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%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
%%% dernière mise à jour : novembre 2017
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{16 avril 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

\parbox{0.52\linewidth}{Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par:

\[f(x) = x\text{e}^{-x^2}.\] 

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan. Cette courbe est représentée ci-contre.}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=2.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.4)(2.25,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2.25,1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(2.25,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O} 
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2.25}{x 2.71828 x dup mul exp div}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

(On pourra écrire, pour $x$ différent de $0$ : $\left.f(x) = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}\right)$.
		\item Démontrer que $f$ admet un maximum en $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et calculer ce maximum.
	\end{enumerate}
\item Soit $a$ un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d'aire et en fonction de $a$, l'aire $F(a)$ de la  partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = a$.

Quelle est la limite de $F(a)$ quand $a$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[u_{n} = \int_{n}^{n+1} f(x)\:\text{d}x.\]

On ne cherchera pas à expliciter $u_{n}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ différent de 0 et de 1

\[f(n+1) \leqslant u_{n} \leqslant f(n).\]

		\item Quel est le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 2}$ ?
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. Quelle est sa limite ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif $n,~ F(n ) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} u_{k}$.
		\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

On donne ci-dessous les valeurs de $F(n)$ obtenues à l'aide d'un tableur, pour $n$ entier compris entre 3 et 7.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}m{2.25cm}|}*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n$		&3					&4					&5	&6	&7\\ \hline
$F(n)$	&\np{0,4999382951}	& \np{0,4999999437}	&0,5&0,5&0,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Interpréter ces résultats.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.

Soit A, B et C les points d'affixes respectives:

\[a = 3 - \text{i},\quad  b = 1- 3\text{i}~~\text{et}~~c = -1- \text{i}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer ces points sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
		\item Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on calculera le rayon.
	\end{enumerate}
\item  Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe notée $m$ et $N$ le point d'affixe notée $n$, image de A dans la rotation $r$ de centre $M$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$.
		\item En déduire une expression de $n$ en fonction de $m$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $Q$ le milieu du segment [A$N$] et $q$ son affixe.

Montrer que : $q = \dfrac{(1 - \text{i})m}{2} + 2 + \text{i}$.
\item Dans cette question, $M$ est un point du cercle $\Gamma$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence d'un réel $\theta$ tel que : $m = \sqrt{10} \,\text{e}^{\text{i}\theta}$.
		\item Calculer $|q - 2 - \text{i}|$. Quel est le lieu $\Gamma'$ de $Q$ lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm. Soit A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \text{i}$ et

$z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il existe une unique similitude directe $S$ telle que :

\[S(\text{O}) = \text{A}~~ \text{et}~~ S(\text{A}) = \text{B}.\]

\item Montrer que l'écriture complexe de $S$ est : 

\[z' = (1 - \text{i})z + \text{i}.\]

Préciser les éléments caractéristiques de $S$ (on notera $\Omega$ le centre de $S$).

\end{enumerate}
 
On considère la suite de points $\left(A_{n}\right)$ telle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A_{0}$ est l'origine du repère et, 
\item[$\bullet~$] pour tout entier naturel $n$, $A_{n+1} =  S\left(A_{n}\right)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $z_{n}$, l'affixe de $A_{n}$. (On a donc $A_{0} = \text{O},~ A_{1} = \text{A}$ et $A_{2} = \text{B}$).

\medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ z_{n} = 1 - (1 - \text{i})^n$. 
		\item Déterminer, en fonction de $n$, les affixes des vecteurs $\vect{\Omega A_{n}}$  et $\vect{A_{n}A_{n+1}}$.
		 
Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l'angle $\left(\vect{\Omega A_{n}},~\vect{A_{n}A_{n+1}}\right)$.
		\item En déduire une construction du point $A_{n+1}$ connaissant le point $A_{n}$. 

Construire les points $A_{3}$ et $A_{4}$.
	\end{enumerate}
\item Quels sont les points de la suite $\left(A_{n}\right)$ appartenant à la droite $(\Omega \text{B})$ ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans un repère orthonormé de l'espace \Oijk{} on considère les points : 

A de coordonnées (1~;~1~;~0), B de coordonnées (2~;~0~;~3), C de coordonnées $(0~;~- 2~;~5)$ et D de coordonnées $(1~;~- 5~;~5)$.

\medskip

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou  FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse :

\medskip

\textbf{Proposition 1 :} L'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,~y,~z)$ tels que $y = 2x + 4$ est une droite.

\medskip

\textbf{Proposition 2 :} La transformation qui, à tout point $M$ de l'espace associe le point $M'$ tel que $\vect{MM'} = \vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}}  + 2\vect{M\text{C}}$  est l'homothétie de centre $G$, où $G$ désigne le barycentre du système $\{(\text{A},~1),~(\text{B},~1),~(\text{C},~2)\}$, et de rapport 3.

\medskip
\textbf{Proposition 3 :} A, B, C et D sont quatre points coplanaires. 

\medskip
\textbf{Proposition 4 :} La sphère de centre $\Omega$ de coordonnées (3~;~3~;~0) et de rayon 5 est tangente au plan d'équation : $2x + 2y + z+ 3 = 0$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques  mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à $\dfrac{1}{3}$.

\medskip

\emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? 
		\item Quelle est son espérance ?
		\item Calculer $P(X = 2)$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.

On considère les évènements D et A suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $D$ \og le dé choisi est le dé bien équilibré \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $A$ : \og obtenir exactement deux 6 \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] \og choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] \og choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

(On pourra construire un arbre de probabilité).
		\item En déduire que : $p(A) = \dfrac{7}{48}$.
		\item Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ?
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé $n$ fois de suite ($n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2). 

On note $B_{n}$ l'évènement \og obtenir au moins un 6 parmi ces $n$ lancers successifs~\fg.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en fonction de $n$, la probabilité $p_{n}$ de l'évènement $B_{n}$.
		\item Calculer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. Commenter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}