%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Polynésie - septembre 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie septembre 2009~\decofourright}}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère le cube OABCDEFG d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n'est pas demandé de rendre le graphique complété avec la copie. Soient les points P et Q tels que $\vect{\text{OP}} = 2 \vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OQ}} = 4\vect{\text{OC}}$. On appelle R le barycentre des points pondérés (B,~$-1$) et (F\,,~ 2). L'espace est muni du repère orthonormal $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OA}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OD}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le point R a pour coordonnées (1~;~1~;~2). \item Démontrer que les points P, Q et R ne sont pas alignés. \item Quelle est la nature du triangle PQR ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer qu'une équation du plan (PQR) est $4x + 2y + z - 8 = 0$. \item Vérifier que le point D n'appartient pas au plan (PQR). \end{enumerate} \item On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (PQR). \begin{enumerate} \item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (DH). \item Déterminer les coordonnées du point H. \item Démontrer que le point H appartient à la droite (PR). \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1.25cm} \begin{center} \begin{pspicture}(4,4) \pspolygon(0.3,0.7)(0.3,2.9)(2.6,2.6)(2.6,0.4)%AEFB \psline(0.3,2.9)(1.1,3.9)(3.4,3.6)(2.6,2.6)%EDGF \psline(3.4,3.6)(3.4,1.4)(2.6,0.4)%GCB \psline[linestyle=dashed](0.3,0.7)(1.1,1.7)(1.1,3.9)%AOD \psline[linestyle=dashed](1.1,1.7)(3.4,1.4)%OC \uput[dl](0.3,0.7){A} \uput[d](2.6,0.4){B} \uput[dr](3.4,1.4){C} \uput[u](1.1,3.9){D} \uput[ul](0.3,2.9){E} \uput[u](2.6,2.6){F} \uput[ur](3.4,3.6){G} \uput[dr](1.1,1.7){O} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chaque question, deux propositions sont énoncées.\\ Il s'agit de dire, sans le justifier, si chacune d'elles est vraie ou fausse. \textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la proposition et la mention VRAIE ou FAUSSE}.} \medskip \emph{Pour chaque question, il est compté $1$~point si les deux réponses sont exactes, $0,5$~point pour une réponse exacte et une absence de réponse et $0$~point sinon.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}p{6cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question A}}&Proposition 1 &Proposition 2\\ Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher. On tire deux boules au hasard simultanément. On considère les évènements : $A$ : \og les deux boules tirées sont de la même couleur \fg{} ; $B$ : \og une seule des deux boules tirées est rouge \fg.& La probabilité de $A$ est égale à $\dfrac{3}{7}$.& La probabilité de $B$ est égale à $\dfrac{1}{7}$.\\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question B}}&Proposition 3 &Proposition 4\\ Soient $A$, $B$ et $C$ trois évènements d'un même univers $\Omega$ muni d'une probabilité $P$. On sait que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $A$ et $B$ sont indépendants ; \item[$\bullet~$] $P({A}) = \dfrac{2}{5}$ ; $P({A} \cup {B}) = \dfrac{3}{4\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$ ; \item[$\bullet~$] $P({C}) = \dfrac{1}{2}$ ; $P({A} \cap {C}) = \dfrac{1}{10}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} &$P({B}) = \dfrac{7}{12}$& $P\left(\overline{{A} \cup {C}}\right) = \dfrac{2}{5}$. $\overline{{A} \cup {C}}$ désigne l'évènement contraire de ${A} \cup {C}$.\\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question C}}&Proposition 5 &Proposition 6\\ Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ où $n$ est égal à 4 et $p$ appartient à ]0~;~1[.& Si $P(X = 1) = 8P(X = 0)$ alors $ p = \dfrac{2\rule{0pt}{8pt}}{3\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$.&Si $p = \dfrac{1}{5}$ alors $P(X =1) = P(X =0)$.\\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question D}}&Proposition 7 &Proposition 8\\ La durée de vie, exprimée en années, d'un appareil est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,07$ sur $[0~;~+ \infty[$. On rappelle que pour tout $t> 0$, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$ est donnée par : $P(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$ (avec $\lambda = 0,07$).& La probabilité que l'appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est égale à $0,5$ à $10^{-2}$ près.& Sachant que l'appareil a fonctionné 10~ans, la probabilité qu'il fonctionne encore 10~ans est égale à $0,5$ à $10^{-2}$ près.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire} \medskip Le plan complexe P est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique : 2~cm. On appelle $\left(\Gamma \right)$ le cercle de centre O et de rayon 1. \medskip \emph{On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.} \medskip On appelle $F$ l'application du plan $P$ privé du point O dans $P$ qui, à tout point $M$ différent de O, d'affixe $z$, associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = z + \text{i} - \dfrac{1}{z}.\] \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points A et B d'affixes respectives $a = \text{i}$ et $b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ et leurs images A$'$ et B$'$ par $F$ d'affixes respectives $a'$ et $b'$. \begin{enumerate} \item Calculer $a'$ et $b'$. \item Placer les points A, A$'$, B et B$'$. \item Démontrer que $\dfrac{- b}{b' - b} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$. \item En déduire la nature du triangle OBB$'$. \end{enumerate} \item On recherche l'ensemble (E) des points du plan $P$ privé du point O qui ont pour image par $F$, le point O. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z,$ \[ z^2 + \text{i}z - 1 = \left(z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)\left(z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right).\] \item En déduire les affixes des points de l'ensemble (E). \item Démontrer que les points de (E) appartiennent à $\left(\Gamma \right)$. \end{enumerate} \item Soit $\theta$ un réel. \begin{enumerate} \item Démontrer que si $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ alors $z' = (2 \sin \theta +1)\text{i}$. \item En déduire que si $M$ appartient au cercle $\left(\Gamma \right)$ alors $M'$ appartient au segment [A$'$C] où C a pour affixe $- \text{i}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f_{n}(x) = - nx - x \ln x.\] On note $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$, dans un repère orthonormal \Oij. Les courbes $\left(\mathcal{C}_{0}\right),~ \left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ représentatives des fonctions $f_{0},~ f_{1}$ et $f_{2}$ sont données en annexe. On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. \medskip \textbf{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f_{0}$\unboldmath{} définie sur \boldmath $]0~;~+ \infty[$\unboldmath{} par \boldmath $f_{0}(x) = -x\ln x$}\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f_{0}$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f_{0}$ sur $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction{} $\boldsymbol{f_{n}}$, $\boldsymbol{n}$ entier naturel} \medskip Soit $n$ un entier naturel. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour $x \in ]0~;~ + \infty[,\: f'_{n}(x) = -n -1 -\ln x$ où $f'_{n}$ désigne la fonction dérivée de $f_{n}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ admet en un unique point $A_{n}$ d'abscisse $\text{e}^{-n-1}$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses. \item Prouver que le point $A_{n}$ appartient à la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. \item Placer sur la figure en annexe les points $A_{0},~A_{1},~A_{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ coupe l'axe des abscisses en un unique point, noté $B_{n}$, dont l'abscisse est $\text{e}^{-n}$. \item Démontrer que la tangente à $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ au point $B_{n}$ a un coefficient directeur indépendant de l'entier $n$. \item Placer sur la figure en annexe les points $B_{0},~B_{1},~B_{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : Calculs d'aires} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on considère le domaine du plan $D_{n}$ délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ et les droites d'équation $x = \text{e}^{-n-1}$ et $x = \text{e}^{-n}$. On note $I_{n}$ l'aire en unités d'aires du domaine $D_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item Hachurer, sur la figure donnée en annexe, les domaines $D_{0},\: D_{1},\:D_{2}$. \item \begin{enumerate} \item À l 'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 x \ln x\:\text{d}x$. \item En déduire que $I_{0} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4\text{e}^2}$. \item On admet que le domaine $D_{n+1}$ est l'image du domaine $D_{n}$ par l'homothétie de centre O et de rapport $\dfrac{1}{\text{e}}$. Exprimer $I_{1}$ et $I_{2}$ en fonction de $I_{0}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1,5cm} \textbf{Cette page sera complétée et remise à la fin de l'épreuve} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 4} \end{flushleft} \bigskip \psset{unit=6cm} \begin{pspicture}[comma=true](-0.25,-0.6)(1.75,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,linewidth=1pt](0,0)(-0.25,-0.6)(1.75,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psframe(-0.25,-0.6)(1.75,1.1) \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.001}{1.493}{x ln x mul neg}\uput[r](1.34,-0.4){\blue $\left(\mathcal{C}_{0} \right)$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.001}{0.785}{x ln 1 add x mul neg}\uput[r](0.67,-0.4){$\left(\mathcal{C}_{1} \right)$} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0.001}{0.476}{x ln 2 add x mul neg}\uput[r](0.39,-0.4){\red $\left(\mathcal{C}_{2} \right)$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}