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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Merci à Yves IV pour le sujet
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{12 juin 2015}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Polynésie  12 juin 2015~\decofourright}}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB = 6, AD = 4 et 

AE = 2.\index{géométrie dans l'espace}

I, J et K sont les points tels que $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{6} \vect{\text{AB}},\:\: \vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{AD}},\:\: \vect{\text{AK}} = \dfrac{1}{2} \vect{\text{AE}}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,4)
%\psgrid
\psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE
\psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF
\psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE
\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC
\psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH
\uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} 
\uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} \uput[u](7,2.2){F} 
\uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} 
\uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K}
\psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1)  
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AI}},~ \vect{\text{AJ}},~\vect{\text{AK}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\\- 9\end{pmatrix}$ est normal au plan (IJG).
\item Déterminer une équation du plan (IJG).\index{equation de plan@équation de plan}
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF).
\item Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la
figure donnée en \textbf{annexe à rendre avec la copie)}. On ne demande pas de justification.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$
du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = z^2 + 4z + 3.\]\index{transformation complexe}

\begin{enumerate}
\item Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé.

Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
\item Soit A le point d'affixe $\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et B le point d'affixe $\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$.

Montrer que OAB est un triangle équilatéral.
\item Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels.
\item Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\mathcal{E}$.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65~ans peut être modélisée par une variable aléatoire $X_1$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_1 = 165$~cm et d'écart-type$\sigma_1 = 6$~cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire $X_2$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_2 = 175$~cm et d'écart-type $\sigma_2 = 11$~cm. \index{loi normale}

Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53~mètre et 1,77~mètre ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité qu'un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70~mètre.
		\item De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52\,\% de la population des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit au hasard une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de $1,70$~m.

Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?\hyperlink{Index}{*}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le
schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière.

Voici ce schéma :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,5.5)
\psline(1,3.679)(1,0)(8,0)
\psline(1,3.679)(1.5,4.879)
\psline(8,0)(8.5,1.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul  2.71828 x exp div}
\def\courbe{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div}}
\rput(0.5,1.2){\courbe}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\courbe
\psline(8,0)(1,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\textbf{Partie A Modélisation}

\medskip

Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~8] par 

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x}\quad  \text{où }\: a\:\: \text{et }\: b\: \text{sont deux entiers naturels.}\]\index{fonction exponentielle}

La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(8.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline(0,3.679)(0,0)(8,0)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul  2.71828 x exp div}
\end{pspicture}

\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On souhaite que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1 soit horizontale.

Déterminer la valeur de l'entier $b$.
\item On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre $3,5$ et $4$ mètres de haut.

Déterminer la valeur de l'entier $a$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Un aménagement pour les visiteurs}

\medskip

On admet dans la suite que la fonction $f$ introduite dans la partie A est définie pour tout réel $x \in [1~;~8]$ par

\[f(x) = 10x \text{e}^{- x}.\]

Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de 300~euros augmenté de 50~euros par mètre carré peint.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~8] par 

\[g(x) = 10(- x - 1)\text{e}^{-x}.\]

Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$.
\item  Quel est le montant du devis de l'artiste ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C Une contrainte à vérifier}

\medskip

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.

On considère un point $M$ de la courbe $\mathcal{C}$, d'abscisse différente de 1. On appelle $\alpha$ l'angle aigu formé par la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses.

La figure suivante illustre la situation.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(8.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(1,1)
\psline(0,3.679)(0,0)(8,0)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8.5}{10 x mul 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=200]{2}{4}{5.412 1.353 x mul sub}
\psline[linestyle=dotted](0.5,4.72)(2,2.7)
\psline[linestyle=dotted](4,0)(4.72,-1)
\psarc(4,0){0.6}{124.5}{180}\rput(3.3,0.4){$\alpha$}
\psline(2,0)(2,2.7)
\psline[linestyle=dotted](2,2.7)(2,3.679)
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,-0.9)
\uput[ur](2,2.7){$M$}\uput[ur](2,0){$P$}\uput[ur](4,0){$L$}
\end{pspicture}

\end{center}

Les contraintes imposent que l'angle $\alpha$ soit inférieur à 55 degrés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~8]. On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~8],\: $f'(x) = 10(1- x)\text{e}^{-x}$.

Étudier les variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle [1~;~8].
\item  Soit $x$ un réel de l'intervalle ]1~;~8] et soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$. Justifier que $\tan \alpha = \left|f'(x)\right|$.
\item Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par 

\[v_1 = \ln (2) \quad \text{et, pour tout entier naturel }\: n \:\text{non nul},\: v_{n+1} = \ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right).\]\index{fonction exponentielle}

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ non nul.

On définit ensuite la suite $\left(S_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ non nul par :

\[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\]

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de $\left(S_n\right)$.

\bigskip

\textbf{Partie A -- Conjectures à l'aide d'un algorithme}\index{algorithme}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de $S_n$ pour
une valeur de $n$ choisie par l'utilisateur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|lX|}\hline
Variables :		& $n$, $k$ entiers\\
&$S$, \:$v$ réels\\
Initialisation :& Saisir la valeur de $n$\\
&$v$ prend la valeur \ldots\\
&$S$ prend la valeur \ldots\\
Traitement :& Pour $k$ variant de \ldots à \ldots faire\\
&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
\ldots prend la valeur \ldots\\
\ldots prend la valeur \ldots
\end{tabular}\\
&Fin Pour\\
Sortie :& Afficher $S$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\item À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de $S_n$. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$		&10	&100 	&\np{1000} 	& \np{10000} & \np{100000} 	& \np{1000000}\\ \hline
$S_n$	&2,4&4,6	&6,9		&9,2		&11,5			&13,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la
suite $\left(S_n\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B -- Étude d'une suite auxiliaire}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \text{e}^{v_n}$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $u_1 = 2$ et que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{u_n}$.
\item Calculer $u_2,\: u_3$ et $u_4$. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C -- Étude de }\boldmath $\left(S_n\right)$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$.
\item Vérifier que $S_3 = \ln (4)$.
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $S_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(S_n\right)$.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix}$.\index{matrices}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $I$ la matrice identité d'ordre 2.

Vérifier que $A^2 = A + 2I$.
\item  En déduire une expression de $A^3$ et une expression de $A^4$ sous la forme 

$\alpha A + \beta I$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.
\item On considère les suites $\left(r_n\right)$ et $\left(s_n\right)$ définies par $r_0 = 0$ et $s_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[\left\{\begin{array}{l c l}
r_{n+1}&=&\phantom{2}r_n + s_n\\
s_{n+1}&=&2r_n
\end{array}\right.\]\index{suite}

Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: A^n = r_nA + s_nI$.
\item  Démontrer que la suite $\left(k_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$k_n = r_n - s_n$ est géométrique de raison $- 1$.\index{suite géométrique} 

En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $k_n$ en fonction de $n$.
\item  On admet que la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

$t_n = r_n + \dfrac{(- 1)^n}{3}$ est géométrique de raison 2. \index{suite géométrique}

En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $t_n$ en fonction de $n$.
\item  Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire alors, pour tout entier naturel $n$, une expression des coefficients de la matrice $A^n$.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Annexe}

\vspace{0.75cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\begin{center}

\textbf{EXERCICE 1}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE
\psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF
\psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE
\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC
\psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH
\uput[dl](0.5,0){A}\uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C}
\uput[ur](2.1,1.1){D}\uput[ul](0.5,2.2){E}\uput[u](7,2.2){F}
\uput[ur](8.6,3.3){G}\uput[u](2.1,3.3){H}\uput[d](1.583,0){I}
\uput[u](0.9,0.275){J}\uput[l](0.5,1.1){K}
\psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}