%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{multicol}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
%%% dernière mise à jour : novembre 2017
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23.5cm}
\setlength{\voffset}{-1.5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\setlength\parindent{0mm}

\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Polynésie - juin 2009},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 

\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6\,\% sont défectueux.
 
Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n'est pas parfaite.

Cette unité de contrôle rejette 98\,\%  des lecteurs MP3 défectueux et 5\,\% des lecteurs MP3 fonctionnant correctement.
  
On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $D$ l'évènement : \og le lecteur MP3 est défectueux \fg{} ; 
\item[$\bullet~$]  $R$ l'évènement :  \og  l'unité de contrôle rejette le lecteur MP3 \fg.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté. 
		\item On dit qu'il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu'il n'est pas défectueux, ou qu'il n'est pas rejeté alors qu'il est défectueux. 
	
Calculer la probabilité qu'il y ait une erreur de contrôle.
	\end{enumerate} 
\item  Montrer que la probabilité qu'un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à \np{0,8942}. 
\item Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé. 

Un lecteur MP3 est :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] commercialisé avec le logo de l'entreprise s'il subit avec succès les quatre contrôles successifs, 
\item[$\bullet~$] détruit s'il est rejeté au moins deux fois, 
\item[$\bullet~$] commercialisé sans le logo sinon.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

Le coût de fabrication d'un lecteur MP3 s'élève à 50~\euro.
  
Son prix de vente est de 120~\euro{} pour un lecteur avec logo et 60~\euro{} pour un lecteur sans logo.
 
On désigne par $G$ la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l'entreprise. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$. 
		\item Calculer à $10^{-2}$ près l'espérance mathématique de $G$. Donner une interprétation de ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip
 
\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.

On supposera connus les résultats suivants :

%\newpage

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour tous points A, B et C du plan d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$, avec A $\neq$ C  et A~$\neq$~B:

$\left|\dfrac{b - a}{c - a}\right| = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ et arg$\left(\dfrac{b - a}{c - a}\right) = \left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AB}} \right) + k \times 2\pi$~où $k$ est un entier relatif  ;

\item Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un nombre réel : 

$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ si et seulement si $|z| = 1$ et arg$(z) = \theta  + k \times  2\pi$ où $k$ est un entier relatif. 
\end{list}

Démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d' affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z'- \omega= \text{e}^{\text{i}\theta}(z - \omega)$. 

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 1~cm. 

Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : 

\[z'= \text{i}z + 4+ 4\text{i}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'affixe $\omega$ du point $\Omega$ tel que $f(\Omega) = \Omega$ 
\item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ on a : $z'- 4\text{i} = \text{i}(z -4\text{i})$. 
		\item En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f$.
	\end{enumerate} 
\item On note A et B les points d'affixes respectives $a = 4 - 2\text{i}$ et $b = - 4 + 6\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et $\Omega$  sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions. 
		\item Déterminer les affixes des points A$'$ et B$'$ images respectives des points A et B par $f$. 
	\end{enumerate}
\item On appelle $m,~n,~p$ et $q$ les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA$'$],  [A$'$B], [BB$'$] et [B$'$A].
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $m$. On admettra que $n = 1 + 7\text{i},~p = -3 + 3\text{i}$ et $q = 1 -\text{i}$. 
		\item Démontrer que MNPQ est un parallélogramme. 
		\item Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $\dfrac{q - m}{n - m}$.
		 
		En déduire la nature du quadrilatère MNPQ. 
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que les droites (B$'$A) et ($\Omega$N) sont perpendiculaires. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.

On supposera connu le résultat suivant : 
 
Une application $f$ du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az+b$ où $a \in \C - \{0\}$ et $ b \in \C$.

Démontrer que si A, B, A$'$ et B$'$ sont quatre points teIs que A est distinct de B et A$'$ est distinct de B$'$, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A$'$ et B en B$'$. 

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 2~cm. 

On note A, B, C, D et E les points d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = 2\text{i},~z_{\text{B}} = 2,~z_{\text{C}} = 4 + 6\text{i},~z_{\text{D}} = -1 +\text{i}~~\text{et}~~z_{\text{E}} = 	-3 + 3\text{i}. \]

\begin{enumerate}
\item Placer les points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure des questions. 
\item Déterminer la nature du triangle ABC. 
\item Soit $f$ la similitude plane directe telle que $f$(A) = D et $f$(B) = A.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de $f$. 
		\item Déterminer l'angle, le rapport et le centre $\Omega$ de cette similitude. 
		\item Montrer que le triangle DAE est l'image du triangle ABC par la similitude $f$. 
		\item En déduire la nature du triangle DAE.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $\left(\Gamma_{1}\right)$ le cercle de diamètre [AB] et par $\left(\Gamma_{2}\right)$ le cercle de diamètre [AD].
 
On note $M$ le second point d'intersection du cercle $\left(\Gamma_{1}\right)$ et de la droite (BC), et $N$ le second point d'intersection du cercle $\left(\Gamma_{2}\right)$ et de la droite (AE). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'image de $M$ par la similitude $f$. 
		\item En déduire la nature du triangle $\Omega MN$. 
		\item Montrer que $M\text{B} \times N\text{E} = M\text{C} \times N\text{A}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats.}

\medskip
 
L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.
 
On considère les points : A$(1~;~-1~;~3)$,  B$(0~;~3~;~1)$,  C$( 6~;~-7~;~-1)$, D$(2~;~1~;~3)$ et E$(4~;~- 6~;~2)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le barycentre du système $\left\{(\text{A},~ 2),~(\text{B}, - 1),~(C,~1)\right\}$ est le \mbox{point E.} 
		\item  En déduire l'ensemble  $\Gamma$ des points $M$ de l'espace tels que \[\left\|2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 2\sqrt{21}.\]
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A,  B et D définissent un plan. 
		\item Montrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (ABD). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABD).
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC). 
		\item  Déterminer les coordonnées du point F intersection de la droite (EC) et du plan (ABD).
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation} 

Montrer que le plan (ABD) et l'ensemble $\Gamma$, déterminé à la question 1., sont sécants. Préciser les éléments caractéristiques de cette intersection. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats.}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
La courbe $(\mathcal{C})$, donnée en annexe, est la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $[0~;~+\infty[$, de fonction dérivée $f'$ continue sur $[0~;~+\infty[$.
 
La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points O et A$\left(1 ~ ;~\dfrac{1}{2\text{e}}\right)$ et, sur [0~;~1], elle est au dessus du segment [OA]. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que  $\displaystyle\int_{0}^1 f'(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2\text{e}}$· 
\item Montrer que 	$\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x \geqslant  \dfrac{1}{4\text{e}}$·
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

On sait désormais que la fonction $f$ considérée dans la partie A est définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{x \text{e}^{-x}}{x^2 + 1}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. \\
Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 
\item On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $g(x) = x^3 + x^2 + x - 1$.
 
Établir que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,~ f'(x)$ et $g(x)$ sont de signes contraires.
		\item En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour  tout entier naturel $n$ par : 

\[u_{n} = \int_{n}^{2n} f(x)\:\text{d}x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$  de $[0~;~+\infty[,~ 0 \leqslant \dfrac{x}{x^2 + 1}  \leqslant \dfrac{1}{2}$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant  u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-n} - \text{e}^{-2n}\right)$. 
		\item En déduire la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 4} \end{flushleft}

\vspace{1cm}

Cette page ne sera pas à rendre avec la copie

\vspace{1cm}

\psset{xunit=3cm,yunit=15cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.05)(3,0.35)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1,subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.05)(3,0.35) \uput[ur](1,0.184){A}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.184)\psdots(1,0.184)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.6,0.1){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{x x dup mul 1 add 2.71828 x exp mul div}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}