%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{eucal} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès % Merci à Yves IV pour le sujet \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Polynésie - 12 juin 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{12 juin 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie 12 juin 2015~\decofourright}}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB = 6, AD = 4 et AE = 2.\index{géométrie dans l'espace} I, J et K sont les points tels que $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{6} \vect{\text{AB}},\:\: \vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{AD}},\:\: \vect{\text{AK}} = \dfrac{1}{2} \vect{\text{AE}}$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,4) %\psgrid \psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE \psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF \psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE \psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC \psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH \uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} \uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} \uput[u](7,2.2){F} \uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} \uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K} \psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1) \end{pspicture} \end{center} \medskip On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AI}},~ \vect{\text{AJ}},~\vect{\text{AK}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\\- 9\end{pmatrix}$ est normal au plan (IJG). \item Déterminer une équation du plan (IJG).\index{equation de plan@équation de plan} \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF). \item Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la figure donnée en \textbf{annexe à rendre avec la copie)}. On ne demande pas de justification.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$ du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = z^2 + 4z + 3.\]\index{transformation complexe} \begin{enumerate} \item Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé. Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle. \item Soit A le point d'affixe $\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et B le point d'affixe $\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$. Montrer que OAB est un triangle équilatéral. \item Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels. \item Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\mathcal{E}$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65~ans peut être modélisée par une variable aléatoire $X_1$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_1 = 165$~cm et d'écart-type$\sigma_1 = 6$~cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire $X_2$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_2 = 175$~cm et d'écart-type $\sigma_2 = 11$~cm. \index{loi normale} Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53~mètre et 1,77~mètre ? \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70~mètre. \item De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52\,\% de la population des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit au hasard une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de $1,70$~m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière. Voici ce schéma : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8.5,5.5) \psline(1,3.679)(1,0)(8,0) \psline(1,3.679)(1.5,4.879) \psline(8,0)(8.5,1.2) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div} \def\courbe{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div}} \rput(0.5,1.2){\courbe} \pscustom[fillstyle=hlines]{ \courbe \psline(8,0)(1,0) } \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie A Modélisation} \medskip Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~8] par \[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x}\quad \text{où }\: a\:\: \text{et }\: b\: \text{sont deux entiers naturels.}\]\index{fonction exponentielle} La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(8.5,5.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) \psline(0,3.679)(0,0)(8,0) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item On souhaite que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1 soit horizontale. Déterminer la valeur de l'entier $b$. \item On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre $3,5$ et $4$ mètres de haut. Déterminer la valeur de l'entier $a$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Un aménagement pour les visiteurs} \medskip On admet dans la suite que la fonction $f$ introduite dans la partie A est définie pour tout réel $x \in [1~;~8]$ par \[f(x) = 10x \text{e}^{- x}.\] Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de 300~euros augmenté de 50~euros par mètre carré peint. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~8] par \[g(x) = 10(- x - 1)\text{e}^{-x}.\] Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$. \item Quel est le montant du devis de l'artiste ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C Une contrainte à vérifier} \medskip Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan. On considère un point $M$ de la courbe $\mathcal{C}$, d'abscisse différente de 1. On appelle $\alpha$ l'angle aigu formé par la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses. La figure suivante illustre la situation. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(8.5,5.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(1,1) \psline(0,3.679)(0,0)(8,0) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8.5}{10 x mul 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=200]{2}{4}{5.412 1.353 x mul sub} \psline[linestyle=dotted](0.5,4.72)(2,2.7) \psline[linestyle=dotted](4,0)(4.72,-1) \psarc(4,0){0.6}{124.5}{180}\rput(3.3,0.4){$\alpha$} \psline(2,0)(2,2.7) \psline[linestyle=dotted](2,2.7)(2,3.679) \psline[linestyle=dotted](2,0)(2,-0.9) \uput[ur](2,2.7){$M$}\uput[ur](2,0){$P$}\uput[ur](4,0){$L$} \end{pspicture} \end{center} Les contraintes imposent que l'angle $\alpha$ soit inférieur à 55 degrés. \medskip \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~8]. On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~8],\: $f'(x) = 10(1- x)\text{e}^{-x}$. Étudier les variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle [1~;~8]. \item Soit $x$ un réel de l'intervalle ]1~;~8] et soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$. Justifier que $\tan \alpha = \left|f'(x)\right|$. \item Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par \[v_1 = \ln (2) \quad \text{et, pour tout entier naturel }\: n \:\text{non nul},\: v_{n+1} = \ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right).\]\index{fonction exponentielle} On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ non nul. On définit ensuite la suite $\left(S_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ non nul par : \[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\] Le but de cet exercice est de déterminer la limite de $\left(S_n\right)$. \bigskip \textbf{Partie A -- Conjectures à l'aide d'un algorithme}\index{algorithme} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de $S_n$ pour une valeur de $n$ choisie par l'utilisateur : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|lX|}\hline Variables : & $n$, $k$ entiers\\ &$S$, \:$v$ réels\\ Initialisation :& Saisir la valeur de $n$\\ &$v$ prend la valeur \ldots\\ &$S$ prend la valeur \ldots\\ Traitement :& Pour $k$ variant de \ldots à \ldots faire\\ &\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} \ldots prend la valeur \ldots\\ \ldots prend la valeur \ldots \end{tabular}\\ &Fin Pour\\ Sortie :& Afficher $S$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \item À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de $S_n$. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &10 &100 &\np{1000} & \np{10000} & \np{100000} & \np{1000000}\\ \hline $S_n$ &2,4&4,6 &6,9 &9,2 &11,5 &13,8\\ \hline \end{tabularx} \end{center} En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite $\left(S_n\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B -- Étude d'une suite auxiliaire} \medskip Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \text{e}^{v_n}$.\index{suite} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $u_1 = 2$ et que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{u_n}$. \item Calculer $u_2,\: u_3$ et $u_4$. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C -- Étude de }\boldmath $\left(S_n\right)$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$. \item Vérifier que $S_3 = \ln (4)$. \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $S_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(S_n\right)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix}$.\index{matrices} \medskip \begin{enumerate} \item On appelle $I$ la matrice identité d'ordre 2. Vérifier que $A^2 = A + 2I$. \item En déduire une expression de $A^3$ et une expression de $A^4$ sous la forme $\alpha A + \beta I$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels. \item On considère les suites $\left(r_n\right)$ et $\left(s_n\right)$ définies par $r_0 = 0$ et $s_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[\left\{\begin{array}{l c l} r_{n+1}&=&\phantom{2}r_n + s_n\\ s_{n+1}&=&2r_n \end{array}\right.\]\index{suite} Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: A^n = r_nA + s_nI$. \item Démontrer que la suite $\left(k_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $k_n = r_n - s_n$ est géométrique de raison $- 1$.\index{suite géométrique} En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $k_n$ en fonction de $n$. \item On admet que la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n = r_n + \dfrac{(- 1)^n}{3}$ est géométrique de raison 2. \index{suite géométrique} En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $t_n$ en fonction de $n$. \item Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$. \item En déduire alors, pour tout entier naturel $n$, une expression des coefficients de la matrice $A^n$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \textbf{\large Annexe} \vspace{0.75cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{2cm} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1} \vspace{1cm} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture}(10,4) \psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE \psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF \psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE \psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC \psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH \uput[dl](0.5,0){A}\uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} \uput[ur](2.1,1.1){D}\uput[ul](0.5,2.2){E}\uput[u](7,2.2){F} \uput[ur](8.6,3.3){G}\uput[u](2.1,3.3){H}\uput[d](1.583,0){I} \uput[u](0.9,0.275){J}\uput[l](0.5,1.1){K} \psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1) \end{pspicture} \end{center} \end{document}