%%%%Composé par : Francis Cortado CPF Beyrouth-Liban%%%
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban  27 mai 2014~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
\medskip

\emph{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.\\
Les probabilités seront arrondies au dix millième.}
\smallskip

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8~h~00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'élève part tous les jours à 7~h~40 de son domicile et doit arriver à 8~h~00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $\np{99,4}\,\%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\,\%$ des cas.

On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'évènement 
\og L'élève se rend au lycée à vélo \fg, $B$ l'évènement \og l'élève se rend au lycée en bus \fg{} et $R$ l'évènement \og L'élève arrive en retard au lycée \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre de probabilités.\index{probabilités}\index{arbre}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $V \cap R$.
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $\np{0,0192}$
\item Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B : le vélo}

\medskip

On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.

Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d'espérance $\mu = 17$ et d'écart-type $\sigma = \np{1,2}$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.
\item Il part de son domicile à vélo à 7~h~40. Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée?
\item L'élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l'heure au lycée avec une probabilité de $\np{0,9}$ ? Arrondir le résultat à la minute près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : le bus}

\medskip

Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T'$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu' = 15$ et d'écart-type $\sigma'$.\index{loi normale}

On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $\np{0,05}$.

On note $Z'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T'-15}{\sigma'}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle loi la variable aléatoire $Z'$ suit-elle ?
\item Déterminer une valeur approchée à $\np{0,01}$ près de l'écart-type $\sigma'$ de la variable aléatoire $T'$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte
\medskip \index{Vrai--Faux}

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.\index{géométrie dans l'espace}

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y + 3z + 1 = 0$

et la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est

$\begin{cases}
x=\phantom{-5 +}2t\\
y=\phantom{-}1+t\quad,\quad t\in\R \\
z=-5+3t
\end{cases}$

On donne les points $A(1~;~1;~0),\;B(3~;0~;~-1)$ et $C(7~;1~;~-2)$
\medskip

\textbf{Proposition 1 :}

Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est \index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite}
$\begin{cases}
x=\phantom{-}5-2t\\
y=-1+\phantom{2}t\\
z=-2+\phantom{2}t
\end{cases},\: t\in\R$
\medskip

\textbf{Proposition 2 :}

Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales.
\bigskip

\textbf{Proposition 3 :}

Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires.
\bigskip

\textbf{Proposition 4 :}

La droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $\mathcal{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8~;~-3;~-4)$.
\bigskip

\textbf{Proposition 5 :}

Les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}.\]\index{fonction exponentielle}

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$.

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $f'(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\mathcal{A}$ la fonction définie sur l'intervalle 
$[0~;~+\infty[$ de la façon suivante : pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[\,,\,\mathcal{A}(t)$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = t$.\index{aire et intégrale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $\mathcal{A}$.
\item On admet que l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses est égale à 1 unité d'aire. Que peut-on en déduire pour la fonction $\mathcal{A}$ ?
\item On cherche à prouver l'existence d'un nombre réel $\alpha$ tel que la droite d'équation $x =\alpha$ partage le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$, en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $\mathcal{A}(t)=\dfrac12$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$
		\item Sur le graphique fourni en \textbf{annexe (\emph{à rendre avec la copie})} sont tracées la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que la courbe $\Gamma$ représentant la fonction $\mathcal{A}$.
		
Sur le graphique de l'\textbf{annexe}, identifier les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$, puis tracer la droite d'équation $y=\dfrac12$. En déduire une valeur approchée du réel $\alpha$. Hachurer le domaine correspondant à $\mathcal{A}(\alpha)$.
	\end{enumerate}
\item On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$ par 

\[g(x) = (x + 1)\,\mathrm{e}^{-x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		
Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $g'(x)$.
		\item En déduire, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \mbox{une expression de $\mathcal{A}(t)$.}
		\item Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}(6)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$:\index{complexes et suite}

\[z_{n+1} = (1 + \mathrm{i})z_n.\]

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$.
\item Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.\index{suite géométrique}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$.

Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$.
\begin{center}\index{algorithme}
\fbox{
\begin{tabular}{lcl}
\textbf{Variables}&: &$u$ est un réel\\
&&$p$ est un réel\\
&& $n$ est un entier\\
\textbf{Initialisation}&:& Affecter à $n$ la valeur 0\\
&& Affecter à $u$ la valeur 2\\
\textbf{Entrée}&:&  Demander la valeur de $p$ \\
\textbf{Traitement}&:&\\
\\
\textbf{Sortie}&:& \\
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
\item Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+\mathrm{i}$.

En déduire la forme exponentielle de $z_1$.
\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
\end{enumerate}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
\medskip

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
\medskip

Un laboratoire étudie la propagation d'une maladie sur une population.\index{probabilités}

Un \emph{individu sain} est un individu n'ayant jamais été touché par la maladie.

Un \emph{individu malade} est un individu qui a été  touché par la maladie et non guéri.

Un \emph{individu guéri} est un individu qui a été  touché par la maladie et qui a guéri.

Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.

Les premières observations nous montrent que, d'un jour au jour suivant:

\begin{description}
\item[\textbullet] $5\,\%$ des individus tombent malades ;
\item[\textbullet] $20\,\%$ des individus guérissent.
\end{description}

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'individus sains $n$ jours après le début de l'expérience, $b_n$ la proportion d'individus malades $n$ jours après le début de l'expérience, et $c_n$ celle d'individus guéris $n$ jours après le début de l'expérience.

On suppose qu'au début de l'expérience, tous les individus sont sains, c'est à dire que $a_0=1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a_1$, $b_1$ et $c_1$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la proportion d'individus sains qui restent sains d'un jour au jour suivant ? En déduire $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.
		\item Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$.
	\end{enumerate}
On admet que $c_{n+1} = \np{0,2}b_n + c_n$.

Pour tout entier naturel $n$, on définit\index{matrices}
$U_n=\begin{pmatrix}
a_n\\b_n\\c_n
\end{pmatrix}$

On définit les matrices
$A=\begin{pmatrix}
\np{0,95}&0&0\\
\np{0,05}&\np{0,8}&0\\
0&\np{0,2}&1
\end{pmatrix}$
et $D=\begin{pmatrix}
\np{0,95}&0&0\\
0&\np{0,8}&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$

On admet qu'il existe une matrice inversible $P$ telle que
$D=P^{-1}\times A\times P$ et que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $A^n=P\times D^{n}\times P^{-1}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$,
 $U_{n+1}= A\times U_n$.

\medskip

On admet que, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^n\times U_0$.

\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul,

$D^n=\begin{pmatrix}
\np{0,95}^n&0&0\\
0&\np{0,8}^n&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$
	\end{enumerate}

On admet que $A^n =\begin{pmatrix}
\np{0,95}^n&0&0\\
\dfrac13\left(\np{0,95}^n-\np{0,8}^n\right)&\np{0,8}^n&0\\
\dfrac13\left(3-4\times\np{0,95}^n+\np{0,8}^n\right)&1-\np{0,8}^n&1
\end{pmatrix}$

\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $b_n=\dfrac13\left(\np{0,95}^n-\np{0,8}^n\right)$
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(b_n\right)$.
		\item On admet que la proportion d'individus malades croît pendant plusieurs jours, puis décroit.

On souhaite déterminer le pic épidémique, c'est à dire le moment où la proportion d'individus malades est à son maximum.

À cet effet, on utilise l'algorithme\index{algorithme} donné en \textbf{annexe 2 (\emph{à rendre avec la copie})}, dans lequel on compare les termes successifs de la suite $(b_n)$.

Compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau fourni en \textbf{annexe 2}.

Conclure.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{Annexe 1}

\textbf{\emph{À rendre avec la copie}}

\begin{center}
\textbf{\bsc{Exercice 3}}

\textbf{Représentations graphiques des fonctions $f$ et $\mathcal{A}$}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=2.5cm,yunit=5cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.2,-1)(5,1)
\multips(0,0)(0,0.1){11}
{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(5,0)}
\multips(0,0)(0.2,0){26}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(0,1)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.2,Dy=0.1,labels=y,ticks=y,ticksize=-2pt 0,linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,1.1)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.2,Dy=0.1,labels=y,ticks=y,ticksize=-2pt 0,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{x 2.718281828 x exp div}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=4000,linewidth=1.5pt]{0}{5}{1 x 1 add 2.718281828 x exp div sub}
\begin{scriptsize}
\rput[b](1,-0.05){1}
\rput[b](2,-0.05){2}
\rput[b](3,-0.05){3}
\rput[b](4,-0.05){4}
\end{scriptsize}
\rput[b](5,-0.05){$x$}
\rput[l](-0.15,1.1){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage
\textbf{Annexe 2}

\textbf{\emph{À rendre avec la copie}}
\bigskip

\begin{center}
\textbf{\bsc{Exercice 4}}

\textbf{Algorithme et tableau à compléter}

\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{center}

\begin{tabular}{|lcl|}\hline
\textbf{Variables}& : &$b,~b',~x,~y$ sont des réels\\
&& $k$ est un entier naturel\\
\textbf{Initialisation}&:& Affecter à $b$ la valeur 0\\
&& Affecter à $b'$ la valeur $\np{0,05}$\\
&& Affecter à $k$ la valeur $0$\\
&& Affecter à $x$ la valeur $\np{0,95}$\\
&& Affecter à $y$ la valeur $\np{0,8}$\\
\textbf{Traitement}&:& Tant que $b < b'$ faire :\\
&&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $k$ la valeur $k+1$\\
Affecter à $b$ la valeur $b'$\\
Affecter à $x$ la valeur $\np{0,95} x$\\
Affecter à $y$ la valeur $\np{0,80} y$\\
Affecter à $b'$ la valeur $\cdots\cdots$
\end{tabular}\\
&&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}&:& Afficher $\cdots\cdots$ \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\bigskip

\begin{center}
% \usepackage{array} is required
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}p{3.5cm}|>{\centering}c|c|c|c|c|c|}
\hline
 & $k$ & $b$ & $x$ & $y$ & $b'$ & Test: $b < b'$ ? \tabularnewline \hline 
Après le $7\up{e}$ passage \newline dans la boucle Tant que &  7 & $\np{0,1628}$ & $\np{0,6634}$ & $\np{0,1678}$ & $\np{0,1652}$ & \bsc{Vrai} \tabularnewline \hline 
Après le $8\up{e}$ passage éventuel dans la boucle Tant que &  & &  &  &  &  \tabularnewline \hline 
Après le $9\up{e}$ passage éventuel dans la boucle Tant que &  &  &  &  &  &  \tabularnewline\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}