%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Polynésie - juin 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6\,\% sont défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n'est pas parfaite. Cette unité de contrôle rejette 98\,\% des lecteurs MP3 défectueux et 5\,\% des lecteurs MP3 fonctionnant correctement. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $D$ l'évènement : \og le lecteur MP3 est défectueux \fg{} ; \item[$\bullet~$] $R$ l'évènement : \og l'unité de contrôle rejette le lecteur MP3 \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté. \item On dit qu'il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu'il n'est pas défectueux, ou qu'il n'est pas rejeté alors qu'il est défectueux. Calculer la probabilité qu'il y ait une erreur de contrôle. \end{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à \np{0,8942}. \item Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé. Un lecteur MP3 est : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] commercialisé avec le logo de l'entreprise s'il subit avec succès les quatre contrôles successifs, \item[$\bullet~$] détruit s'il est rejeté au moins deux fois, \item[$\bullet~$] commercialisé sans le logo sinon. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le coût de fabrication d'un lecteur MP3 s'élève à 50~\euro. Son prix de vente est de 120~\euro{} pour un lecteur avec logo et 60~\euro{} pour un lecteur sans logo. On désigne par $G$ la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l'entreprise. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$. \item Calculer à $10^{-2}$ près l'espérance mathématique de $G$. Donner une interprétation de ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct. On supposera connus les résultats suivants : %\newpage \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour tous points A, B et C du plan d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$, avec A $\neq$ C et A~$\neq$~B: $\left|\dfrac{b - a}{c - a}\right| = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ et arg$\left(\dfrac{b - a}{c - a}\right) = \left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AB}} \right) + k \times 2\pi$~où $k$ est un entier relatif ; \item Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un nombre réel : $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ si et seulement si $|z| = 1$ et arg$(z) = \theta + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif. \end{list} Démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d' affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z'- \omega= \text{e}^{\text{i}\theta}(z - \omega)$. \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 1~cm. Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z'= \text{i}z + 4+ 4\text{i}.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $\omega$ du point $\Omega$ tel que $f(\Omega) = \Omega$ \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ on a : $z'- 4\text{i} = \text{i}(z -4\text{i})$. \item En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f$. \end{enumerate} \item On note A et B les points d'affixes respectives $a = 4 - 2\text{i}$ et $b = - 4 + 6\text{i}$. \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et $\Omega$ sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions. \item Déterminer les affixes des points A$'$ et B$'$ images respectives des points A et B par $f$. \end{enumerate} \item On appelle $m,~n,~p$ et $q$ les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA$'$], [A$'$B], [BB$'$] et [B$'$A]. \begin{enumerate} \item Déterminer $m$. On admettra que $n = 1 + 7\text{i},~p = -3 + 3\text{i}$ et $q = 1 -\text{i}$. \item Démontrer que MNPQ est un parallélogramme. \item Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $\dfrac{q - m}{n - m}$. En déduire la nature du quadrilatère MNPQ. \end{enumerate} \item Démontrer que les droites (B$'$A) et ($\Omega$N) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct. On supposera connu le résultat suivant : Une application $f$ du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az+b$ où $a \in \C - \{0\}$ et $ b \in \C$. Démontrer que si A, B, A$'$ et B$'$ sont quatre points teIs que A est distinct de B et A$'$ est distinct de B$'$, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A$'$ et B en B$'$. \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 2~cm. On note A, B, C, D et E les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 2\text{i},~z_{\text{B}} = 2,~z_{\text{C}} = 4 + 6\text{i},~z_{\text{D}} = -1 +\text{i}~~\text{et}~~z_{\text{E}} = -3 + 3\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Placer les points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure des questions. \item Déterminer la nature du triangle ABC. \item Soit $f$ la similitude plane directe telle que $f$(A) = D et $f$(B) = A. \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de $f$. \item Déterminer l'angle, le rapport et le centre $\Omega$ de cette similitude. \item Montrer que le triangle DAE est l'image du triangle ABC par la similitude $f$. \item En déduire la nature du triangle DAE. \end{enumerate} \item On désigne par $\left(\Gamma_{1}\right)$ le cercle de diamètre [AB] et par $\left(\Gamma_{2}\right)$ le cercle de diamètre [AD]. On note $M$ le second point d'intersection du cercle $\left(\Gamma_{1}\right)$ et de la droite (BC), et $N$ le second point d'intersection du cercle $\left(\Gamma_{2}\right)$ et de la droite (AE). \begin{enumerate} \item Déterminer l'image de $M$ par la similitude $f$. \item En déduire la nature du triangle $\Omega MN$. \item Montrer que $M\text{B} \times N\text{E} = M\text{C} \times N\text{A}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats.} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère les points : A$(1~;~-1~;~3)$, B$(0~;~3~;~1)$, C$( 6~;~-7~;~-1)$, D$(2~;~1~;~3)$ et E$(4~;~- 6~;~2)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le barycentre du système $\left\{(\text{A},~2),~(\text{B},~- 1),~(C,~1)\right\}$ est le \mbox{point E.} \item En déduire l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ de l'espace tels que \[\left\|2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 2\sqrt{21}.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et D définissent un plan. \item Montrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (ABD). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABD). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC). \item Déterminer les coordonnées du point F intersection de la droite (EC) et du plan (ABD). \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation} Montrer que le plan (ABD) et l'ensemble $\Gamma$, déterminé à la question 1., sont sécants. Préciser les éléments caractéristiques de cette intersection. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats.} \medskip Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij. \medskip \textbf{Partie A} \medskip La courbe $(\mathcal{C})$, donnée en annexe, est la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $[0~;~+\infty[$, de fonction dérivée $f'$ continue sur $[0~;~+\infty[$. La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points O et A$\left(1~;~\dfrac{1}{2\text{e}}\right)$ et, sur [0~;~1], elle est au dessus du segment [OA]. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1 f'(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2\text{e}}$· \item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x \geqslant \dfrac{1}{4\text{e}}$· \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On sait désormais que la fonction $f$ considérée dans la partie A est définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{x \text{e}^{-x}}{x^2 + 1}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. \item On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $g(x) = x^3 + x^2 + x - 1$. Établir que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,~ f'(x)$ et $g(x)$ sont de signes contraires. \item En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n} = \int_{n}^{2n} f(x)\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,\: 0 \leqslant \dfrac{x}{x^2 + 1} \leqslant \dfrac{1}{2}$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-n} - \text{e}^{-2n}\right)$. \item En déduire la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Exercice 4} \end{flushleft} \vspace{1cm} Cette page ne sera pas à rendre avec la copie \vspace{1cm} \psset{xunit=3cm,yunit=15cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-0.05)(3,0.35) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(3,0.35) \uput[ur](1,0.184){A} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.184)\psdots(1,0.184) \uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.6,0.1){\blue $\mathcal{C}$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{x x dup mul 1 add 2.71828 x exp mul div} \end{pspicture} \end{center}\end{document}