput[u](2.15,1.9){$2$} \uput[u](4,1.9){$3$} \uput[u](6,1.9){$4$} \uput[u](7.85,1.9){$5$} 
\rput(1,1.3){Variations}\rput(1,0.7){de $f$}
\uput[d](2.15,2){3} \uput[u](4,0){0}\rput(6,1){1} \uput[d](7.85,2){2}
\psline{->}(2.4,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(6.5,1.1)(7.5,1.5)\psline(4.3,0.3)(5.5,0.8)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Proposition 5 } :

L'intégrale $\displaystyle\int_2^5 f(x)\:\text{d}x$ est comprise entre $1,5$ et $6$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la
réponse choisie.\\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée
n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1}

Pour tout entier naturel $n$, le chiffre des unités de $n^2 + n$ n'est jamais égal à 4.
\item On considère la suite $u$ définie, pour $n \geqslant  1$, par

\[u_n = \dfrac{1}{n} \text{pgcd}(20~;~n).\]

\textbf{Proposition 2}

La suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

\item \textbf{Proposition 3}

Pour toutes matrices $A$ et $B$ carrées de dimension 2, on a $A \times  B = B \times A$.

\item Un mobile peut occuper deux positions $A$ et $B$. À chaque étape, il peut soit rester dans
la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{itemize}
\item $A_n$ l'évènement \og le mobile se trouve dans la position $A$ à l'étape $n$ \fg{} et $a_n$ sa probabilité.
\item $B_n$ l'évènement \og le mobile se trouve dans la position $B$ à l'étape $n$\fg{} et $b_n$ sa probabilité.
\item $X_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
 \end{itemize}
 
On admet que, pour tout entier nature $n,\: X_{n+1} = M \times X_n$ avec $M = \begin{pmatrix}0,55&0,3\\ 0,45&0,7\end{pmatrix}$.
 
\textbf{Proposition 4}

La probabilité $P_{A_n} \left(B_{n+1}\right)$  vaut 0,45.

\textbf{Proposition 5}

Il existe un état initial $X_0 = \begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}$ tel que la probabilité d'être en $B$ à l'étape 1 est trois fois plus grande que celle d'être en $A$ à l'étape 1, autrement dit tel que $b_1 = 3a_1$.
\end{enumerate}
\end{document}