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%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}
{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 
septembre 2009~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On considère le cube OABCDEFG d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous.

Il n'est pas demandé de rendre le graphique complété avec la copie.

Soient les points P et Q tels que $\vect{\text{OP}} = 2 \vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OQ}} = 4\vect{\text{OC}}$.

On appelle R le barycentre des points pondérés (B,~$-1$) et (F\,,~ 2).

L'espace est muni du repère orthonormal $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OA}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OD}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point R a pour coordonnées (1~;~1~;~2).
		\item Démontrer que les points P, Q et R ne sont pas alignés.
		\item Quelle est la nature du triangle PQR ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une équation du plan (PQR) est $4x + 2y + z - 8 = 0$. 
		\item Vérifier que le point D n'appartient pas au plan (PQR).
	\end{enumerate}
\item On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (PQR).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (DH).
		\item Déterminer les coordonnées du point H.
		\item Démontrer que le point H appartient à la droite (PR).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1.25cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(4,4)
\pspolygon(0.3,0.7)(0.3,2.9)(2.6,2.6)(2.6,0.4)%AEFB
\psline(0.3,2.9)(1.1,3.9)(3.4,3.6)(2.6,2.6)%EDGF
\psline(3.4,3.6)(3.4,1.4)(2.6,0.4)%GCB
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.7)(1.1,1.7)(1.1,3.9)%AOD
\psline[linestyle=dashed](1.1,1.7)(3.4,1.4)%OC
\uput[dl](0.3,0.7){A} \uput[d](2.6,0.4){B} \uput[dr](3.4,1.4){C} \uput[u](1.1,3.9){D} 
\uput[ul](0.3,2.9){E} \uput[u](2.6,2.6){F} \uput[ur](3.4,3.6){G} \uput[dr](1.1,1.7){O} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chaque question, deux propositions sont énoncées.\\ 
Il s'agit de dire, sans le justifier, si chacune d'elles est vraie ou fausse.
\textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la proposition et la mention VRAIE ou FAUSSE}.}

\medskip

\emph{Pour chaque question, il est compté $1$~point si les deux réponses sont exactes, $0,5$~point pour une réponse exacte et une absence de réponse et $0$~point sinon.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}p{6cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline 
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question A}}&Proposition 1 &Proposition 2\\
Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher.

On tire deux boules au hasard simultanément. On considère les évènements :

$A$ : \og les deux boules tirées sont de la même couleur \fg{} ; 

$B$ : \og une seule des deux boules tirées est rouge \fg.& La probabilité de $A$ est égale à $\dfrac{3}{7}$.& La probabilité de $B$ est égale à $\dfrac{1}{7}$.\\
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question B}}&Proposition 3 &Proposition 4\\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois évènements d'un même univers $\Omega$ muni d'une probabilité $P$.

On sait que :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ et $B$ sont indépendants ;
\item[$\bullet~$] $P({A}) = \dfrac{2}{5}$ ; $P({A} \cup {B}) = \dfrac{3}{4\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$ ;
\item[$\bullet~$] $P({C}) = \dfrac{1}{2}$ ; $P({A} \cap {C}) = \dfrac{1}{10}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} &$P({B}) = \dfrac{7}{12}$&  $P\left(\overline{{A} \cup {C}}\right) = \dfrac{2}{5}$.

$\overline{{A} \cup {C}}$ désigne l'évènement contraire de ${A} \cup {C}$.\\ \hline 
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question C}}&Proposition 5 &Proposition 6\\ 
Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ où $n$ est égal à 4 et $p$ appartient à ]0~;~1[.& Si 
$P(X = 1) = 8P(X = 0)$ alors $ p = \dfrac{2\rule{0pt}{8pt}}{3\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$.&Si $p = \dfrac{1}{5}$ alors $P(X =1) = P(X =0)$.\\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question D}}&Proposition 7 &Proposition 8\\
La durée de vie, exprimée en années, d'un appareil est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,07$ sur $[0~;~+ \infty[$.

On rappelle que pour tout $t> 0$, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$ est donnée par :

$P(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$  (avec $\lambda = 0,07$).& La probabilité que l'appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est égale à $0,5$ à $10^{-2}$ près.&
Sachant que l'appareil a fonctionné 10~ans, la probabilité qu'il fonctionne encore  10~ans est égale à $0,5$ à $10^{-2}$ près.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan complexe P est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique : 2~cm.

On appelle $\left(\Gamma \right)$ le cercle de centre O et de rayon 1.

\medskip

\emph{On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.}

\medskip
 
On appelle $F$ l'application du plan $P$ privé du point O dans $P$ qui, à tout point $M$ différent de O, 
d'affixe $z$, associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = z + \text{i}  - \dfrac{1}{z}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère les points A et B d'affixes respectives $a = \text{i}$ et $b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$  et leurs images A$'$ et
B$'$ par $F$ d'affixes respectives $a'$ et $b'$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a'$ et $b'$. 
		\item Placer les points A, A$'$, B et B$'$.
		\item Démontrer que $\dfrac{- b}{b' - b} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$. 
		\item En déduire la nature du triangle OBB$'$.
	\end{enumerate}

\item On recherche l'ensemble (E) des points du plan $P$ privé du point O qui ont pour image par $F$, le point O. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z,$
		
\[ z^2 + \text{i}z - 1 = \left(z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)\left(z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right).\]

		\item En déduire les affixes des points de l'ensemble (E).
		\item Démontrer que les points de (E) appartiennent à $\left(\Gamma \right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\theta$ un réel.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$  alors $z' = (2 \sin \theta +1)\text{i}$.
		\item En déduire que si $M$ appartient au cercle $\left(\Gamma \right)$ alors $M'$ appartient au segment [A$'$C] où C a pour affixe $- \text{i}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f_{n}(x) = - nx - x \ln x.\]

On note $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$, dans un repère orthonormal \Oij.

Les courbes $\left(\mathcal{C}_{0}\right),~ \left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ représentatives des fonctions $f_{0},~ f_{1}$ et $f_{2}$ sont données en annexe.

On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. 

\medskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f_{0}$\unboldmath{} définie sur \boldmath $]0~;~+ \infty[$\unboldmath{}  par \boldmath $f_{0}(x) = -x\ln x$}\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f_{0}$ en $+ \infty$. 
\item Étudier les variations de la fonction $f_{0}$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction{} $\boldsymbol{f_{n}}$, $\boldsymbol{n}$  entier naturel}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour $x \in ]0~;~ + \infty[,\:  f'_{n}(x) = -n -1 -\ln x$ où $f'_{n}$ désigne la fonction dérivée de $f_{n}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ admet en un unique point $A_{n}$ d'abscisse $\text{e}^{-n-1}$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
		\item Prouver que le point $A_{n}$ appartient à la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.
		\item Placer sur la figure en annexe les points $A_{0},~A_{1},~A_{2}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ coupe l'axe des abscisses en un unique point, noté $B_{n}$, dont l'abscisse est $\text{e}^{-n}$.
		\item Démontrer que la tangente à $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ au point $B_{n}$ a un coefficient directeur indépendant de l'entier $n$.
		\item Placer sur la figure en annexe les points $B_{0},~B_{1},~B_{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Calculs d'aires}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on considère le domaine du plan $D_{n}$ délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ et les droites d'équation $x = \text{e}^{-n-1}$ et $x = \text{e}^{-n}$.

On note $I_{n}$ l'aire en unités d'aires du domaine $D_{n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer, sur la figure donnée en annexe, les domaines $D_{0},\: D_{1},\:D_{2}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l 'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1  x \ln x\:\text{d}x$.
		\item En déduire que $I_{0} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4\text{e}^2}$. 
		\item On admet que le domaine $D_{n+1}$ est l'image du domaine $D_{n}$ par l'homothétie de  centre O et de rapport $\dfrac{1}{\text{e}}$.

Exprimer $I_{1}$ et $I_{2}$ en fonction de $I_{0}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1,5cm}

\textbf{Cette page sera complétée et remise  à la fin de l'épreuve}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 4}
\end{flushleft}

\bigskip

\psset{unit=6cm}
\begin{pspicture}[comma=true](-0.25,-0.6)(1.75,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,linewidth=1pt](0,0)(-0.25,-0.6)(1.75,1)
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\psframe(-0.25,-0.6)(1.75,1.1)
\uput[dl](0,0){O}
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\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.001}{0.785}{x ln 1 add x mul neg}\uput[r](0.67,-0.4){$\left(\mathcal{C}_{1} \right)$}
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}