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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small 2 septembre 2020}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie 2 septembre 2020~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de cinq questions indépendantes. 

Pour chaque question, une seule des réponses est exacte. 

Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. 

Il sera attribué $1$ point si la réponse est exacte, $0$ sinon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules blanches indiscernables au toucher.

On extrait une boule de l'urne et on note sa couleur.

On répète 4 fois cette expérience, de manière indépendante, en remettant la boule à chaque fois dans l'urne.

La probabilité, arrondie au centième, d'obtenir au moins $1$ boule blanche est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{Réponse A :} $0,15$ &\textbf{Réponse B :} $0,63$ &\textbf{Réponse C :} $0,5$ &\textbf{Réponse D :} $0,85$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

Un sac contient $n$ pièces indiscernables au toucher. Ces pièces comportent toutes un côté \og PILE \fg{} et un côté \og FACE\fg{} sauf une qui contient deux côtés \og FACE \fg.

On choisit au hasard une pièce du sac puis on la lance.

La probabilité d'obtenir le côté \og FACE\fg{} est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{Réponse A :} $\dfrac{n-1}{n}$&\textbf{Réponse B :} $\dfrac{n+1}{2n}$&\textbf{Réponse C :} $\dfrac{1}{2}$&\textbf{Réponse D :} $\dfrac{n-1}{2n}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère $T$ la variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $\mu = 60$ et d'écart-type $\sigma = 6$. 

La probabilité $P_{(T > 60)}(T > 72)$ arrondie au millième est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{Réponse A :} $0,954$ &\textbf{Réponse B :} $1$ &\textbf{Réponse C :} $0,023$ &\textbf{Réponse D :} $0,046$
\end{tabularx}
\end{center}

\item La durée de fonctionnement, exprimée en années, d'un moteur jusqu'à ce que survienne la première panne est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif.

La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de $3$ ans est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{Réponse A :} $\text{e}^{-3\lambda}$  &\textbf{Réponse B :} $1 - \text{e}^{-3\lambda}$ &\textbf{Réponse C :} $\text{e}^{3\lambda} - 1$&\textbf{Réponse D :} $\text{e}^{3\lambda}$
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item On note $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. La probabilité qu'une valeur prise par la variable aléatoire $X$ soit solution de l'inéquation $\cos x > \dfrac{1}{2}$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{Réponse A :} $\dfrac{2}{3}$& \textbf{Réponse B :} $\dfrac{1}{3}$&\textbf{Réponse C :} $\dfrac{1}{2}$&\textbf{Réponse D :} $\dfrac{1}{\pi}$
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Soit ABCDEFGH un cube. L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(9,10)
\pspolygon(0.5,1.4)(6,0.5)(6,6.2)(0.5,7.1)%ABFE
\psline(6,0.5)(8.5,3)(8.5,8.7)(6,6.2)%BCGF
\psline(8.5,8.7)(3,9.6)(0.5,7.1)%%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.4)(3,3.9)(8.5,3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](3,9.6)(3,3.9)%DH
\uput[d](0.5,1.4){A} \uput[d](6,0.5){B} \uput[r](8.5,3){C} \uput[ul](3,3.9){D} 
\uput[ul](0.5,7.1){E} \uput[u](6,6.2){F} \uput[ur](8.5,8.7){G} \uput[u](3,9.6){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tout réel $t$, on considère le point $M$ de coordonnées $(1 - t~;~ t~;~t)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $t$, le point $M$ appartient à la droite (BH).
\end{enumerate}

On admet que les droites(BH) et (FC) ont respectivement pour représentation paramétrique:


\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1-t\\
y &=&t\\
z&=&t
\end{array}\right.  \text{où}\: t \in \R\quad 
\text{et} \: \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1\\
y &=&t'\\
z&=&1- t'
\end{array}\right. \text{où}\: t' \in \R.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que les droites (BH) et (FC) sont orthogonales et non coplanaires.
\item Pour tout réel $t'$, on considère le point $M'(1; t'; 1 - t')$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tous réels $t$ et $t'$,\: $MM'^2 =3\left(t- \frac{1}{3}\right)^2  + 2 \left(t'- \frac{1}{2}\right)^2  + \frac{1}{6}$.
		\item Pour quelles valeurs de $t$ et de $t'$ la distance $MM'$ est-elle minimale ? Justifier.
\item On nomme P le point de coordonnées $\left(\frac{2}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$et Q celui de coordonnées $\left(1~;~\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}\right)$.

Justifier que la droite (PQ) est perpendiculaire aux deux droites (BH) et (FC).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{-x^2+1}.\]

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$
dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ réel, $f(x) = \dfrac{\text{e}}{x} \times  \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}$.
		\item En déduire la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ .
	\end{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, on considère les points $M$ et $N$ de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisses respectives $x$ et~$-x$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point O est le milieu du segment $[MN]$.
		\item Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C})$ ?
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0,5$ admet sur $[0~;~ +\infty[$ exactement deux solutions notées $\alpha$ et $\beta$ (avec $\alpha < \beta$).
		\item En déduire les solutions sur $[0~;~ +\infty[$ de l'inéquation $f(x) \geqslant 0,5$.
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$ et $\beta$.
	\end{enumerate}
	
\item Soit $A$ un réel strictement positif. On pose $I_A = \displaystyle\int_0^A f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $I_A = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}- \text{e}^{-A^2+1}\right)$.
		\item Calculer la limite de $I_A$ lorsque $A$ tend vers $+\infty$.
		
		On admet que cette limite est l'aire en unités d'aire située entre la partie de la courbe $(\mathcal{C})$ sur $[0~;~ +\infty[$ et l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\item Comme illustré sur le graphique ci-dessous, on s'intéresse à la partie grisée du plan qui est délimitée par:

$\bullet~~$ la courbe $(\mathcal{C})$ sur $\R$ et la courbe $(\mathcal{C}')$ symétrique de $(\mathcal{C})$ par rapport à l'axe des abscisses ;

$\bullet~~$le cercle de centre $\Omega\left(\frac{\sqrt{2}}{2}~;~ 0\right)$ et de rayon 0,5 et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

On admet que le disque de centre $\Omega\left(\frac{\sqrt{2}}{2}~;~ 0\right)$ et de rayon 0,5 et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées sont situés entièrement entre la courbe $(\mathcal{C})$ et la courbe $(\mathcal{C}')$.

Déterminer une valeur approchée en unité d'aire au centième près de l'aire de cette partie grisée du plan.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(4,1.5)

\uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,1.4){$y$}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{4}{x 2.71828 x dup mul 1 sub exp div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4}{-4}{x 2.71828 x dup mul 1 sub exp div neg}
}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{4}{x 2.71828 x dup mul 1 sub exp div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{4}{x 2.71828 x dup mul 1 sub exp div neg}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.707,0){0.5}\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](-0.707,0){0.5}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-1.5)(4,1.5)
\psdots(0.707,0)\uput[d](0.707,0){$\Omega$}
%\uput[ur](1,1){\red $\mathcal{C}$} \uput[dr](1,-1){\blue $\mathcal{C}'$}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

\smallskip

On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par :

\[z_0 = 0 \:\:\text{et pour tout entier naturel}\: n,\: z_{n+1} = (1 + \text{i})z_n - \text{i}.\]

Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.

On note B le point d'affixe $1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
\item Montrer que $z_1 =- \text{i}$ et que $z_2 = 1 - 2\text{i}$.
\item Calculer $z_3$.
\item Sur la copie, placer les points B, $A_1$,  $A_2$ et $A_3$ dans le repère orthonormé direct \Ouv.
\item Démontrer que le triangle B$A_1A_2$ est isocèle rectangle.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_n - 1\right|$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = \sqrt{2}u_n$.
		\item Déterminer à partir de quel entier naturel $n$, la distance B$A_n$ est strictement supérieure à \np{1000}. On détaillera la démarche choisie.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe $1 + \text{i}$.
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $z_n = 1 - \left(\sqrt{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\frac{n\pi}{4}}$. 
		\item Le point $A_{\np{2020}}$ appartient-il à l'axe des abscisses ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$.

Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites de nombres entiers définies par :

\[a_1 = 1, \:b_1 = 0\:\:\text{et pour tout entier naturel}\: n \: \text{non nul }\:\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&\phantom{2}a_n + b_n\\b_{n+1}&=&2a_n
\end{array}\right..\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a_2$, $b_2$, $a_3$ et $b_3$.
\item Donner $M^2$.

Montrer que $M^2 = M +2I$  où $I = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$  désigne la matrice identité d'ordre 3. 

On admet que pour tout entier naturel non nul $n$,\: $M^n = a_n M + b_n I$, où $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont les suites précédemment définies.
\item On note $A =\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}$ et pour tout entier naturel non nul $n$,\: $X_n$ la matrice $\begin{pmatrix}a_n\\b_n \end{pmatrix}$. 

On pose $P = \begin{pmatrix}1&1\\1&- 2\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout entier naturel non nul $n$,\: $X_{n+1} =AX_n$.
		\item Sans justifier, exprimer, pour tout entier $n \geqslant 2$,\: $X_n$ en fonction de $A^{n- 1}$ et de $X_1$.
		\item Justifier que $P$ est inversible d'inverse \renewcommand\arraystretch{1.5}$\begin{pmatrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}$.
		
On note $P^{-1}$ cette matrice.
		\item Vérifier que $P^{-1} AP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$,\: $A^n = PD^nP^{-1}$.   		\item On admet que pour tout entier $n \geqslant  1$ :

\[A^{n-1}  =\begin{pmatrix}\frac{1}{3} \times 2^n + \frac{1}{3}\times (- 1)^{n-1}&\frac{1}{3} \times 2^{n-1} + \frac{1}{3}\times (- 1)^{n}\\\frac{1}{3} \times 2^n - \frac{2}{3}\times (- 1)^{n-1}&\frac{1}{3} \times 2^{n-1} - \frac{2}{3}\times (- 1)^{n}\end{pmatrix}.\]

En déduire que pour tout entier $n\geqslant 1$,\: $a_n = \frac{1}{3} \times  \left(2^n + (- 1)^{n-1}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $k$,\: $2^{4k} - 1 \equiv 0$ modulo 5.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul et multiple de 4.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $3a_n$ est divisible par 5.
		\item En déduire que $a_n$ est divisible par 5.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}