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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Merci à Yves IV pour le sujet
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S }
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\rfoot{\small{9 septembre 2015}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (spécialité)  Polynésie~\decofourright\\[4pt]9 septembre 2015}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On rappelle que la partie réelle d'un nombre complexe $z$ est notée $\Re (z)$.\index{complexes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe $u = 1 - \text{i}$.
\item Déterminer, pour tout réel $\theta$, la forme algébrique et l'écriture exponentielle du nombre complexe $\text{e}^{\text{i} \theta} (1 - \text{i})$.
\item Déduire des questions précédentes que, pour tout réel $\theta$,\: 

$\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on admet que, pour tout réel $\theta,\: \cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$.

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :\index{fonction avec exponentielle}

\[f(x) = \text{e}^{-x} \cos(x)\quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^{-x}.\]

On définit la fonction $h$ sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = g(x) - f(x)$.

Les représentations graphiques $\mathcal{C}_f,\:  \mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ des fonctions $f,\: g$ et $h$ sont données, en annexe, dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Conjecturer:
	\begin{enumerate}
		\item les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$ ;
		\item la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{C}_g$ ;
		\item la valeur de l'abscisse $x$ pour laquelle l'écart entre les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ est maximal.
	\end{enumerate}
\item Justifier que $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item Démontrer que la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.\index{asymptote}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		
Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\: 

$h'(x) = \text{e}^{-x} \left[\sqrt{2}\cos  \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1\right]$.
		\item Justifier que, sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,\: $\sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \geqslant 0$ et que,
sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right],$

$ \sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \leqslant 0$.
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $H$ définie par

\[H(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{-x} [- 2 + \cos (x) - \sin (x)]\]

est une primitive de la fonction $h$.\index{primitive}

On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C_f}$ et $\mathcal{C_g}$, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2\pi$.

Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unités d'aire.\index{aire et intégrale}\hyperlink{Index}{*}
 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On étudie une maladie dans la population d'un pays. On a constaté que le taux, en nanogrammes
par millilitre $\left(\text{ng.mL}^{-1}\right)$, d'une substance Gamma présente dans le sang est plus élevé chez les personnes atteintes de cette maladie que chez les personnes qui n'en sont pas
atteintes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux de cette substance Gamma dans la population des personnes qui ne sont pas
atteintes par la maladie est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale
d'espérance $\mu = 40$ et d'écart-type $\sigma = 8$.\index{loi normale}

On choisit au hasard une personne parmi celles qui ne sont pas atteintes par la maladie
étudiée.

Calculer la probabilité que le taux dans le sang de la substance Gamma soit supérieur
à 60 ng.mL$^{-1}$.
\item Des études ont mis en évidence que le taux moyen de la substance Gamma chez les
personnes atteintes par la maladie étudiée est de 50 ng.mL$^{-1}$ et que 10\,\% d'entre elles
ont un taux de substance Gamma inférieur à 43 ng.mL$^{-1}$.

On appelle $T'$ la variable aléatoire qui modélise le taux de la substance Gamma en
ng.mL$^{-1}$ chez une personne atteinte par la maladie étudiée.

On admet que $T'$ suit la loi normale d'espérance $\mu'$ et d'écart-type $\sigma'$.\index{loi normale}

Préciser la valeur de $\mu'$ et déterminer la valeur de $\sigma'$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
 Pour dépister chez une personne la maladie étudiée, on effectue une prise de sang. On considère
que le dépistage est positif si le taux de la substance Gamma est supérieur ou égal à
45 ng.mL$^{-1}$.

Une personne étant choisie au hasard dans la population, on appelle :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement \og le patient est atteint par la maladie étudiée \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og le patient a un dépistage positif\fg.
\end{itemize}

On admet que :\index{probabilités}

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]82\,\% des personnes atteintes par la maladie étudiée ont un dépistage positif ;
\item[$\bullet~~$]73\,\% des personnes non atteintes par cette maladie ont un dépistage négatif.
\end{itemize}
On sait de plus que 10\,\% de la population étudiée est atteinte par cette maladie.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité qu'un patient ait un dépistage positif est de $0,325$.
\item Calculer $P_{\overline{D}}(M)$. Interpréter ce résultat.
\item Un patient a un dépistage positif. Le médecin le rassure en lui indiquant qu'il n'a
qu'une chance sur quatre d'avoir contracté la maladie. Qu'en pensez- vous ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Lors du dépistage précédent, la prise de sang est effectuée chez des sujets à jeun.

Les données montrent que 82\,\% des patients malades ont un dépistage positif.

Pour améliorer le confort des personnes susceptibles de subir cet examen sanguin, on souhaite
vérifier si le fait d'être à jeun est une condition indispensable dans le protocole.

On considère un groupe de $300$~personnes malades sur lesquelles la prise de sang n'est pas
effectuée à jeun.

Le dépistage se révèle positif pour 74\,\% d'entre elles.

Ce dépistage peut-il être effectué sur des personnes qui ne sont pas à jeun ?\hyperlink{Index}{*}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\parbox{0.47\linewidth}{
ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AB], J
est le milieu de [HD] et K est le milieu de [HG].

On se place dans le repère $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$.}\hfill
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,0)(6,5.7)
\psframe(0.2,0.2)(3.7,3.7)
\psline(3.7,0.2)(5.6,1.4)(5.6,4.9)(3.7,3.7)
\psline(5.6,4.9)(2.1,4.9)(0.2,3.7)
\psline[linestyle=dotted](0.2,0.2)(2.1,1.4)(2.1,4.9)
\psline[linestyle=dotted](2.1,1.4)(5.6,1.4)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](3.7,0.2){B} \uput[r](5.6,1.4){C} 
\uput[ur](2.1,1.4){D} \uput[ul](0.2,3.7){E} \uput[ul](3.7,3.7){F} 
\uput[ur](5.6,4.9){G} \uput[u](2.1,4.9){H} \uput[d](1.95,0.2){I} 
\uput[l](2.1,3.15){J} \uput[u](3.9,4.9){K}
\psdots(1.95,0.2)(2.1,3.15)(3.9,4.9) 
\end{pspicture}
}

\medskip\index{géométrie dans l'espace}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le vecteur $\vect{\text{CE}}$ est un vecteur normal au plan (IJK).
\item Démontrer que la droite (BD) est parallèle au plan (IJK).
\item Soit $M$ un point de la droite (CE). Quelle est la position du point $M$ sur la droite (CE)
pour laquelle le plan (BD$M$) est parallèle au plan (IJK) ?
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on appelle $S(n)$ le nombre égal à la somme des diviseurs
positifs de $n$.\index{arithmétique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $S(6) = 12$ et calculer $S(7)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $S(n) \geqslant 1 + n$.
		\item Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $S(n) = 1 + n$ ?
 	\end{enumerate}
\item  On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p \times q$ où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $S(n) = (1 + p)(1 + q)$.
		\item On considère la proposition suivante :
		
\og Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ non nuls distincts, 

$S(n \times m) = S(n) \times S(m)$ \fg.
		
Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\item  On suppose dans cette question que l'entier $n$ s'écrit $p^k$, où $p$ est un nombre premier
et $k$ un nombre entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item Quels sont les diviseurs de $n$ ?

		\item En déduire que $S(n) = \dfrac{1- p^{k+1}}{1- p}$.
 	\end{enumerate}
\item  On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p^{13} \times q^7$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $m$ un entier naturel.
		
Démontrer que $m$ divise $n$ si, et seulement si, il existe deux nombres entiers $s$ et $t$
avec $0 \leqslant s \leqslant 13$ et $0 \leqslant t \leqslant 7$ tels que $m = p^s \times q^t$.
		\item Démontrer que $S(n) = \dfrac{1 - p^{14}}{1 - p}  \times  \dfrac{1 - q^8}{1 - q}$.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe}}

\vspace{1cm}

{\large \textbf{Exercice 1}}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.7cm,yunit=6.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.15)(6.5,1.1)
\multido{\n=0.0+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,-0.15)(\n,1.1)}
\multido{\n=-0.1+0.1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(6.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.1](0,0)(0,-0.1)(6.5,1.1)

\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1](0,0)(1,1)
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\uput[l](0.5,0.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[ur](1,0.38){\red $\mathcal{C}_g$}
\uput[ul](0.5,0.08){\green $\mathcal{C}_h$}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}