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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small 19 juin 2019}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie 19 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Les probabilités demandées seront arrondies à 0,01. 

\medskip

Un commerçant vient de s'équiper d'un distributeur de glaces à l'italienne. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l'italienne est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif (on rappelle que la fonction $f$ de densité de la loi exponentielle est donnée sur $[0~;~ +\infty[$ par $f(x) = \lambda\text{e}^{- \lambda x}$.

\smallskip
 
Le vendeur de l'appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c'est-à-dire l'espérance mathématique de $X$, est de $10$~mois. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\lambda = 0,1$. 
		\item Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l'italienne n'ait connu aucune panne pendant les six premiers mois. 
		\item Sachant que le distributeur n'a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu'il n'en connaisse aucune jusqu'à la fin de la première année ? Justifier. 
		\item Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l'italienne au bout d'un temps $t$, exprimé en mois, qui vérifie que la probabilité de l'évènement $(X > t)$ est égale à $0,05$. 
		
Déterminer la valeur de $t$ arrondie à l'entier. 
	\end{enumerate}
\item  La notice du distributeur de glaces précise que le distributeur fournit des glaces à l'italienne dont la masse est comprise entre 55~g et 65~g. 

On considère la variable aléatoire $M$ représentant la masse, en grammes, d'une glace distribuée. On admet que $M$ suit la loi normale d'espérance $60$ et d'écart-type $2,5$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la masse d'une glace à l'italienne choisie au hasard parmi celles distribuées soit comprise entre $55$~g et $65$~g. 
		\item Déterminer la plus grande valeur de $m$, arrondie au gramme près, telle que la probabilité $P(M \geqslant m)$ soit supérieure ou égale à $0,99$. 
	\end{enumerate}
\item  Le distributeur de glaces à l'italienne permet de choisir un seul des deux parfums: vanille ou fraise. Pour mieux gérer ses achats de matières premières, le commerçant fait l'hypothèse qu'il y aura en proportion deux acheteurs de glace à la vanille pour un acheteur de glace à la fraise. Le premier jour d'utilisation de son distributeur, il constate que sur $120$ consommateurs, $65$ ont choisi de la glace à la vanille. 

Pour quelle raison mathématique pourrait-il mettre en doute son hypothèse ? Justifier. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

L'écoulement de l'eau d'un robinet a un débit constant et modéré. 

\medskip

\parbox{0.25\linewidth}{
\scalebox{0.3}{
\psset{unit=1cm,linewidth=3pt}
\def\xmin{-6} \def\xmax{1.6} \def\ymin{-7} \def\ymax{6.3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1,0)(1,2.2)
\psarc(-2,2.2){1.2}{0}{180}
\psarc(-2,2.2){2.8}{0}{180}
\psplot{0.2}{1}{x x -4 exp sub 20 div}
\psplot{-0.2}{-1}{x -1 mul x -4 exp sub 20 div}
\psline(-3.2,2.2)(-3.2,-3.5)
\psline(-4.8,2.2)(-4.8,-3.5)
\psframe(-5.4,-3.5)(-2.6,-5)
\psline[linestyle=dashed](0,\ymin)(0,\ymax)
\end{pspicture*}
}% fin du scalebox
%\includegraphics[width=3cm]{robinet_Polynesie}~
}\hfill
\parbox{0.7\linewidth}{
On s'intéresse en particulier à une partie du profil d'écoulement représentée en \textbf{annexe 1} par la courbe $C$ dans un repère orthonormé.
}

\bigskip
%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%

\textbf{Partie A}

\medskip 

On considère que la courbe $C$ donnée en \textbf{annexe 1} est la représentation graphique d'une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle ]0~;~1] qui respecte les trois conditions suivantes: 

\[(H):\: f(1) = 0\qquad  f'(1) = 0,25\quad \text{et} \:\: \displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = - \infty.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ peut-elle être une fonction polynôme du second degré ? Pourquoi ? 
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle  ]0~;~1] par $g(x) = k \ln x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le réel $k$ pour que la fonction $g$ respecte les trois conditions $(H)$. 
		\item La courbe représentative de la fonction $g$ coïncide-t-elle avec la courbe $C$ ? Pourquoi ? 
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~1] par $h(x) = \dfrac{a}{x^4} + bx$ où $a$ et $b$ sont des réels. 

Déterminer $a$ et $b$ pour que la fonction $h$ respecte les trois conditions $(H)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip  

On admet dans cette partie que la courbe $C$ est la représentation graphique d'une fonction $f$continue, strictement croissante, définie et dérivable sur l'intervalle ]0~;~1] d'expression: 

\[f(x) = \dfrac{1}{20}\left(x - \dfrac{1}{x^4} \right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation $f(x) = -5$ admet sur l'intervalle ]0~;~1] une unique solution qui sera notée $\alpha$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. 
\item  On admet que le volume d'eau en cm$^3$, contenu dans les 5 premiers centimètres de l'écoulement, est donné par la formule : $V = \displaystyle\int_{\alpha}^1\pi x^2 f'(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $u$ la fonction dérivable sur ]0~;~1] définie par $u(x) = \dfrac{1}{2x^2}$. Déterminer sa fonction dérivée. 
		\item Déterminer la valeur exacte de $V$. En utilisant la valeur approchée de $\alpha$ obtenue à la question 1, donner alors une valeur approchée de $V$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie par $I_0 = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1 - x}\:\text{d }x$ et pour tout entier naturel $n$ non nul 

 \[I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n}{1 - x}\:\text{d }x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $I_0 = \ln (2)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $I_0 - I_1$.
		\item  En déduire $I_1$.  
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: I_n - I_{n+1} = \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1}}{n+1}$. 
		\item Proposer un algorithme permettant de déterminer, pour un entier naturel $n$ donné, la valeur de $I_n$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. 

On admet que si $x$ appartient à l'intervalle $\left[0~;~\frac{1}{2}\right]$ alors $0 \leqslant \dfrac{x^n}{1 - x} \leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}$. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant  I_n \leqslant \dfrac{1}{2^n}$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. 
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose 

\[S_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^2}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^3}{3} + \ldots +\dfrac{\left( \frac{1}{2}\right)^n}{n}. \]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n = I_0 - I_n$. 
		\item Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4\hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi la spécialité }

\medskip

Sur la figure donnée en \textbf{annexe 2 à rendre avec la copie} : 

$\bullet~~$ ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB $= 12$, AD $= 18$ et AE $= 6$

$\bullet~~$ EBDG est un tétraèdre. 

\medskip. 

L'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine A dans lequel les points B, D et E ont pour coordonnées respectives B(12~;~0~;~0), 
D(0~;~18~;~0) et E(0~;~0~;~6). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le plan (EBD) a pour équation cartésienne $3x + 2y + 6z - 36 = 0$. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG). 
		\item En déduire que la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonnées (4~;~6~;~2) . 
	\end{enumerate}
\item  La droite (AG) est-elle orthogonale au plan (EBD) ? Justifier. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit M le milieu du segment [ED]. Démontrer que les points B, K et M sont alignés. 
		\item Construire alors le point K sur la figure donnée en annexe 2 à rendre avec la copie. 
	\end{enumerate}
\item  On note P le plan parallèle au plan (ADE) passant par le point K. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le plan P coupe le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED). 
		\item Construire alors sur l'\textbf{annexe 2} à rendre avec la copie l'intersection du plan P et de la face EBD du tétraèdre EBDG. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4\hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$  et les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par: 


$u_0 = 1,\: v_0 = 0$, et pour tout entier naturel $n$,\: $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = M\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$. 

\medskip

\textbf{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

On a calculé les premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|}\hline
$n$		&0	&1	&2	&3	&4&5	&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline 
$v_n$&0		&1	&4	&15	&56		&209&780&\np{2911}&\np{10864}&\np{40545}&\np{151316}&\np{564719}&\np{2107560}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Conjecturer les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$. 
\item On admet que pour tout entier naturel $n, \:\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix} = M^3\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier nature $n,\:\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+3}&=&26u_n + 45v_n\\
v_{n+3}&=&15u_n + 26v_n
\end{array}\right.$. 
 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n :\: v_{n+3} \equiv v_n \:[5]$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $r$ un entier naturel fixé. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel $q,\: v_{3q+r} \equiv v_r \:[5]$. 
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ le terme $v_n$ est congru à 0, à 1 ou à 4 modulo 5. 
\item Conclure quant à l'ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$·
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip 

L'objectif de cette partie est de démontrer que $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel en utilisant la matrice $M$. 

\medskip

Pour cela, on effectue un raisonnement par l'absurde et on suppose que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel. Dans ce cas, $\sqrt{3}$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls, avec $q$ le plus petit entier naturel possible. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $q < p < 2q$. 
\item  On admet que la matrice $M$ est inversible. Donner son inverse $M^{-1}$ (aucune justification n'est attendue). 

Soit le couple $(p'~;~q')$ défini par $\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $p' = 2p - 3q$ et que $q' = -p + 2q.$ 
		\item Justifier que $(p'~;~q')$  est un couple d'entiers relatifs. 
		\item On rappelle que $p = q\sqrt{3}$. Montrer que $p' = q'\sqrt{3}$. 
		\item Montrer que $0 < q' < q$. 
		\item En déduire que $\sqrt{3}$ n'est pas un rationnel. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 (exercice 2) :}

\medskip

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-1.25,-5.5)(1.25,1.25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1,0)(1,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.25,-5.5)(1.25,1.25)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.25}{1}{x x 4 neg exp sub 20 div}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=4,gridwidth=0.2pt]
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](0.25,-5){$C$}
\end{pspicture*}

\vspace{2cm}

\textbf{Annexe 2 (exercice 4 pour les candidats n'ayant pas suivi la spécialité) : à rendre avec la copie }

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(8.1,6.1)
\psframe(8,4)%ABFE
\psline(8,0)(9,1.5)(9,5.5)(8,4)%BCGF
\psline(9,5.5)(1,5.5)(0,4)%GHE
\psline(9,5.5)(0,4)(8,0)%GEB
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.5)(1,5.5)%ADH
\psline[linestyle=dashed](0,4)(1,1.5)(9,5.5)%EDG
\psline[linestyle=dashed](8,0)(1,1.5)(9,1.5)%BDC
\uput[l](0,0){A} \uput[r](8,0){B} \uput[r](9,1.5){C} \uput[l](1,1.5){D} 
\uput[l](0,4){E} \uput[r](8,4){F} \uput[r](9,5.5){G} \uput[l](1,5.5){H}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}

